§ 6.3 理想気体のエントロピー変化

§ 6.2.5

等温過程と断熱過程のエントロピー変化

エントロピー変化

(6.13)

について

, 2

つの特殊な例を考えよう

^†573. (i)

等温過程

,

すなわち温度が一定値

T₀

ならば

, T₀

が積分記号の外に出て

∆S =

∫ ₂

1

d^′Q T₀ = 1

T₀

∫ ₂

1

d^′Q= Q_1→2

T₀ (6.15)

と書ける. したがって, 系への入熱

Q_1→2

と温度

T₀

がわかれば, エントロピー 変化

∆S

を求めることができる

^†574.

(ii)

断熱過程ならば

^†575, d^′Q= 0

であるがゆえに

, dS = 0

がしたがう

.

すなわち

,

エントロピーは一定である

^†576:

∆S = 0 ⇐⇒ S₁ =S₂ = const. (6.16)

これは重要である

.

定圧ならば

p

一定

,

定容ならば

V

一定

,

等温ならば

T

一

定

——

これら

3

つに並列して

,

断熱ならば

S

一定と明示できる状態量が導

入できたからである

.

§ 6.3.1 (T, v)

表現

改めて

,

比エントロピーの定義式

(6.14)

から出発し

,

第一法則にしたがい

, (

単 位質量あたりの

)

理想気体の状態方程式

(3.11)

に頼りながら変形を進めよう

^†580:

ds|{z}≡

定義

d^′q T |{z}=

第一法則

du

T +pdv T |{z}=

理想気体

=c_V dT

T +Rdv

v (6.17)

したがって

,

ds=c_V dT

T +Rdv

v (6.18)

であり

,

これを熱平衡状態

1

から

2

まで定積分すれば

^†581

∆s=s₂−s₁ =c_V ln (T₂

T₁ )

+Rln (v₂

v₁ )

(6.19)

ここに

, ∆s=s₂−s₁

である

^†582.

むろん

,

微小量と有限量のどちらで表現してもよい

.

実際に役立つのは有限量 ではあるが, たとえば

(6.18)

から, さらに何らかの式変形を実行する際に出発点と なるのは, 微小量の式である. したがって, 双方が重要なのはいうまでもない.

§ 6.3.2 (p, v)

表現

^†583

(6.18)(6.19)

から

T

を消去して,

p

を導入することを考える. 理想気体の状態

方程式

(3.11)

より,

T = pv

R (6.20)

である

.

この微分をとると

(

微小変化を考えると

),

積の微分公式より

, dT = d(pv)

R = pdv+vdp

R (6.21)

†580単位質量当たりの表式をまとめておく—— ds= d^′q/T, du= d^′q−pdv, du=cVdT,pv=RT.

†581[解析学I]積分は微分の逆演算として定義されるものではない. 微分と積分は,それぞれ全く独 立な演算として定義される. 微分と積分が互いに逆の演算であることは,結果である. これを, 微分積分学の基本定理(fundamental theorem of calculus)という.

†582慣れないうちは, 面倒でも,s2−s1 と書き下すことをすすめる. 案外, ∆s=s1−s2 と勘違い する者が多いからである.

†583初見では,計算過程をやや煩雑に感じるかもしれないが,方針と方法論は極めて明快である.

107 ⃝c 2017 Tetsuya Kanagawa

である

^†584. (6.20)(6.21)

を

(6.18)

に代入しよう

: ds=cV

pdv+vdp R

R

pv +Rdv v

=c_V (dp

p +dv v

)

+Rdv v

=c_V (dp

p )

+ (c_V +R)

| {z }

cP (Mayer)

(dv v

)

=cV

(dp p

) +cP

(dv v

)

(6.22)

やや煩雑に感じるかもしれないが, 3 行目から

4

行目において, 比熱差の式

(Mayer

の式

)

を使うだけである

^†585.

ゆえに

,

次式が導かれた

:

ds=c_Vdp

p +c_Pdv

v (6.23)

そして, 定積分すれば, 次式も直ちにうる:

∆s=cV ln (p2

p₁ )

+cPln (v2

v₁ )

(6.24)

§ 6.3.3 (T, p)

表現 問題

41.

次式を導け.

ds =c_PdT

T −Rdp

p (6.25)

∆s=c_Pln (T₂

T1

)

+Rln (p₂

p1

)

(6.26) [

ヒント

]

処方箋は同様である

.

理想気体の状態方程式に忠実に従い

, (6.23)

から

v

を消去して

,T

を導入せよ

.

問題

42.

理想気体の単位質量あたり

“

ではない

”

エントロピー変化に対して成立す

†584[別解]積の微分公式に頼らず,全微分から理解してもよい. すなわち,T =T(p, v)とみなして,

全微分dT(p, v)を書きだし, (6.21)との一致を確かめよ.

†585使わないという選択肢もあるだろう. しかし,この変形には物理的に大きな意味がある. cV と R の2つもの情報を調べることと,cP たった1つを調べることのどちらが賢いだろうか. 容易 いだろうか. 後者に決まっている. その目的が工学応用にあるならば,なおのこと,表式は簡潔 で少ない変数で話を閉じる方が良いに決まっている.

る次式を導け

.

同時に

,

両辺の次元が

[J/K]

であることを確かめよ

. dS =CV

dT

T +mRdV

V (6.27)

dS =CV

dp p +CP

dV

V (6.28)

dS =C_PdT

T −mRdp

p (6.29)

ドキュメント内 1.5.1 SI kg, m, s ,, (ページ 112-115)