青 い ゴム
50‑20=30cm
白い ゴム
72‑30=42cm
根拠
「だって…・」
50 ci
2.プ
ロ トコルの分析 と考察(1)B組
ゴムの伸びの授業Ⅱ
‑1 2つ
の数 量 の差 で判 断l Cl 僕 が考 えた式 は,まず青い ゴムを 「
50‑20=30Jで
̲30(cm)と い うの は, ここ と こ この長 さを指 す って い うこ とで。2T
こ こだ よね 。 この式 で 白い ゴム も出 した 'るこ とを容認 していた。
…… ^ ^ 一 ⌒ 立 と 日 ユ ニ ̲♪ ユ ̲´ ゥ ワ ヽ 一 、レ ‖・12r :
Ⅲ
‑2 2つ
の数量 を加減でそろえて判断‐
l 4C4
僕 は,伸
ば した全体 の長 さを50cmにそろえて,そ
れ で伸び …伸 びってわかる? ￨
:
伸びの長 さつて
,伸
ば した全体か ら元 の長 さを引いた ら,伸
びが出 るのわか る?￨
!
5C4
それで,青
い ゴムが50(cm)で
,自い ゴムを50cmに一 白い ゴムを伸 ば した全体 の￨長 さを50
… え ?
(cm)に した ら
,青
は30(cm)で
白は20(cm)伸
び るつて こ とわかる? ￨これ元の長 さは
2o(cm)と 30(cm)で
す よね。それはわか ります よね ?そ れで, 青 (いゴム)って伸ば した全体の長 さが50(cm)っ て ことはわか ります よね?うん うん。
それで, 白い ゴ ム 々勝 手 に 伸 ば した 全 体 の 長 さを50(cm)に変 え る。
… (中略
)…
10C4ここ (ゴムが伸びた長 さ)を 50cmにそ ろえた ら,「伸 ば した全体 の長 さ一元の長 さ」￨
l
をすると
,伸
びの長 さが出るから,青
(いゴム)は
,「50‑20=30」 にして,こ こか￨:
ら白を… ここ(白い ゴムが伸 びた状態 の72cmを指す)を 50cmに変 えた場 合だか ら,￨
:
(板書の内容 「72‑22=50」
)つ
て ことになって,(板書 の内容 「50‑30=20」)に
な￨るので
,伸
びてい るのが30(cm)と20(cm)だ
った ら30(cm)の
方 が よ く伸びて るi ん で,30(cm)の
方 …青 の方だ と思います。一 (中略
)…
H C7 元 の長 さ と,こ この伸びた長 さの関係 を言 つているの に,こつち (白い ゴム
)だ
けを伸 ば しちゃった ら,こつち (青ャ主ゴム)と こっち (白い ゴム
)の
関係 つてま っ た く別 の ものにな る じゃないですか。白いゴムの元の長 さを変えない と,こ こ(白い ゴ￨
ムの元の長 さと伸ば した長 さ)の割合が変わって しま うか ら…それ は○○ くんが,こ っち￨
:
Ｃ Ｃ ６ ７
４ Ｃ Ｃ ８ ９
(白い ゴム
)だ
け変 え ちゃ ってい るか らダ メなん だ と思 い ます。 :‐98‐
比例 的推論 の ないカロ減 に よ り,ゴ ムの長 さをそ ろえ よ うとす る意 見 が 出た こ と で,「 も との ゴム」 と 「伸 び た状態 の ゴム」の数 量関係 を保 ち なが ら
,そ
ろえな けれ ばな らい とい う,比
例 的推論 の顕在化 が な され た。Ⅲ
‑3 2つ
の数量 を乗除でそろえて判断 (公倍数) i
12C3 ,何
故 1.5倍を したか とい￨
うと,「 20× 1.5干30」 や んな。だか ら伸び た量 を1.5(倍
)し
た ら…僕 は30cmに￨
そ ろえ よ うとして、だか ら.20cmに 1.5をかけて,50cmに 1.5をかけた ら「50× ￨
