算数科における割合の概念形成に関する研究

平成

25年

度

算数科における割合の概念形成に関す る研究

兵 庫 教 育 大 学 大 学 院

教育内容・方法開発専攻

‖

12145E

学 校 教 育 研

_究

科

認 識 形 成 系教 育 コー ス

大

山

乃

輔

目

次

序章 本研 究 の 目的及 び方法 と本論 文 の構成・・・・ ・ 。・ ・・・・・・・・ 1 第

1節

本研 究 の 目的及 び方法・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・ 1 第

2節

本論 文 の構 成 ・・・・ ￨・ ・・・・・・・・ 。・ ・・

00。

・ 。2 第

1章

割合 学習 の困難 性 と改善策 ・・・・・・

0000。

・・・

000。

・

3

第

1節

割 合 の捉 え方・ ・・・・・・・・・・・・・ ・・ ・ 。・ ・ ・・・ 4 第

2節

割合 学習 の困難 性 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

, 10

第

3節

割合 学習 の困難性 に対す る改 善策 0。 ・ ・・・・・

0000019

第

4節

割 合学習 の課題・ ・・・・・・ ・・・・・・・ ・ ・・

00。

・ 25 第

2章

割合 の教材研 究 ・・・ ・・・・ ・・・・・・ ・・・ ・・ ・ 0・ ・ 。 26 第

1節

割 合 学習 において児童 が数量 を くらべ る視 点・・ ・・・ ・・ 。27 第

2節

問題 を分析す る視 ′点・・・・ ・・・・・・・・ ・・・・ ・・ 。32 第

3節

教科書 にお け る導入 問題 の分析 ・・・・・・・・・ ・・ 「・・ 37 第

4節

割合 の導入授 業 の提案 ・・・・・・・・・・・・ ・・・ ・・ … 45 第

3章

割合 の概 念形 成 とアー ギュメ ンテー シ ョン・ ・・・ ・・・・ ・・・ 47 第

1節

数 学教 育 にお け る概念形成 に関す る先行研 究・ :・ ・・・・・ 48 第

2節

アー ギュメ ンテー シ ョンの捉 え方・・・ ・・・・・・・ ・・・ 58 第

3節

各教科 にお け るアー ギ ュメンテー シ ョン研 究・ ・・ ・・ ・ ・・ 60

第

4節

算数科 にお け るアー ギ ュメンテー シ ョンの授 業 モデル ・・・・ 68 第

4章

割合 の概 念形 成 に関す る実態調査 ・・ ・・・・ ・・ ・

:...71

第

1節

実態調 査

(I)の

目的・・・ ・・・・・・・・・・ ・・・ ・・・ 72 第

2節

実態調 査

(I)の

概 要・・・・ ・・・・ ・・・・・ ・・・ ・・・ 75 第

3節

実態調査

(I)の

結果及 び考察■船 学習の導入題材の適正について一 … ・ 78 第

5章

割合 の概 念形 成 に関す る授 業 実践 。・・

10°

°° °°

000。

・ 83 第

1節

授 業実践 の 目的 と方法 ・・ ・・ ・ ・・・・・・ ・ ・・・ ・・・ 84 第´

2節

授 業 を分析 す る視 点・・・ ・・ ・・・ 。・・・・ ・・・・ ・・ 86 第

3節

割 合 に関す る実態調査(Ⅱ

)00000000。

・ ・・ 。・ ・・ 87 第

4節

全 体部 分型(野球 の1贋位 )の 授 業・ ・・ ヽ・ ・・ ・・・・ ・・・ 90 第

5節

伸縮型(ゴムの伸 び)の 授 業・・・ ・・・ ・・・・・・・ 0。 ● 96 第

6節

実践授業 の考察 ・・・・・・・・・・ ・・・・ ・・ ・・ ・・・101 第

6章

割合 の概 念形成 を促 す単元構 成 ・・ ・・・・・ ・・ ・・・・ ・ ・ 。104 第

1節

割 合 に関す る実態調査(IIl)。 ・・・・・・・・・・・・・・ 。・105 第

2節

各教科 書会社 にお ける単元構成 ・・・・ ・・・・・・・・・・ 110 第

3節

害J合の指 導計画・ ・・ 0。 ・・・・・・・・・・・ ・・・・ 。 114 終章 本研 究 の ま とめ と今 後 の課題 ・・・・・ ・・・・・・ ・・・・ ・ … 123 第

1節

本研 究 のま とめ・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・ ・ … 123 第

2節

今 後 の課題 ・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・ 。・ ・ ・ … 128

おわ りに 。・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・・ ・・・・ ・・・ ・・・ 129

序章 本研究の 目的及び方法 と本論文の構成

第

1節

本研究の目的及び方法

割合 学習 に関す る先 行研 究 は

,数

多 くな され てい るが

,害

J合 は

,児

童 に とつ て理解 が難 しい単元 で あ る。 筆者 自身 も小学校 教員 と して割合 学習 を指導 して きたが

,指

導 が しに くい と感 じていた。例 えば,「 くらべ る」こ とを「量 と測定」 領域 において子 ども達 は経験 を してい るが

,こ

れ まで の学習 で は長 さ重 さ

,か

さな ど具体 的 な量 を扱 って きてい る。 しか し,「害1合」 は関係 概 念 で あ り

,実

態 が存在 しない こ とも困難性 の一つ で あ る と考 え られ る。 また,「 単位 量 あた り大 き さ」,「 小数倍

,分

数倍 の意 味理解 」 な ど関連 す る既 習事項 が多 い こ とや

,問

題解決 を手続 き的 に指導す るこ とで は困難性 の改善 を行 うこ とがで きない こ と な どが困難性 の原 因の一 つ と考 える。 したが って

,既

習事項 を生 か しなが ら害」 合 の概 念 を少 しず つ豊 か に してい くこ とが必要 であ る と考 え る。 そ こで

,本

研 究 の 目的 は

,児

童 に害1合の概 念形成 を促 す た め の過程 を

,次

の2 点か ら考察す るこ とで あ る。 ① 先行研 究 をふ ま えて害1合学習 の困難性 とそ の改善 策 を考 察す る。 ② ① を も とに

,割

合 学習 の概念形成 を促 す授 業 の在 り方 を考 察す る。 なお

,研

究 の方法 と しては

,先

行研 究 を分析 ・考察す る文献解釈 的研 究 を行 う。 さ らに

,実

態調査 及 び実践授 業 を行 うこ とを通 して

,効

果 的 な指 導 の在 り 方 を検討 したい。

第

2節

本論文の構成

本論 文 は

,6つ

の章 で構成 す る。 第

1章

では

,割

合学習 の困難 性や そ の改善策 につい て

,先

行 研 究 を も とに概観 し

,割

合学習 の現状 と課題 につ いて検討す る。

1

第

2章

で は

,割

合学 習 にお い て

,児

童 に育成す る考 え方 を同定 し

,そ

のための 学習 の在 り方 を考 察す るた めの教材 研 究 を行 う。 まず

,割

合 以外 に よる くらべ 方 か ら割合 に よる くらべ方 へ の概 念拡 張 につ いて,「 く らべ る視 点」 を示 し

,教

科書 にお ける害1合指導 の課題 を明 らか にす る。さらに,「問題 の型 」,「題 材」,「式 の構造(比の

3用

法)」 を も とに教科書 分析 を行 うこ とで

,割

合 学習 で扱 う問題 につ いて検討 す る: 第

3章

では

_,数

学教 育 にお け る概 念形成 に関す る先行研 究 を概観 し

,本

研 究 にお け る概 念形 成 の在 り方 につ いて示す。 また

,概

念形成 を促 す指 導方 法 と し てのアー ギ ュメ ンテー シ ョンにつ いて

,先

行研 究 を も とにそ の特徴 を考察 し, 授業 づ く りへ の示唆 を得 る。 第

4章

では

,割

合学習 を終 えた児童 に対す る実態調 査 を行 い

;割

合 指導 の実 態 を把握 す し

,授

業づ く りへ の示唆 を得 る。 第

5章

では

,第

4章

で明 らか とな った実態や教科 書分析 を も とに,「 全体部 分 型 (野球 の順位)」 の授 業 と 「伸縮型 (ゴムの伸 び)」 の授 業 を計画 。実施す る。 また

