インバータ変換

となる．したがって，BEF変換の変換式は

Ω = 1

ω

(ω₂−ω₁)Ω_c −

ω²₀ (ω₂−ω₁)Ω_c

ω

= 1

1 (ω₂−ω₁)Ω_c

(

ω− ω₀² ω

) (2.86)

となり，任意の遮断角周波数ω₁及び, ω2(ただしω1 < ω₂)とするBEF変換の変換式 が得られる．

また，回路構成及び素子値は

jΩg_l = jg_l

1 (ω₂ −ω₁)Ω_c

(

ω− ω²₀ ω

)

= −1

jω 1

g_lΩ_c(ω₂−ω₁) + 1

jωglΩc(ω2−ω1) ω₀²

= −1

jωC_BEF1+ 1 jωL_BEF1

(2.87)

1

jΩg_c = 1

jg_cΩ_c(ω₂−ω₁) (

ω− ω₀² ω

)

= −jω 1

g_cΩ_c(ω₂−ω₁)− 1

jωg_cΩ_c(ω₂−ω₁) ω₀²

=−jωL_BEF2− 1 jωC_BEF2

(2.88) と変換される．ただし，CBEF1 = 1

g_lΩ_c(ω₂−ω₁), L_BEF1 = g_lΩ_c(ω₂−ω₁)

ω₀² , L_BEF2 = 1

g_cΩ_c(ω₂−ω₁), CBEF2 = gcΩc(ω2−ω1)

ω²₀ である．以上の回路素子の変換の様子をま とめたものを図2.13に示す．

これまで本項においてLPF変換，HPF変換，BPF変換，及びBEF変換の説明 を行った．これらの周波数変換を原型LPFに適応することによって，集中定数素 子によって構成されるフィルタを得ることができる．各フィルタ特性の回路構成 例として，フィルタ次数n= 3のときのフィルタを図2.14に示す．

g

_c

L

_BEF1

g

_l

C

_BEF2

BEF

C

_BEF1

L

_BEF2

図 2.13: BEF変換による素子の変化

In Out

In In

In

Out Out

Out

(a) LPF

(b) HPF

(c) BPF

(d) BEF

図 2.14: 集中定数素子によって実現される3段フィルタの回路構成例

般に分布定数線路を用いて構成される．したがって，集中定数素子による回路構 成から分布定数線路による回路構成へ変換を行う必要があり，その手段の一つと

してよく用いられるのが，本項で説明するインバータ変換である．

インバータは図2.15に示すようにKインバータとJインバータと呼ばれる2種 類の回路があり，それぞれ式(2.89)及び(2.90)に示す特性を有する回路である．

Z

_L

K-Inverter

Z

_in

Y

_in

J-Inverter Y

_L

(a) K-Inverter (b) J-Inverter

図 2.15: インバータ

Z_in= K² ZL

(2.89) Y_in= J²

Y_L (2.90)

Kインバータ及びJインバータは，それぞれK[Ω], J[S]をパラメータとするイ ンピーダンス及びアドミタンス変換回路としての特性を有する．この様な特性を有 するKインバータ及びJインバータとして用いられる回路網の具体例として種々 のものが提案されており，適宜回路構造の実現性などを考慮し適当な回路を選択 する必要がある．ここでは，特によく用いられる回路例を図2.16及び2.17に示す．

次に，これらのKインバータ及びJインバータを用いた回路変換を行う．回路変 換の説明のために，利用頻度が高いであろうBPFを例に説明を行う．いま，フィ ルタ次数をn = 3とすると，BPFは図2.14(c)の回路構成となる．この回路構成で は1段目及び3段目はLC直列共振器，2段目はLC並列共振器となっている．こ れをJインバータを用いて全てLC並列共振器で構成されるフィルタへ変換を行 う．LC並列共振器は，図2.18に示した変換のように，その両側からJインバータ を接続すると，LC直列共振器へ変換される．

Z

₀

, /4

-L -L

L

-C -C

C

(a)

/4

K=Z

₀

(b)

L T

K=

L

(c)

C T

K=1/(

C)