1.5=75(cm)」 になつたので
,青
い ゴムの方 が3cm…30cmに合 わせ た ときに,3cml だ け青い ゴムの方 が伸び る量 が多 い。A組
の児童 の5割
以上 は割合 の考 え方,2割
の児童 は,「 Ⅱ2つ
の数量 の差 で判 断」 を してい る中で,公
倍数 の考 え方 を理解 で きない児童 や,必
要性 を感じない児童 か らは疑 間 の声 が上が った。
iⅣ
1 2つの数量 を割合で判断
13 C2 何倍:つてい う風 に考 えてみたか ら
,私
は 「50÷20=2.5」 ,「72÷ 30=2.4」 で,2.5倍の方 が よく伸 び ることになるか ら
,私
は青い ゴムが伸 び る と思いま した。14 T
ミサ トさんは一何 か言 って くれたね。自分が こ う見たいつてい うのは何 だつたの?!15 C2
割合 で…L。̲.̲.… .… :….̲.…・ ―・ ―・ ¨
A組
にお いて は,割
合 の考 え方 を5割
以上 の児童 が納得 して 聞 いて いた。 も し も,「 Ⅲ‑2 2つ
の数 量 を加減 でそ ろえて判 断」 の意 見 が 出 て きて い なか った ら,数
の多 い意 見 に流 され,納
得 しない まま合意形成 させ られ る方 向へ と向 か った と思 われ る。 しか し,「 Ⅲ‑2」 の意 見が 出 るこ とで,比
例 的推論 を顕在 化 させ,な
ぜ,害
1合で比べ なけれ ばい けないのか を深 く追求す る こ とが で きた。3.事
後調査 の結 果伸縮 型(ゴムの伸 び)の 授 業 を行 つた
B組
にお ける事 前・事 後調査 の結果 は, 次頁 の表45の
通 りで あ る。調査 問題 につ いて は,第 4章
第1節
第3項
と同 じもので あ る。
B組
にお け る,児
童 の変容 を検討 す るた めにマ クネ マー検 定 を行 つた ところ,問題 イ
,問
題 オ にお い て事前調 査 と事後調 査 の間に有 意 な差 が見 られ た。 問題 イ は,伸
縮型(定員 に対す る希 望者 の割合 )の 問題 で あ る。 問題 の題 材 は こ となるが
,問
題 オ と問題 の型 が同 じで,「伸縮型」である。 したが つて,第
1用法の 学習 においては,問
題 の題材 よ りも問題 の型 に影響 を受 ける と言 える。表
5‑4 B組
事後調査 と検定の結果問題 の型
事 前 事 後
p値
正答率(人) 正答率(人)
ア 全 体 部 分型(部分 と部分) 41.1(14) 52.9(18) 0.4532
イ 伸縮型 42.8(13) 64.7(22)
酬顆鼈
ウ 全 体 部 分 型 76.4(26) 85.3(29) 0.3710
エ 全体部分型(部分と部分) 52.9(18) 58.8(20) 0.7892
オ 伸縮型 23.5(8) 58.8(20)
鰤輔 榊
※
( )内
は,正
答者数*p<.05
さ らに
,全
体 部 分 型 の 正 答 率 をみ る と問題 ア,問
題 工 と も に若 干 の 上 昇 は あ る が 有 意 な差 が あ るま で に は至 っ て い な い。 した が つて,
どち らの構 造 の 問題 で 導入す るにせ よ,構
造 の異 な る問題 があ ることを認識 させ ることが単元 の導入 段階 においては重要 になうて くると思われ る。 また,構
造 の異 な ることを児童 に認識 させ るために,図
式化 して場面 を とらえ させ るこ とが重要 になって くると思われ る。
本節 にお いて明 らか にな った こ とは
,以