,事

前・ 事後調査 の結果 か ら,「 全体部 分型 」,「 伸縮 型」 の授業 のそれぞれ の特徴 を分析す る。 第

6章

では

,第

5章

までの研 究 を も とに

,割

合学習 の単元指 導計 画 を検討 す る。 ‐_2‐

第

1章

割合学習の困難性 と改善策

本 章 で は

,ま

ず

,割

合 の捉 え方 につ いて学 習指導要領 及 び数 学教 育 にお け る 先行研 究 を概観 し整理 す る。 また

,割

合 学習 の困難性 につ い て先行 研 究 を概 観 し

,本

研 究 の問題 意識 を明 らか にす る。

第

1節

割合の捉 え方

第

2節

割合学習の困難性

第

3節

割合学習の困難性 に対す る改善策

第

4節

割合学習の課題

第

1節

割合の捉え方

本節 におい ては

,本

研 究 にお け る割 合 の捉 え方 を検討 す る こ とを 目的 とす る。 そ のた めに

,ま

ず 学習 指 導要領 にお け る 「割合 」 の取 り扱 い の変遷 を辿 るこ と で

,割

合指導 の歴 史 を概観 す る。 次 に

,数

学教 育 にお け る害1合 の捉 え方 につ い て先行研 究 を概観 す る。

1.学

習指導要領 に お ける割合 の取 り扱 いの変遷 昭和

22年

度 以降 の学習指 導 要領 にお ける 「割合」 に関す る記 述 は

,表 1-1

の通 りとな る。 表

1-1

学習指導要領における 「割合」の取 り扱い 告示年度 指 導 目 標 日召不口224千 (試案) 日常生活 に起 こることが らにつ いて歩合や百分率 を計算 し

,割

合 の観念 を明 らか に して

,新

聞や雑誌 にあ らわれ るい ろいろな歩合や 百分率 を理解す る能 力

,及

び 日常生活 に歩合や百分率 を用 い る能力 を養 うこ と。 昭和26年 (試案)

(1)百

分率 は,分母 が190である特別 な分数の分子であ る数 を用いて,割合 を表 わ した ものであることを理解す る。

(2)百

分率 を用い る と,各部分 の大 き さの割合 が整数 に よって表 わ され るの で

_,各

部分 の大 き さを比べ るのにつ ご うが よい ことを理解す る。

(3)基

準 にす る量の大 きさが同 じでない よ うな場合 に,そ れ に対す る量の大 き さを比べ るのに

,そ

のままの数 を月いたのでは適 当でない ことを知 り, この よ うな場合 に百分率が用い られ ることを理解す る。 日召不日33イ_手

(1)同

種 の二つの数 量

A,Bの

割合 を表 わす のに

,整

数

,小

数お よび分数 を 用い るこ とや

,そ

れ に関す る計算 の基本的 な場合 につ いて理解 させ る。 ア

Aの

Bに

対す る割合(p)を一つの数で表わす のに

,A÷

Bを

用 い ること, な らび に

,そ

の割合(p)を整数

,小

数お よび分数 で表 わす こと。 イ

pが

小数 で表 わ され る場合 にも

,Aは

,B×

pと して求 め られ ること。 ウ

A÷

Bが pで

表 わ され る とき

,Bを

1と み る と

,Aが

pで表 わ され るこ と

,お

よびpが 1よ り大 きいか小 さいかで

,Aが

Bよ り大 きいか小 さいか がわか ること。

(2)百

分率 お よび歩合 の意 味 について理解 させ る。

(3)異

種 の二つの数量 についての割合 を表 わす のに,一 方 の一定量 に対す る 他 の量の大 き さを用いた り,「単位 量 当 り」の考 え方 を用 いた りす るこ と を理解 させ,‐ 数量 の関係 を調べ るのに これ を用い る能力 を伸 ばす。 昭和 43年

(3)百

分率お よび歩合の意味について知 らせ,これを用いることができるよ うにす る。 ア 百分率お よび歩合(害

1,分

など)の意味を知 ること。 ' イ 百分率お よび歩合の基本的な場合 についての計算ができること。 昭和 52年

(1)百

分率 の意味 について知 らせ

,こ

れ を用い ることがで きるよ うにす る。 平成 元年

(1)百

分率 の意味 について理解 し

,そ

れ を用い ることがで きるよ うにす る。 平成 10年

(2)百

分率の意味について理解 し

,そ

れを用いることができるよ うにす る。 平成20年

(3)百

分率 について理解 でき るよ うにす る。 ‐_4‐

昭和

33年

度版 の学習指導 要領 においては

,C数

量 関係 倍1合)(式・公 式)(表 グ ラフ)と い うよ うに数 量 関係 の独 立分野 として割合 が位 置 づ け られ た。 また

,関

連す る小数

,分

数 の乗 除の計算 が 中学校 か ら小学校 の学習 内容 に移行 して きた。 また

,国

定検 定教科 書 にお け る 「帯 グラフ」,「 円グラフ」,「 百分率 (歩合)」, 「異種 の量 の害1合」,「 単位 量」,「 時 間 と速 さ」 の取 り扱 い学年 につ いて は

,表

1-2の通 りとな る。 は

,直

前 の学年配 当か ら変更 あ り 表 1-1,1■

2か

ら

,害

1合に関連 す る学習 内容 は

,お

おむね第

5学

年 にお いて指 導 がな され て きた と言 える。平成

10年

度版 学習指導要領 にお いて

,異

種 の量 の 割合 の学習 は

,第

6学

年 へ移行 した。 しか し

,平

成

20年

度版 学習指導要領 にお いて,「異種 の量 の害1合」 と 「単位 量」 は

,第

5学

年 の同種 の量 の害1合の学習前 に位 置づ け られ た こ とか らも異種 の量 の害1合が同種 の量 の害1合の学 習 に先行す る既習 内容 と して位 置 づ け られ てお り

,同

種 の量 の害1合の学習 へ大 きな影 響 を 及 ぼ してい る と言 え る。 表

1-2

月ヽ学校 国定検定教科書 にお ける割合 に関す る学習 の配 当学年 数 量 関係 量 と測 定 帯 グ ラ フ 円 グ ラフ 百分率 (歩合) 異種の量の割合 単位 量 時 間 と速 さ 第一期明治37年 6年 6年 6年 5年 第二期明治43年 6年 6年 6年 5年 第 二期 大 正 7年 6年 6年 6年 6年 5年 第 四期昭和10年 年 一４ 一 _1年 ,1年

5年

41年 第五期昭和16年 51年 5年 5年 5年

4年

第 六期 昭 和22年 6.年 5年 5年 5年 4年 日召不口26イ_手 6年 511‐61イ 「 5年 5年 5年 昭和33年 5年 5年 5年 5年 5年 日召禾口43イ手 5年 5年 5年 5年 5年 日召不口52`手 5年 5年 5年 5年 5年 平成 元年 5年 5年 5年 5年 5年 平成10年 5年 5年

0年

6年 6年 平成20年 5年 5年 5年 5年 6年

2.本

研究における割合の捉え方

「害

1合

」とい う言葉は

,古

くから使われてきた。

_{『 日本国語大辞典』}

(松

村

明

,1972)に

よる′

と

,江

戸時代における「割合」の使用例と意味について以下の

ように述べられている。

「分割 してそれぞれ の負担分 としてあてが うこと。 また

,そ

の もの。 割 当て。割 り前。 また

,割

り勘。」(p.686) また

,明

治時代 にな る と以下 の よ うに述べ られ てい る。 「全体 に対す る部分 の

,ま

た

,あ

るものに対す る他 のあ る物 の量 的関 係。 比率。歩合。害1。 」(p.686) これ らの こ とか らも分 か るよ うに,「 割合」 とい う言葉 は

,

日常語 と して用 い ら れ て きた。 そ の こ とは

,明

治以 降の教科書記 述 か らも うかが え る。 直 (1990)に よる と

,割

合 の教科書記述 について

,以

下の よ うに述 べ られ て い る。 「黒表紙本 では,「 割合」 は 「歩合」 と同義 としてい るのだが

,実

際 に は 「害1合」 よ りも 「歩合 」 とい う用語 が主 として多 く使 用 され て い る。 しか し

,歩

合 とい う言葉 もここで始 めて定義 され た に もか かな二 定義 され る以前 にも 「割合」や 1割_に

,割

_{で」 とい う言葉 は}

,教

_科書 に 日常語 として無定義で使 われているのである。 た とえば

4年

生 の総 復 習 の単元 には 「甲乙二人 ガ金 ヲ分 クル ニ 甲が

3銭

トレバ 乙ハ

2銭

ト ル割合 ニ ス レバ

, 50銭

ヲ分 クル 時 ノ両人 ノ分 ケ前ハ各 幾 ラナル カ」 とい う問題 が出て い るので ある。 この よ うに割合 を無 定義 で 日常語 と して使 うとい うこ とは戦 後 の 自表紙本 にいた るまで見 られ る。 しか し, 昭和