下 の通 りで あ る。・ ゴム とい う具体物
,テ
ー プ図 に よる半具体物 が あ るた め,数
対 の比例 関係 を認識 しやす い。(比例 的推論 を内包 してい る。)
。「伸縮型」 の問題 は
,文
脈 の影響 を受 けに くく,転
移 しやす い。‐100‐
第 6節 実践授業の考察
1.割 合以外によるくらべ方と割合によるくらべ方の使い分けについて
問題 の型 の異 な る
2つ
の授 業 を行 つた結果 として,児
童 が割合 以外 に よる く らべ方 と割 合 に よる く らべ方 の使 い分 けにつ いて どの よ うに変容 があ つた か, 実態調 査(Ⅱ )の 問題 ウを も とにま とめた ものが,表 5‑5で
あ る。ク
1年
生の児童数 は,30人
で, 5人欠席 しま した。6年生の児童数 は,30人
で6人欠 席 しま した。 どち らの学年が欠席 した人が多い と言えますか。(第 1用 法,P<1,比
較)表5‑5 割合以外によるくらべ方と割合によるくらべ方の使い分け
割合以外 割 合 無答 ヽ
A事前 36.4%(12) 60.6%(20)
3%
A事後
鰊
36.4%(12)0%
(0)B事前 50.0%(17) 38.2%(13) 23.5%(4) B事後
愧魃 ‖ 躙
I 38.2%(13)2.9%(1)
※
A組
は,全
体部分型衝 球の順位)の授業,B組
は,伸縮型(ゴムの伸び)の授業を行つた。
問題 ウにおいて
,く
らべ る視点の 「Ⅲ‑1 1つ
の数量で判断(一方 の量がそ ろつてい る)」 で解答 した児童 の割合 は
,A組
は,事
前調査が36.4%で ,事
後調査 では,63.6%に
なつた。B組
は,事
前調査が50.0%で ,事
後調査 が58.8%で
あ った。 この結果か ら,全
体部分型(野球の順位)の授業 を行 ったA組
の方が,害1合以外の くらべ方 と割合 によるくらべ方 の使 い分 けについては大 き く変容 を促 した ことになる。
それでは
,全
体部分型(野球 の順位)の授業 と伸縮型(ゴムの伸 び)の授業では 何が異なっていたのかを考察す ることにす る。全体部分型(野球 の順位)の授業 においては
,割
合以外 によつて くらべ られ る 場合 と割合 によつて くらべ られ る場合 は どんな場合 なのかが話合 いの中心 とな った。 したがつて,「勝 ち数」,「負 け数」,「試合数」のいずれかがそ ろつていれ ば「Ⅲ‑1 1つ
の数量で判断(一方 の量がそ ろつてい る)」 を用いて くらべ ることがで き るが
,そ
ろってい ない場合 には,割
合 を用いて くらべ る必 要 が あるこ と を話 し合 うこ ととな った。そ のた め,A組
にお いては,事
前調 査 か らす ると,大
幅 に差 で解答す る児童 が増 えた と言 え る。
一方
,伸
縮型(ゴムの伸 び)の 授業 において は,ま
ず ,「 よ く伸 び る とは どの よ うな こ とか」 が疑 間 とな り,伸
び た分 の長 さで比べ るのか,伸
びた害1合で く ら べ るのか を議論 した。 さらに,加
法方 略 と割 合 の考 えで どち らが良い のか というこ とに議論 が展 開 してい つた。 そ の 中で
,比
例的推 論 の顕在 化 が な され,比
例 関係 を用 い てそ ろえ る
,割
合 の考 えや,公
倍 数 の考 えが適 切 で あ る こ とは意 識 づ け られ た。 しか し,害
J合以外 で く らべ る よさを十 分考 え るまで に は至 らなか った。
また
,害