26年

以降 の教科 書 では 「割合 」 を用語 に近 い意 味 で位 置づ けてい るので

,害

1合の単元以前 に この言葉 が使 われ るこ とはない。」

￨

(p.22)(下線筆者) この よ うに 「害1合」 とい う言葉 は

,

日常語 と して教科 書 にお い て無 定義 に用 い られ て きたが,昭 和

26年

度版 学習指導 要領(試案)か ら用語 と して位 置 づ け られ, ‐ 6‐

定義 され る こ とで

,割

合 を学習 す る前 の段 階 におい て は用 い られ な くなった。 また

,

日常語 と して用 い られ て きた とい う歴 史 は

,

日常 生活 の 中に割 合 で く ら べ た り

,数

量 関係 を表 現 した りす る事 象 が多数 存在 してい る こ とを意 味 して い る と言 える。 次 に

,数

学教 育 にお け る 「割 合 」 と 「割合 の考 え」,の捉 え方 につ い て検討 し てい る先行研 究 を も とに

,そ

れ らの捉 え方 を考察す る。「割合 」と「割合 の考 え」 につ いて

,長

崎

(2012)は

以 下の よ うに述べ てい る。

′ 「学習指導要領 にお け る割合 の扱 いは

,昭

和

30年

代 を境 に大 き く変 わ つてい る。 また

,昭

和

26年

版 と昭和

33年

版 では

,

ともに

,割

合 がほ とん どの学年 で扱 われ て きたが

,そ

の扱 い方 には大 きな違 いが あ った。 前者 では

,割

合 は 日常生活 との関連 で表 現 され ていたが

,後

者 で は, 「割合 の考 え」 が小数・分数 の乗法 の意 味指導 に大 きな役害1を演 じてい た。 その後 の割合 の歴 史 は,「 害1合の考 え」 につ い ての歴 史 と言 つて も 過 言 ではないで あ ろ う。「割合 の考 え」 が 中心 とな つた昭和

QL生

版 で は

,乗

法 は整数 の場 合 は累加 で導入 され

,小

数 の場合 には比 の用 法 と 関連 させ てそ の意 味 を拡 張 して

,1乗

数 の持つ意 味 を

,基

準 とす る量 に 対す る割合 を表す数 と考 えて

,乗

法 の意 味 を統一 的 に理解 させ る」 (「小学校 算数 指導書 」文部省

,昭

和

35年

, p.128)と

した。 つ ま り, 「割合 の考 え」 に よつて

,乗

法 の意 味 を拡 張す る と した。 しか し

,そ

の 後

,こ

の学習指 導要領 の考 え方 の文持者 とその反 対者

,特

に数 学教育 協議会 (数教協

)の

間でいわ ゆ る 「割合 論争」 が起 こった。(中略) なお

,最

近 では,「 割合 」 とい う言葉 は数 量 を表 す 「異種 の二つ の量の 割合 と して捉 え られ る数 量」 としてだ け使 われ

,同

種 の二 つ の量 の割 合 につ いては

,百

分率

,歩

合

,比

とい う用語 が使 われ てい る。」 (p.16-17)(下線筆者) この よ うに

,長

崎 (2012)に よれ ば

,昭

和

33年

度版 の学 習指導 要領 にお いて,「割 合 の考 え」 が 中心 と して取 り扱 われ る よ うになった。 なお

,割

合論 争 につ いて宮下 (2008)は

,以

下 の よ うに述べ てい る。

「「割合論 争」は何 の論争 であったか とい うと,「 数

=量

の比」 と 「数

=量

(数は量 の抽 象)」 の論争 で ある。数 学 な ら,「 数

=量

の比」 に軍 配 をあげ る こ とにな る。 しか し

,学

校数 学 に実質 に入 つて いつた のは, 「数

=量

」 の方 で あ った。」(p.68) この よ うに

,昭

和

33年

度版 学習指導 要領 にお いて,「 割合 」,「 割合 の考 え方 」 の取 り扱 いが

,転

換 して い る。 さらに,『 算数 教育指 導用語辞 典 (第四版)』 を も とに 「割 合 」 の捉 え方 につ いて見てみ る と

,以

下の よ うに述 べ られ てい る。 「二つ の数 または同種 の量 の

A,Bに

つ いて

_,Aが

Bの

何 倍 であ るか を 表 した数

Pを

,Aの

Bに

対す る割合 とい う。」 (日本数学教育学会出版部,2009,p.305) 一方

,田

端 (2002)は

,以

下の よ うに述 べ,「 害1合」 と 「害J合 の考 え」 の違 い を 明示 してい る。 「整数 ÷整数 で商 が小数 となる際 に小数倍 が指導 され る。 この整数倍 か ら小数倍 へ と倍 の意 味 の拡 張が され る際 には じめて割合 の見方 が顕 在化す るが

,あ

くまで もこの段 階 では割合 の見方 で あって 「割合

Jで

はない。(中略

)全

体 と部分 の関係 を把握 してい る段階 で は倍 で あ り割 合 の見方 で あ るが

,全

体 と部分 の関係 同士 を比較 す る段 階 か ら 「害1合」 と したいので あ る。 一量対 比 の場 合 も同様 に

,基

準量 とす る量 の時間 的経緯 の前 後 の量 の関係 を把握 してい る段 階では倍 で あ り害1合の見方 であ る。 ところが

,二

組 の関係 同士 を比較 す る段 階 か ら 「害1合」 と考 えたいの で あ る。 関係 を把握 してい る段 階 の数 学 的 アイデ アは測 定 で あ る。 関係 を比較 す る段 階 で も関係 を数値化す る数 学的 アイデ ア は測 定で あ るが

,そ

の際 に

2つ

の数 量 関係 に比例 を前提 とした り仮 定 した りしてい るのが 「割合 」 で ある。」(p.25)(下線筆者) 以上 の こ とか ら

,本

研 究 において も

,二

組 の関係 を比較す る段 階 か ら「害1合 」 ‐_8‐

と考 え

,以

下 の よ うに捉 え る こ ととす る。 しか し

,本

研 究 で の考察 において両 者 の明確 な区別 が難 しい場合 も多い。 したが って

,本

研 究 にお いては,「害1合 の 考 え」 と して限定 して使 う場合 を除 い ては,「 割合」 は,「 割 合 の考 え」 も含 め るこ ととす る。 割合 「

_Pを

_{用 いて}

_2組

_{以上 の数 量 関係 を比較す るために}

_,2つ

_{の数 また は}

_,同

_{種 の} 量 の

A,Bに

つ いて

,Aが

Bの

何倍 で あるか を表 した数

Pを

,Aの

Bに

対す る 害1合 とい う。」

第

2節

割合学習の困難性

本節 では

,割

合学習 の困難性 についての先行研究を概観 し整理す ることで,害1 合学習 の困難性 を明 らかにす る。1957年 か ら2012ま ので 日本数学教育学会の『 算 数教育』誌 に掲載 された論文