J合以外 に よ る くらべ方 と割 合 に よ る くらべ方 の吟 味 の視 点 か らす る と,基
準量 が 同 じ場 合 や 異 な る場 合 な どた く さんの数 対 の関係 を く らべ よ うと す るこ とは,基
準 量 がそ ろつてい ない こ とヘ ロを向 け るきつか けに な ってい るよ うに思 われ る。
上記 の考察 を踏 ま え
,全
体部 分型 の授 業 で行 える こ とと,伸
縮型 の授業 で行 える こ とを次項 以降 にて述 べ る こ ととす る。2.問
題 の型 の違 いに よる児童 が数量 を くらべ る視 点の違 い問題 の型 の違 いが
,授
業 にお け る児童 の視 点 に どの よ うに影 響 してい るか は, 表5‑6の
通 りで あ る。表
56
問題 の型 と割合学習 において児童 が数量 を くらべ る視点 問題 の型 授業 において児童 か ら出 され た くらべ る視点 全体部分型I‑2 1つ
の数量 だけで判断Ⅲ
2 2つ
の数量 を加減 でそろえて判断Ⅳ
割合で判 断
伸縮型 Ⅱ
2つ
の数 量 の差 で半J断Ⅲ
‑2 2つ
の数 量 を加減 でそろえて判断Ⅳ
割合で判 断
共 通
I‑1
分布 で判断Ⅲ
‑1 1つ
の数量 で判 断(一方 の量 がそ ろ つてい る)Ⅲ
‑3 2つ
の数量 を乗除 でそろえて判断 (公倍数)102・
実施 した授 業 におい て,「全体部分型 」で は,「
I‑2 1つ
の数 量 だ けで判 断」,「Ⅲ
‑2 2つ
の数 量 を加減 でそ ろえて判 断」,「 Ⅳ割合 で判 断 」 が く らべ る視 点 と して 出た。「イ申縮型 」 で は,「 Ⅱ
2つ
の数 量 の差 で判 断 」,「 Ⅲ2 2つ
の 数量 を加減 でそ ろえて判 断」「Ⅳ ‐害J合で判断 」の視 点 が出た。共通 と して挙 げ てい る 「
I‑1
分布 で判 断」 と 「Ⅲ‑1 1つ
の数量で判 断(一方 の量 がそ ろつて い る)」 「Ⅲ‑2 2つ
の数量 を乗 除 で そ ろえて判 断 (公倍 数)」 につ い ては,扱
う数値や課題 の提示 の仕 方 に よ り影響 を受 け る と考 え られ る。
3.「 伸縮 型 」 と「全体部分 型 」の授 業の特徴
「伸縮型」 と 「全体部分型 」 の授業 には
,そ
れぞれ 次 の よ うな特 徴 があ る と 思 われ る。「伸縮型 」(ゴムの伸 び)
○
比例 的推論 を内包 し
,比
例 関係 を意識 して比べ よ うとす る こ とが で きる。○
帯 小数 で導入 す る こ とがで き
,害
1合の適 用範囲へ の認識 を拡 張す るこ とが で き る。○
「○倍 」 とい う児童 の持 つてい る倍概念 に近い数値 を扱 うこ とがで きる。
○
元 の ゴムが あ るこ とで
,基
準量 を1とみ ることへ の意識 付 けが しやす い。○
課 題 を量 と して捉 えやす い6
「全体部分型」(野球 の成績)
0 1つ
の数 量 で判 断す る視 点 が出 る こ とで,害1合以外 に よつて くらべ る場合 に つ いて考 え を深 め るこ とがで きる。○
部 分 と全 体 の文脈 であれ ば
,全
体 が何 で あ るか同定 しや す い。○ 半分より多い ,少 ないといつた感覚で比べることができる。
○ 図式化 した場合 ,関 係をとらえやすい。
害1合の問題 には
,大
き く3つ
の構 造 が あ る と考 え,そ
の中で も大部 分 を占め る「伸縮型 」 と 「全体部 分型 」 に絞 つて授業 を計画 。実施 して きたが