35編

,及

び『 教育心理学会誌』等

6編

を同種 の量 の割合学習の困難性 に関す る先行研究 を対象 として抽 出 し

,検

討 した。その結 果は下記 の通 りである。 <害1合学習 の困難性

>

(1)害

1合の概 念形成

(2)割

合 以外 に よる くらべ方 と割合 による くらべ方

(3)比

較量 と基 準量 の同定

(4)同

種 の量 と異種 の量 の接続

(5)児

童 の割 合 の見方

(6)割

合 の活 用

(1)割

合 の概 念形成 割合 には多 くの既 習事項 が関連 してい る。 例 えば

,小

数 の乗 法 は例 に挙 げ ら れ る こ とが多 い。 ガヽ数 倍 を既 に学習 してい る児童 に とつて

,割

合学 習 にお い て 新 しく学ぶ こ とは何 で あ るか を指導す る教師 は明確 に してお く必要 が ある。 な ぜ な ら

,こ

の新 しく学ぶ こ とこそ が

,割

合 学習 におい て促 す べ き概 念 形成 で あ るか らだ。 この こ とにつ いて

,土

屋 (2002)は

,以

下 の よ うに述 べ てい る。 「割合 の音 味 は小数倍 の音 味 の言 い換 えにす ぎないので はないか

,小

数倍 を見 させ てお いて

,Aは

Bの

p倍

とい うの を

Aは

Bを

も とに した とき

pの

割合 と言 い換 えてい るにす ぎない と考 え る。

Bを

1と見 た と き

Aは

pと

見 る こ とも小数倍 と割 合 の違 い はほ とん ど取 り上 げ られ て いない

,従

って

,児

童 は比べ られ る量 ■ もとにす る量

=割

合 とい う言 葉 の式 を覚 え

,そ

れ を根拠 に考 え るこ としか指導 され て い ない。」 (p.30)(下線筆者) つ ま り

,害

1合 とは小数倍 の意 味の言 い換 えにす ぎない のでは な く

,基

準量 を1 ‐_10‐

と見 た ときのい くつ分 で あ る こ とを強調 し

,害

1合の意 味 の導 入 か ら学 習 を行 う こ との重要性 を指摘 してい る。

(2)割

合 以外 に よる くらべ方 と割合 に よる くらべ方 困難性 の二つ 日は

,割

合 以外 に よる く らべ方 と割 合 に よる く らべ 方 である。 田端

(2002)は

, 2つ

の数 量 を くらべ る際 には

2つ

の視 点が あ るこ とを以下 の よ うに述べ てい る。 「

2つ

の数 量 を見比べ た ときにまず考 え られ るの は

,差

か倍 の

2つ

で 比べ るこ とで あ る。」(p.24) ここでの差 に よる く らべ方 とは

,2つ

の量の差 によつて く らべ るこ とを指 して い る

6田

端 (2002)が 上記 で述 べ てい る よ うに

, 2つ

の数 量 を く らべ る際 には, 児童 が割合 の学習 をす るまで に経 験 してい る数 量の比較 か ら

,差

に よつて く ら べ よ うとす る児童 と割合 に よつて くらべ よ うとす る児童 が混在 してい る状況 に あ る と言 える。 同様 に

,平

山

(2003)は

,2つ

の数 量 を くらべ る際 に示す児童 の困難 性 につ い て以 下の よ うに述 べ てい る。 「

_2量

_{間の倍 関係 を確 実 に把握 で きていた児童 も}

_,比

_{例 関係 を把 握 す} る レベル にお いて は

,そ

の判 断 に迷 い を見せ るよ うにな る。す な わ ち 児童 は,「 倍 」 の対 にな る観 点で あ り

,量

を比較 す る際 の原 点 とも言 う べ き 「差」 の観 点 を適用 しよ うとす るのである。 この よ うに

,割

合 の 文脈 上 で,「 差」 の観 点 を適 用 しよ うとす る方略 は

,加

法 方 略 と呼 ば れ る。 しか し

,こ

れ までのわが国の学習指導 にお いては,カロ法方 略 に 直接対峙 し

,そ

の克服 に時間 を割 くこ とは ほ とん ど行 われ て こなか つ た。 その結果 として

,一

部 の児童 は

,割

合 の文脈 にお け る 「差」 の観 点 の滴 用 につ いて、整理 で きない ままに,「 倍

Jの

観 点 を用 いて い るよ うに思 われ る。 そ して

,未

整 理 の ま ま 「差 」 の観 点 は

,前

述 の よ うに 把 握 の対 象 が広 げ られ る際 に

,迷

い と して表 出す るの で あ る。」

, (p.14)(下

線筆者)

ここでの差 に よる く らべ方 とは

,2つ

の量 を比例 関係 が ともなわない加減 でそ ろえ る こ とで あ る。 平 山 (2003)は

,差

の観 点 を整理 しない ま ま

,割

合 の学習 に おい て割合 の観 点 を適 用 す る こ とで

,新

たな場面 にお い て差 の観 点 を適用 しよ うとす るこ とを指摘 し

,加

法方 略 を克服す る実践 的な研 究 を行 った。 中村

(2008)は

,割

合 に よる くらべ 方 の困難性 につ いて以 下 の よ うに述べ て い る。

ヽ 「二量の関係 を とらえる とき

,差

で くらべ る方法 と倍 で く らべ る方法 が あ る。児童 の多 くは

,差

で くらべ る方法 がで き るが

,倍

で く らべ る 方 法 (割合

)は

なか なかで きない。 それ は

,二

量 の うち一方 を基 準量 にす る とい うこ とに困難性 が潜 んでい るか らで あ る。 この 困難性 を解 消す るた めには

,差

で く らべ る方 法か ら倍 で くらべ る方 法 へ と移 行 さ せ

,倍

で くらべ る こ との よ さを児童 に感 得 させ る こ とを割 合 の導入指 導 で行 う必 要 が あ る。」 (p.2)(下線筆者) つ ま り

_,田

端

(2002),平

山

(2003),中

村

(2008)の

指摘 をま とめ る と

2つ

の 数量 を見 く らべ る時 に

,児

童 が素朴 に くらべ る方法 を吟 味す る こ とを通 して, 割合 で くらべ る方法 を学習す るこ とが重要 で あ る と考 え る。

(3)比

較 量 と基準量 の 同定

￨

困難性 の三つ 目は

,問

題 の文脈 か ら 「も とにす る量 」,「 比 べ る量 」,「 害1合 」 を把握 す る こ とで あ る。 この こ とにつ いて 中村

(2002)は

,以

下 の よ うに述 ベ てい る。 「割合 は難 しい教材 の一つ である。 その要因 として

,大

き く次 の三つ が あげ られ る。 まず

,害

1合は二量 の関係 を表す た め

,数

の相 対的 な見 方 が必要 にな る。「も とにす る」 とい う考 え方 とともに

,

どち らの数 を も とにす るか に よつて

,相

対 的 な関係 を数値化 した結果 が異 な る こ と に難 しさの要 因が あ る。」(p.14) ‐_12‐

この よ うに

,

どち らの数 を も とにす るか に よって

,相

対 的 な 関係 を数 値化 した 結果 が異 な る こ とに難 しさの要 因が あ るこ とを指摘 してい る。 また

,金

井

(2002)は

,構

造 が立式 に及 ぼす影響 につ いて以 下 の よ うに述 べ てい る。 「用法 に関係 な く,問 題文 にお ける数値 の順序が 「

B(基

準 量

)r皓

1合)

A(比

較 量)」 の構 造 にな つてい る問題 は

,比

の

3用

法 に関 わ らず 正答 率 が高い傾 向が見 出せ る。(中略)「

BrA」

とい う構造 の 問題 は二 笙

2学

年 か ら学習 してい るか け算 の基本構 造 の形式 で あ る。 よつて

,児

童 。生徒 は この形式 にのせ るので式 が立や やす い と思われ る。 この こ とは

,比

の第

2用

法 の調 査 問題 の■E答 率 が ほかの用法 と比 べ る と高い ヽ _{ことと整合 的 で あ る。 す なわち}

_,か

_{け算 の基本構 造 が直接 的 に反 映 で} き るので

,正

答率 が高い とい える。」(p.10)(下線筆者) この よ うに

,金

井 (2002)は

,問

題文 の構 造 が児童 の問題 解 決 に影響 を及 ば して い るこ とを指摘 してい る と言 え る。 また

,第

1用

法 は 「比較 量 ÷基 準 量」 で あ るた め

,問

題 文 に害1合が含 まれ てお らず

,基

準 量 と比 較 量 を同定 しに くい こ と と関連 してい る と言 え る。 また,「 も とにす る量」,「 比べ る量」

,の

同定 が難 しい こ とが

,か

け算 の基本 構造 で あ る 「

BrA」

の構造 と して立式すれ ば よい とす る児童 が増 え

,結

果 と して 「

BrA」

の構 造 になってい る問題 の正答率が高 くな る とい う結 果 を導 い てい る と考 える こ ともで きる。

(4)同

種 の量 の割 合 と異種 の量 の割 合の接続 困難性 の四つ 日は

,同

種 の量 と異種 の量の接 続 であ る。 田端

(2002)は

,異

'

種 の量 と同種 の量の害1合の教授 学習過程及 び数 学的アイデ ア につ いて表 1‐

3の

, よ うにま とめた。

表

1-3

異種 の量 と同種 の量 の割合 の接続(田端,2002,p.28) 異種 の量の割合 ① 一方の数量 をそろえて他方で比較す る。 ・公倍数の考え

。平均の考え ② 一方 を単位量 として他方で数値化する. ・等分除的解釈

。包含除的解釈 同種 の量 の割 合 ① 一方の数量をそろえて他方で比較す る. 。公倍数の考え

・平均の考え ② 一方を単位量 として他方で数値化す る。 ・等分除的角翠釈 ′ ・包含除的解釈 ③ 一方(全体)を 1と みて他方を測定 して数値化す る。 ・包含除的解釈

・測定の考え ′ 表

1-3か

ら分 かるよ うに

,異

種 の量 と同種 の量の割合 の導入場面においては, ① と②の教授学習過程 な らびに数学的アイデアが同 じになる。 しか し

,異

種 の 量の害1合が等分除的解釈 のままでよいのに対 して

,同

種 の量 の害J合では等分除 的解釈 か ら包含除的解釈へ と発展 させ る必要 があると述べてい る。 異種 の量の害1合である「単位量 当た り」の考 えは,『算数教育指導用語辞典 (第 四版)』 によると

,以

下 のよ うに述べ られてい る。 「一般 に

,2量

A,Bの

割合 を考 えた とき

,Aと

Bの

どち らを基準 に と つて も

,基

準 に した量の単位量 当た りに対す る他 方の量 の分量が考 え らオЪる。」(p.237) つま り,異種 の量の害1合では,基準 に した量 に対す る他方の量 の分量 (1つ 分) を求 めることであるため

,等

分除的解釈 であると言 える。一方

,同

種 の量の割 合は

,算

数教育指導用語辞典 (第四版

)に

よる と

,以

下のよ うに述べ られてい る。 「二つの数 または同種の量の

A,Bに

ついて

,Aが

Bの

何倍 であ るかを 表 した数

Pを

,Aの

Bに

対す る割合 とい う。」(p.305) ‐_14‐

したが つて

,同

種 の量 の割合 は

,Bを

基準 に して

,Aが

そ のい くつ分 にあた る か を求 め る こ とで あ るの で

,包

含 除的解 釈 で あ る と言 え る。 また

,包

含 除的解 釈 につ いて は

,中

原 (2009)は

,Vergnaud氏

の捉 え方 を も とに以 下 の よ うに述べ てい る。 「スカ ラー 関係 に基づ く乗法 は

,(求

め る全体 量

:x)=(基

準量 :a)× (倍量

:b)と

い う言葉 の式 でま とめ られ た。

bが

未知 の場 合 は次 の よ う な式 にな り

,こ

の倍 量

xを

割合 とみれ ば

,こ

の式 は比 の第一用 法 を表 してい る こ とにな る。(求め る量

:x)=(全

体量

:c)÷

(基準 :a) 比 の第一用法 は

,包

含 除 の拡張 として見 られ る。」(p.189) この よ うに

,害

1合 (同種 の量

)の

学習 にお いては

,等

分 除的解釈 か ら包含 除的 解 釈へ と接続 させ るこ とが重要 で あ る。 したがつて

,異

種 の量 で学習す る こと と同種 の量 で学習 す る こ との違 い を明 らか に し

,系

統性 の あ る学習計画 を立 て てい くこ とが必要 で あ る と思 われ る。

(5)児

童 の割 合 の見方 認 知 的 な側 面 か ら割 合 を見 てい く と

,次

の よ うな指 摘 が あ る。整 数

+整

数 で 純小数や 分数 が答 え とな る場合 に (大きい数

)÷

(小 さい数

)と

す る傾 向があ るこ とにつ いて 田端

(2012)は

,以

下 の よ うに述べ てい る。 「平成

20年

A□

の(1)と (2)を比較 してみ る。 この問題 は

,あ

らか じめ

3mの

赤色 のテー プ

,6mの

青色 のテー プ

,12mの

黄色 のテー プが図 とと もに示 され

,次

の よ うに問われ てい る。 4 十 一 プ ●=3奉 あ 1'ま す ご 十 一 プ の 長 さ は,次の よ う に な っ て い ま す 。 ・ ホ 出 の デ ´・メけ 崚 さ は 3m ― ・ 青 色 の テ ー プ の 最 さ は 6憫 ・ 贄 色 の テ ー プ 楡 長 さ は 12鷺 (■)賞 邑 の テ ー プ0)鷺さ は"ホ 巴 け ‐r一デ め 畿 書 りfrJ倍 .く ・ す か 。 求 め ら 気 と 感 え 書 警 キ ま し よ う 。 (2,や 色 の ケ ー プ ‐ 長 さ は,貪 色 の テ ー プ の 長 督 の 何 権 で す か 。 求 め る 式 と 答 え を 書 き ま し ょ う。

正答 率 は

,(1)が

83:1%,(2)が

55。

7%で

ある。 比較 量

,基

準量 は異 な るが

,問

題 文 の構 造 は同 じで あ る。

Aは

Bの

何 倍 かが 問 われ

,A■

Bで

求 めれ ば よい か らで あ る。報告 書 によれ ば

,(2)の

誤 答 で最 も多い のは

,12■ 6の 24.0%で

あ る。 ク ロス集 計 の結果 (1)を 正 答 し(2)を 誤 答 した児童 の割合 は,30。

3%で

あ る とい う。 この結果 か ら整数倍 を求 め る除法 において児童 の演算決 定 の根拠 が

,(大

きい数 )÷ (ノ∫ヽさい数) で あ るこ とが予想 され る

J(p.47-48)(下

線筆者) この よ うに

,誤

答分析 か ら

,(大

きい数

)■

(小 さい数

)で

答 えを出す傾 向に あ るこ とが分 か り

,全

て の問題 を (大きい数

)十

(小 さい数

)の

方略 で解 こ うと す る傾 向があ る と捉 え る こ とがで きる。 また

,吉

田

(2003)は

,割

合 の問題 の難 しさにつ いて以 下の よ うに述 べ てい る。 「子 どもは

,

日常 の言語 で は

,100%以

下の状況 で は

,%や

割 を使 い,

100%を

こえ る状況 で は

,ほ

とん どの子 どもが倍 の表現 を使 つて い る のだ。 それ に対 し

,教

科書 では

,小

数倍 と

%の

両方 とも どの よ うな状 況 で も適用 で き る と教 えてい る。 しか し

,子

どもの論理 か らすれ ば,

100%を

こえる問題 状況 を

%で

考 えるこ とには

,直

感 的 にか な り無理 が 生 じるだ ろ う。 さ らに

,100%以

下 の状況 を小数倍 で考 え よ うとす れ ば, これ らも彼 らの論理 と合 わない とい うこ とにな る。」 (p.160-161)(下線筆者) 子 どもの論理 と教科 書 に書 かれ て い るこ とに矛盾 が生 じて い るの で

,割

合 の 見方 を拡 張す る こ とが で きず

,学

習 した公式 を利用 して問題 を解 くこ とをあ ま りしない とい う結 果 につ なが る。 した が つて

,子

どもの論理 を考慮 に入れ なが ら

,概

念 を拡 張 し

,割

合 に対 す る見方 を拡 げ られ るよ うに して い くこ とが

,割

合の指 導 にお いて必要 にな って くる と考 え られ る。 ‐_16‐

(6)割

合 の活 用 儀部

(2011)は

,平

成

19年

∼

22年

の全 国学力・学習状況調 査 の結 果 を も と に

,割

合指導 の課題 につい て表

1-4の

よ うに述べ て い る。 課題 として挙 げ られ てい るものには

,ま

ず

,意

n/kに_{ついて の理解 が あ る。 割} 合学習 は難 しい と教 師 も考 え

,で

きる よ うに させ るた めに比 の

3用

法 を用いて 計算 で き る こ とを 目指 し

,意

味理解 が不十分 になって い る と考 える。 また

,示

され た考 えが正 しいか ど うか を割合 の考 えを用 いて評価 し

,そ

の理 由 を数学的 に説 明す るこ ととあ るよ うに

,こ

れ までのグ ラフ指導 では

,数

値 を読 み取 る こ とや か くこ とに重点 が置 かれ て きた こ とへの指摘 で あ る と考 え る。 さらに

,全

国・学力学習状況調査 にお ける

,割

合 に関す る調 査 問題 及 びそ の 結果 は

,磯

部 (2011)の 結果 を も とに

,平

成

23年

度以 降 の もの も含 め る と表

15

の よ うにな る。 表

1-4

害1合指導 の課題 (磯部

,20H,p.29)

(1)割

合 に関す る課題 か ら指導 の課題

′ ○ 百分率 の意 味 につ いて理解 す るこ と ○ 百分率 を用 いて 問題 を解決 す るこ と ○ 示 され た考 え方 が正 しいか ど うか を割合 の考 えを用 いて評 価 し

,そ

の 理 由を数学 的 に表現 す るこ と

(2)学

習指導 にあた つて大切 に したい事項 〇 百分 率 の意 味 を理解 し

,数

量 の関係 を とらえて立式 で きる よ うにす る こ と ○ 日常生活 の場面 で百分率 を用 いて問題 を解 決 す る活動 を通 して

,百

分 率 の意 味理解 を深 め るこ と ○ 割合 の学習 で は

,比

較 量 が

,基

準量 と割合 の積 で決 ま る こ とを理解 で き るよ うにす る こ と ○ 比較 量 の大小 は

,割

合 だ けで決 ま るのでは な く

,基

準量 と割合 の

2つ

に よつて決 ま る とい う見方 がで きる よ うにす るこ と

表

1-5

全国学力学習状況調査 における割合の問題

(儀

部

,20H改

) 年度 問題番号 問題 形 式 正答率 備 考 19

B3(3)

選択 式 54。

1%

棒 グラフの読 み と り

B4(1)

言己述式(方法=理由)

29.5%

第

2用

法 値 引 き 20

A9(1)

短答 式

91.5%

円グラフの読 み と り

A9(2)

短答式

55,1%

第

2用

法 B 2 (2) 選 択 式

58.5%

第

2用

法 を求 め るための条件 B 2 (3) 記 述 式 (理由)

17.6%

第

2用

法 ９ “ A7 選 択 式

57.1%

第 1用法

,図

無 し B 5 (3) 記述式 (理由)

17.9%

第 1用法 ９ ″ ０ ４ _{A9 短答式} 57

8%

_第 1用_法

B3(3)

選 択 式

40.2%

第 1用 法 円グラフと表の読みとり B 5 選 択 式

69,2%

第

2用

法 百分率の量 としての概念

B5(2)

記 述 式

17.4%

第

2用

法 23

B4(2)

選択 式 第 1用法

B4(3)

記述 式 「部分と部分」と「部分と全体」の関係 24

A□

短答式

58.7%

第

3用

法

B□

(3) 記 述 式

23.8%

第1用法 25

A□

(1) 選 択 式

76.9%

第

2用

法 A

_回

“９ 選 択 式

77.1%

第

2用

法 比較量と基準量の大小関係

Ё□

(2) 選択

,記

述 式 44.70/0 第

2用

法 これ らの結果 か ら

,磯

部 (2011)に お いて述 べ られ て い るよ うに

,(1)割

合 に関 す る課題 か ら指導 の課題 において述べ られ てい る,「示 され た考 え方 だ正 しい か ど うか を害1合の考 え を用 いて評価 し

,そ

の理 由を数 学 的 に表 現 す る」 こ とが 困 難 であ るこ とが

,表

1-5か

らも読み取れ た。 また

,(2)学

習 指 導 にお いて大切 に したい事項 の

4点

は

,意

識 して指導 してい くことが今後 の課題 で あ る と思 わ れ るι

l

18‐

第

3節

割合学習の困難性に対する改善策

本節 において は

,前

節 で整 理 した割合 学習 の困難性 に対 して

,そ

の改善 を 目指 して行 われ た と捉 え られ る先行研 究 を概観 し

,整

理す る。

(1)割

合の概念形成 早 川

(2003)は

,同

種 の割 合 の導 入 につ い て 以 下 の よ うに述 べ て い る。 「これ ま で の害1合の 実 践研 究 で は

,複

数 の数 量 関係 を比 較 す る場 面 か ら導入す る こ とが多 か った. シュー ト問題 では 「どち らが うまいか」, ゴムの問題 では 「どち らが伸び るか」 を追求 し

,割

合 の違 い を比較 し て考察 して きた と言 える。それ に対 し

,本

研 究 で は

,シ

ュー トの 「同 じ割合 」 を考察 してい くので あ る

.(中

略

)2つ

の数 対 (10,20),(12,24) は一 見

,異

な る数値 のペ アであ る。 この違 う数対 を 「同 じ」 と見 よ う とす る観 点 が必要 にな る。 その観 点が 「割合」 なので あ る

.授

業 では, 数対 (10,20), と

(12,24)は

「何 が同 じなのか」「なぜ 同 じなのか」 を問 うた。 そ して

,倍

で考 えるこ とによつて割合 が 同 じで あ る こ とに 気づ いた。倍 で考 え るよ さを見いだす こ とがで きた ので あ る。」 (pp.23-30)(下線筆者) この よ うに,「 何 が 同 じなのか」「なぜ 同 じなのか」 を追究 す る こ とで

,数

対 が比例 関係 にあ る こ とに気 づ き

,倍

で考 える こ とで割 合 が 同 じで あ る こ とに気 づ くこ とがで き る と示 してい る。

(2)割

合 以外 に よる くらべ方 と割合 に よる くらべ 方 平 山

(2003)は

,加

法方略 の克服 について下記 の よ うに述が てい る。 「児童 が加 法方略 を克服す るためには

,児

童 に とつて

,

どの よ うな経 験 が必要 で あ ろ うか。筆者 は

,割

合 の文脈 におい て

,加

法方 略 の不適 切 さを認識 す るだ けではな く,「 差

￨と

「倍

Jの

観 点の適 切 な用 い方 に, それ ぞれ整理 をつ け るこ とが必要 で ある と考 える。 そ して

,整

理 をつ け るた めには

,害

1合の文脈 におい て,「倍 」 の観 点 に 目を向 け るだ けで

はな く,「 差 」 の観 ′点につ いての吟 味 も

,十

分 に行 われ る こ とが欠 かせ ない よ うに思 われ る。 あ る概 念 を深 く理解 す るた めには

,そ

の対 立概 念 へ の理解 も深 め

,両

概念 を対比 し

,関

連付 け る作業 が必 要 で あ る。 す なわ ち,「 倍 」 の概 念 が必要 とされ る割合 の問題 場 面 にお いて,「 差」 の観 点の適 用 につ いて吟 味 し

,互

い を対比 させ

,関

連付 け る活動 は

,児

童 が適用 され るべ き観 点 を整理 し

,自

信 を持 って 「倍 」及 び 「差 」 の観 点 の適用 を行 うた めの糧 とな るこ とが期待 され る。 そ して

,そ

の こ とは 割合 に対す る深 い理解 と同義 で あ る と言 えるだ ろ う。」 (p.15-16)(下線筆者) 上記 の こ とを踏 ま えて

,図

1-1の

問題 を提示 して

,実

態調 査 を行 つた。 そ の 後

,こ

の問題 について考 える授 業 を行 つた。

1時

間 日の授 業 にお いて児 童が選 ん だ選択 肢 か らは

,多

くの児童 が

,害

1合 の文脈 において割 合 の観 点 を適 用 しつ つ も,害1合以外 の観 点 は未整理 のままに して しま ってい るこ とが明 らか になった。 I力Ocn■ ￨.た Iて鍬 m横 12鞣mの ス ク リ ー ン を,同 じ 形 の ま ま ■大 き く し よ う と 思 い ま →‐, そ こ で_Lr/)LョJ)よ う:こ. I‐‐Jじ ■はI議ル紙を

,ス

ク リー ンのたて と横につ け くわえる ■と ■11こ￨しま し 責■ ■￨‐ ‐三あ方法で

,同

じ形のスクリーンは作オτるでt´ ようめ、

1決

_の中 "￨らあなたの考えをひとつだけえらんで

,九

をつ ￨■ナてくださ￨ヽ 図1■

1

加法方略(平山,2003,p.17) この実践 は

,対

象学年 が第

6学

年 であ り

,比

の学習 を終 えた後の 発 展学習 と して位 置づ け られ て い るた め

,現

行 の指導要領 では

,第 6学

年 にお け る「縮 図 や拡大 図」が この内容 を補 ってい る と言 え る。また,害1合の学習 を第

5学

年 で 完結 させ る とい う捉 え方 で はな く

,第

6学

年 にお け る,「速 さ」の学習や「比 」, 「比例」等 も含 めた

6年

間 にお ける概 念形成 と捉 え る こ との必 要性 を示唆 して い る と言 え る。 ・_20・

(3)比

較量 と基準量の同定 割合 の文章問題 に絞 った研 究 もな されてい る。小林

(1986)は ,害

1合の問題 を考 える時の手 順 として,「メモの○ を書 く」,「短い文 に書 き直す (基準量の見 つけ方)」 「メモ に書 きこむ」「仲 よし を調べる」「計算 を決 める」「式 と答えを書 く」を示 した。 この こ とによ り,“仲 よし

"の

関係 を調 べ るこ とによる正答率 が 高い とは断定できない と思われ るが

,こ

うした実験 。確 かめ を繰 り返 した結 果 は

,や

は り高い正答率べ とつながる と述べてい る。(p.4) 図

1-2

仲よしを見つけるメモ(小林,1986,p.4) 文章題 の指導 は

,学

校 現場 において も

,数

多 く実践 され てい るが

,小

林(1986) の実践 も含 めて

,手

続 き的 に課題 を解 決 させ よ うとす るもので ある。 例 えば, 「“の"“_{∼に対す る}

"が

_{あるときは,」 といつた方法 では}

_,全

_{ての課題 に対 して} 対応す るこ とができない。 この ことに関 して

,小

林

(1986)で

は

,次

のよ う に述べてい る。 「現行の教科書の問題 はほ とん ど,“の"“∼に対す る

"が

書いて ある ので

_,こ

の手順 によつて確実に正答 を得 ることができる。」(p.3) 【問題】「米は

6%の

たんぱく質を含んでいます。140gの米には

,た

んぱく質が何g含 ま れていますか。」 くらべ る

Ｏ

ｏ

米の量 たんぼ くしつの割合 たんぼ くl´つの豊 たんば くしつの害1合 「仲よしを調べる」とは

,割

合の○に書いてある名前と

,比

較量の○に書いてある名前 が 同 じか ど うか を調 べ る とい うこ とで あ る。 仲 よ しで な い ので… くらべ る 米の量 … の量

この よ うに

,限

定的 な課題解 決 の方略 を与 えて も

,害

1合の意 味 を よ く理解 した 上 で課題解決 してい る とは言 い難 く

,概

念形成 を促 す こ とへ はつ なが らない ど 考 える。 岡崎 (2008)は

,5年

生 の小数 除法 の単元 にお いて

,割

合概 念や 中学校 の関数 の グラフの認識 の 向上 へ 向 けたデ ザイ ン実験 を実施 した。 崖 の傾 斜 を小数 除法 と して捉 え る様相 につ いて純小数倍 が操 作教具(図

1-3)と

二重数 直線 に よつて ど の よ うに認 識 され るか を分析 した。 二重数 直線 へ の変換 と活動 の成 果 と して, 以下の よ うに述 べ てい る。 「操作教具での純小数倍 の沢1定や その意 味 を理解 していれ ば

,二

重数 直線 に比較 的容 易 に移 れ るこ とも

,分

析 か ら示唆 され た。 この学習 に よつて

,子

どもた ちは 「

1つ

分 を1と して見 る と分 か りやす い」 と述 べ た り

,下

線 の数 に常 に 「倍 」 とい う言葉 をつ けて述 べ てお り

,こ

れ は一つ の成果 と考 え る。」(p.274) 鶴 ﹁ ， 一 図

1-3

操作教具(岡崎,2008,p.274) この よ うに

,二

重数 直線 を導入す る こ とに よ り,「

1つ

分 を1 とがで き るよ うにな った こ とを実験 的 に示 してい る。 また

,寺

内 (2011)は

,倍

関係 の理解 を促す指導 の工夫 と して, 用す る こ ととした。 と して見 る」 こ 「信 号棒」 を活 図

1-4

信号棒(寺内,2011,p.3) ‐22‐

「信号棒 は

,新

算 数教 育研 究会姫 路支部 が作成 し

,活

用 して きた もの で

,赤 ,青 ,黄

の長 さの異 な る

3本

の色棒(赤

:青

:黄

=7:4:3)

か らな る。

2量

間の倍 関係 を調 べ る学習 では

,中

間 の長 さの青棒 を基 準量 に固定 し

,比

較 量 と基準量 よ り大 きい場合 は赤棒 を

,小

さい場合 には黄棒 を選 んで用 い る。各色棒 には

,□

と○ の記入欄 が あ り

,

□ 欄 には量 を

,○

欄 には割 合 を記 入す る。青棒 の○欄 には基 準量 を表す 「1」 を予 め記入 してお くので

,基

準量 を1とす るこ とを強 く意 識 づ ける こ とがで き る。」(p.3) 上記 の信 号棒 を用 いて比較 量

,基

準 量 を同定 させ る こ とか ら

,量

感 を持 たせ なが ら倍 関係 の把握 が で き

,図

を描 く技能 を要 しない こ とに よ り

,児

童 が課題 解 決 をす る上 での負担 を減 らす こ との よ さを実験的 に実 証 して い る。

(4)同

種 の量 と異種 の量 の接続 平成

10午

度告示 の学習指導 要領 において は

,異

種 の量 の割 合 が第

6学

年 に配 置 され ていたが

,平

成

20年

度告示 の学習指導 要領 にお いては

,第

5学

年 に配 置 し直 され た。 この こ とに よ り

,田

端

(2002,2003)に

お いて指摘

,提

案 され て いた同種 の量 と異種 の量 の接続 につ い ては解 決 され た と言 え る。 しか し

,異

種 の量の配置 が変 更 にな つた こ とに よ り

,異

種 の量 におい ては,「 ①一 方 の数量 を そ ろえて他方 で比較す る。」「②上方 を単位量 として他方 で数値化す る。

Jと

い う こ とに重 点 を置 き

,同

種 の量 において は,「③一方 (全体

)を

1と み て他方 を根1 定 して数値化す る。」 とい うこ とに重 点 を置 く必要 が あ るこ とが明確 に なった と 言 える。

(5)割

合 の見 方 を生か した指導 吉 田

(2003)で

は公 式 を害J合指導 の 中心 にす えるの ではな く

,割

合 を量 と し て とらえ,理解 を促進 す るた めに,図

1-5の

割 合モデル を教材 と して導 入 した。 また

,割

合 に対 す るお よそ の見積 も り能力 を獲 得 させ るた め に

,割

合 モデル を 使 つてお よそ どれ くらいの割 合 にな るか を見積 も らせ る とい う介入 をお こな つ た。次 に;月 ヽ数倍 か ら教 えるのではな く

,%か

ら導入 を し,「 第一用 法→第二用 法→ 第二用法 」 か ら 「第 二用法→第 一用法→ 第 二用法 」へ と教 える順 序 を変 更 して

,指

導 を行 った。 実験 的 なカ リキ ュ ラム を与 え られ た子 どもは

,計

算 を利

用 した子 どもも

6割

い たが

,4害

1弱の子 どもは見積 り方 略 を採 用 して いた。公 式 を適 用す る とい う解決 に加 えて

,別

の解決 方 略 を手 に入 れ る こ とで

,正

答率 が 高 まった こ とを示 してい る。 (pp.162-163) 外側 が基 にす る量 を

,内

側 が比べ る量 を 示す図であ り

,こ

れ を割合 モデル と呼ぶ。 Lヒ′ヾそう奮琶 図

1-5

割合モデル(吉田,2003,p162) 12 096 図1-6割合モデルのいろいろ(吉田,2003,p.163) 指導す る順 序 を変更 す る こ とで

,第

2用

法 を も とにす べ て の用法 につ いて考 えてい こ うとす る方針 を明確 にす る こ とはで き るが

,課

題 を角翠決 で きたか ら と い って害1合の概 念形成 が促 さ,れる とは言 えない のでは ないだ ろ うか。 岡 田 (2009)は ,学校 で は公式 を用 いた解 き方 を教 わ ってい るに もか か わ らず: 公式 を用 いず に

,他

のや り方 で問題 を解 いてい る児童 が多 くい るこ とを指摘 し, 「もとにす る量」 に対応す る 「

100%の

量」 とい う言葉 を用 い

,害

1合を分数 で表 示す る 「分数表示方略」 を導入 した。 第

1用

法 か ら第

3用

法 まです べ ての用 法 で事後 テ ス トの正答率 が高か った。最 も困難 で ある と言 われ る第

3用

法 にお い て も

85%以

上 の正答 率 が得 られ

,介

入授業

2週

間後 に実施 した追加 調 査 にお い て も

,事

前テ ス トに比べ て高 い正答 率 を保 つていた と述べ て い る。(P,34) 【問題 】 6年生全体の人数は 120人 です。今 日は欠席者が 6人 いま した。6年生全体の人数120 人を 100%と す ると

,欠

席者は何

%で

しようか。 : 八 5 i

l ギ

寿

=千

も一ま

_き券

=f詐

一券

=千

蓋一口=5答 え

=上

￨

: マ 5 1 1___´_____‐^‐ ‐ ‐‐‐‐´ヽ‐´ヽ‐‐‐‐∼‐‐^ヽ´・ ‐‐‐‐‐――‐‐―"― ^― ―――´●‐‐‐‐´“^― ‐―‐‐――――・ ‐‐―‐‐‐‐‐―――――‐‐―J 図

1-7

分数表示方略(岡田,2009,p.36) 分数表示方略 は

,C社

の教科書 に も扱 われ てお り

,比

較量・ 基準量 の 同定 を行 うことがで きる児童 に とつては

,式

化 す る有効 な方略 で ある と考 え る。 ‐_24‐

第

4節

割合学習の課題

本章 で は,先 行研 究 を も とに害1合学習 の困難性 お よび その改 善策 を概観 して き た。害1合 学習 の困難性 に関す る先行研 究 の分析結果 か ら

,①

害J合の概 念形成, ②害J合以外 に よる く らべ方 と割 合 に よる くらべ方

,③

比較 量 と基 準量 の同定, ④ 同種 の量 と異種 の量 の接続

,⑤

児童 の割合 の見方

,⑥

割合 の活 用 の

6点

が指 摘 で きた。 この よ うに多様 な困難性 が指摘 され てい るが

,特

に本研 究 では

,割

合学習 の導入 にお い て

,害

J合に よる く らべ方 を理解 す る過程 に焦 点化 し割合 の 概念形成 を促 す授 業 づ く りを考 察す る こ ととす る

6平

山 (2003)に よ る と

,割

合 以外 に よる く らべ方 を整 理 しない まま

,割

合 に よる く らべ方 を適 用す ることで, 新 たな場 面 にお い て割 合 以外 に よる く らべ方 を適用 しよ うとす る こ とが述 べ ら れ てい る。 この こ とか らも

,害

J合学習 の導入段 階 にお いて

,害

1合に よ る くらべ 方 を理解 す る こ とは

,割

合 以外 に よる くらべ方 と割合 に よる く らべ 方 を吟味す る こ とで

,割

合 に よる く らべ方 を深 く理解 す る こ とに繋 が る と考 え るか らで あ る。

、 したが つて

,本

研 究 にお い て は

,割

合 学習 の導入 時 に害J合 以外 に よる く らべ 方 と割合 に よる くらべ 方 の吟 味 を行 うこ とで

,割

合概 念 の形 成 を促 す 単元構 想 を してい く。

第

2章

割合の教材研究

本章 では,「 くらべ る こと」 につ いて整理 し

,割

合 学習 にお ける児童が数 量 を くらべ る視点 を明 らかにす る。 さらに

,教

科書分析 を行 い

,割

合 学習にお け

′ る導入問題 について検討す る。

.

第

1節

割合学習において児童が数量をくらべる視点

第

2節

問題 を分析す る視点

第

3節

教科書 における導入題材の分析

第

4節

割合の導入授業の提案

‐_26‐

第

1節

割合学習において児童が数量を くらべ る視点

本節 では

,児

童 が数 量 を割合 に よつて くらべ るこ とを学ぶ た めに設 定 され た 問題解決場面 において

,想

定 され る児童 の考 え方 を整 理 し考 察 す る

:そ

の こ と を通 して

,児

童 の割 合 の概 念形成 を 目指 した授 業づ く りへ の示 唆 を得 たい。 そ こでまず

,割

合 学習(同種 の量 の割合)と類似 した特徴 を多 く有す る学習 内 容 で あ る単位 量 当た りの大 き さの学習(異種 の量 の割合 )に 関す る先行研 究 と し て

,中

原 ほか(印刷 中)を 検討 す る。 中原 ほか(印刷 中)は

,算

数 の授 業 にお ける話 し合 い 。学び合 い活動 を算数教 育 の 日標 達成 にう なが る もの にす る こ とをね らい と し

,授

業 づ く りの規範 的モ デル を提 案 してい る。 さ らに

,検

証授 業 を通 してそのモデル づ く りの有効性 や 課題 につ いて考 察 して い る。 その際

,教

材 の

1つ

として 「単位 量 当た りの大 き さ」 を取 り上 げ

,そ

こで想 定 され る児童 の考 え方 を整 理 して い る。 中原 ほか (印刷 中)の 「単位 量 当た りの大 き さ」 にお ける想定 され る児 童 の考 え方 をも と に

,割

合 学習 において児童 が数量 を考察す る考 え方 を表

21の

よ うに整理 した。 表

2-1

割合 学習 におい て児童 が数量 を く らべ る視 点

I

直観 的 に判 断

I-1

分布 で判 断

I-2 1つ

の数量だ けで判 断 Ⅱ 差 で判 断 Ⅱ

2つ

の数 量の差 で判 断 そ ろえて判 断 Ⅲ

-11つ

の数 量で判 断(一方 の量 が そ ろつてい る) Ⅲ

-2 2つ

の数 量 を加減 でそ ろえて判 断 Ⅲ

-3 2つ

の数 量 を乗 除でそ ろえて判 断(公倍 数) Ⅳ 害1合で判 断 Ⅳ

2つ

の数量 を害1合で判 断

バスケ ッ トボールの試合 を しま した。下の表は

,か

ずお さんたちの

,試

合でのシュー トの記録です。いろいろな くらべ方を考え

,話

し合つてみま しょう。 表

2-2

バスケッ トボールのシュー トの成績

かずお

OXOXOO‐

X◎

みゆ き

○

O X X O XttX× 9

.ひ

ろし

XO◎ OXX00X9

害1合学習 において児童 が数量 を くらべ る視点 について

,以

下の問題 を例 に検 討す る。

(1‐

1)「分布で判断」

(I-1)は

,シ

ュー トの成功が連続す るほど成績 が良いもしくは

,連

続 して 失敗す ると成績 が良 くない と判断す る考 え方である。表2‐

3の

太枠部分 に示 し た よ うに

,ひ

ろ しさんは

3回

連続成功 し

,他

の

2人

は

,2連

続成功 しかない こと が判 断基準 とな り

,ひ

ろ しさんの方がシュー トの成績 がよい と判断す る。 表

2-3

「I■

1

分布 で判 断」

かずお

嚇 菫

OXの

OX◎

みゆき

〇 〇瑠

XOXOXXΦ

ひろし

X

O③ C

XXOOXф

(I_a「

1っ

の数量だ けで判断」

(I-2)は

,成

功数 の多 さや失敗数 の少 な さといつた

,一

方 の量 だけに注 目し て判断す る考 え方 である。例 えば表

2-4の

太枠部分 に示 した よ うに

,か

ずお さ んは

,失

敗数 が

3回

で他 の

2人

よ り少 ないので成績が よい と判 断す る。 また は, ひ ろ しさんは成功数 が

6回

で他 の

2人

よ り多いので成績 が よい と判断す ること である。 表

2-4

「

I-2 1ち

の数量で判断」 成功数 失敗数 シュー ト数

かずお

5 3 8 み ゆき 5 5 10 ひ ろ し 6 4 10 ‐28・

(I)

「

2つ

の数量 の差 で判 断」 (Ⅱ)は ,「 成 功数 ―失敗数 」 の よ うに

, 2対

の数量 に着 日して い るが

, 2対

の 数量 関係 を相 対 的 に見 て判 断 していない考 え方 である。 例 えば

,表

2-5の

太枠 部 分 に示 した よ うに

,か

ず お さんは

,成

功数 が

5回

,失

敗 数 が

3回

で ある。 し たが つて,「 成 功数 ―失敗 数 」 は,「

5-3=2」

とな る。 同様 に

,ひ

ろ しさんは, 「

6-4=2」

とな り

,こ

れ らの結果 で シ ュー トの成績 を判 断 しよ うとす る考 え方 であ る。

、 表

2-5

「Ⅱ

2つ

の量の差で判断」 成功数 失敗数 シュー ト数

かずお

5 3 8 みゆき 5 5 10 ひ ろ し 6 4 10 (Ⅲ

-1)「 1つ

の数量 で判 断(一方の量 がそ ろ つて いる)」 (Ⅲ

-1)は

,一

方 の量 がそ ろつてい る場合 に

,も

う

1つ

の量 で半J断 をす るこ と であ る。 例 えば

,表

2-6の

太枠部分 に示 した よ うに

,か

ず お さん とみ ゆき さん の成 功数 は

,同

じ

5回

で あ る。 そ こで

,シ

ュー ト数 を くらべ る と

,か

ずお さん は

,8回

でみ ゆき さん よ り少 ない。少 ないシ ュー ト数 で 同 じ回数 成功 してい る のでかずお さんの方が成績がよい とい うことになる。別 の数 に着 目す ると

,み

ゆきさん とひ ろ しさんのシュー ト回数 が同 じである。 そ こで

,成

功数 を くらべ るとひ ろ しさんの方が多い。 したがって

,ひ

ろ しさんの方が成績が よい とい う ことになる。

｀ 表

2-6

「Ⅲ

-1 1っ

の量で判断(一方の量がそろつている)」 成 功数 失敗数 シュー ト数

かずお

5 3 8 み ゆき 5 5 10 ひ ろ し 6 4 10

(Ⅲ

-2)「 2つ

の数量 を加減 でそ ろえて判断」 (Ⅲ

-2)は

,シ

ュー ト数 (基準量

)が

異 な る際 に

,加

減 を用 いてそ ろえて判 断 す る考 え方 で あ る。 そ の際

,基

準量 と同 じ数 だ け成功数 (比較 量

)に

加 減 を行 い

,そ

の結果 を用 い て判 断 を しよ うとす る。例 えば

,表 2-7の

太枠 部分 に示 し た よ うに

,か

ず お さん の シュー ト回数 が少 ないので

,他

の

2人

の

9回

日

,10回

目の記録 を数 対 の比例 関係 を考慮せず 削除 し

,全

員 の シュー ト回数 を

8回

にそ ろえよ うとす る。他 に も

,か

ずお さんのシ ュー ト回数 を

10回

にす るた めに

,成

功数

,失

敗数 を

1回

ず つ増や す な ど多数 考 え られ る。 表

2-7

「Ⅲ

-2 2つ

の量 を加減でそ ろえて判断」

かずお

OXф XOOXΦ

みゆき

○

O X XttX O X

XΦ

ひろし

XΦ

O◇

XXO⑫

XO

(Ⅲ

-3)「 2つ

の数量 を乗 除 でそ ろえて判 断(公倍 数)」 (Ⅲ

-3)は

,成

功数や シュー ト数 を公倍数 に よつてそ ろえ

,判

断す る考 え方 で ある。例 えば表

2-4に

お いて

,か

ず お さん とひ ろ しさんの成績 を くらべ る とす る。(成功数

,シ

ュー ト数

)の

数対 は

,そ

れ ぞれ

(5,8)と (6,10)と

な る。 そ こで

,シ

ュー ト数 を

8と 10の

最 小公倍数 で あ る

40に

そ ろえ る こ とにす る。 そ うす る と

,か

ず お さん の成績 は

(25,40),ひ

ろ しさん の成績 は

,(24,40)

とな る。 したが つて

,成

功数 を くらべ る と

,か

ず お さんの成 功数 が多 いので, ひ ろ しさん とかず お さん で は

,か

ずお さんの方 が シュー トの成績 が よい こ とに な る。 (Ⅳ)「

2つ

の数量 を割 合 で判 断」 (Ⅳ)は

,シ

ュー ト数 (基準量

)を

1 求 め判 断す る考 え方 で あ る。例 えば, の成績 を く らべ る とす る。(成功数, と

(6,10)と

な る。 割合 に よる く らべ方 をす るので

,シ

ュー ト数 を 1と み る こ とにす る。 したが と見て

,成

功数 が どれ だ けにあた るか を 表

2-4に

おいてかず お さん とひ ろ しさん シ ュー ト数

)の

数 対 は

,そ

れ ぞれ

(5,8)

‐_30‐