図 2.16: Kインバータの回路例

Z

₀

, /4

-L -L

L

-C -C

C

(a)

/4

J=1/Z

₀

(b)

L

J=1/(

L)

(c)

C J=

C

図 2.17: Jインバータの回路例

J J

図 2.18: Jインバータによる並列共振器の等価回路変換

このことを用いて，図2.14(c)に示したBPFを変換すると，図2.19に示す回路 となる．

図2.19から，インバータを用いて回路を変換することにより，全てLC並列共 振器によって構成されることとなり，特性を検討する際や，設計を行う際の見通 しが良くなるなどの利点が得られる．さらに，各インバータの値Jにより，回路

In Out

J J J J

図 2.19: Jインバータを用いたBPF

の自由度が増すこととなり，これらの自由度を調整することによって回路素子の 素子値を実現可能性の高い値へと調整することが可能となる．そこで，Jインバー タを用いてBPFを変換した際の素子値の計算方法を示す．変換前後の回路をまと めて図2.20に示す．

ここで，(a)の変換前の回路における各素子値は2.1節で示した規格化素子値，

2.2.1項に示した周波数変換，及び電源の内部抵抗から決定される既知の値である．

これらの各素子値から変換後の各素子値及びインバータ値を導出する．

まず，変換前の回路(a)においてそれぞれの位置から出力側を見た入力アドミタ ンス及び入力インピーダンスをそれぞれY₁[S], Z₂[Ω], Y₃[S],及びZ₄[Ω]とおき，変 換後の回路(b)における各インバータ前段から出力側を見込んだ入力アドミタン スをそれぞれY_a[S], Y_b[S], Y_c[S],及びY_d[S]とおく．すると，Y1及びY_aは，Z2と Y_bを用いて

Y1 = 1

jωL_a1+ 1 jωCa1

+Z₂

(2.91)

Ya = J₁² jωC_r1+ 1

jωLr1

+Y_b

(2.92)

と表される．変換前後の回路が電源の内部抵抗に関係なく等価となるためには Y₁

G₀ = Y_a

G_A (2.93)

となればよい．したがって，式(2.93)に式(2.91)及び(2.92)を代入し，実部と虚

In Out

J

₁

J

₂

J

₃

J

₄

In L

_a1

Out

L

_a2

L

_a3

C

_a1

C

_a2

C

_a3

G

₀

G

₄

G

_A

G

_B

C

_r1

L

_r1

C

_r2

L

_r2

C

_r3

L

_r3

Y

₁

Z

₂

Y

₃

Z

₄

Y

_a

Y

_b

Y

_c

Y

_d

(a)

(b)

図 2.20: Jインバータを用いたBPFの変換

部を比較すると，

1

Z₂G₀ = J₁²

Y_bG_A (2.94)

1/G₀ ωL_a1− 1

ωC_a1

= J₁²/G_A ωC_r1− 1

ωL_r1

(2.95)

となる．式(2.95)から

J₁ = vu uu utG_A

G₀

ωC_r1− 1 ωL_r1 ωLa1− 1

ωC_a1

(2.96)

と求められる．いま，1段目の共振器の共振周波数が変換前後で変化せず，中心角

周波数ω0となると仮定する．すなわち，ω0 = 1

√L_a1C_a1 = 1

√L_r1C_r1 とすると，

J1 = vu uu utG_A

G₀ C_r1 L_a1

1− 1

ω²L_r1C_r1

1− 1

ωLa1Ca1

=

√G_AC_r1

G₀L_a1 (2.97) となり，Cr1を自由に設定することにより，J1の値を計算する式を得る．

一方，実部の比較から得た式(2.94)に式(2.97)を代入すると，

1

Z₂G₀ = G_AC_r1 G₀L_a1

1 Y_bG_A L_a1

Z2

= C_r1 Yb

(2.98) となり，Z2とY_aの相互関係を示す式が得られる．以下，それぞれ対応する入力ア ドミタンス及び入力インピーダンスを比較していくことにより，残りのインバー タ値も決定することができ次に示すようになる．

J₂ =

√C_r1C_r2

L_a1C_a2 (2.99)

J₃ =

√C_r2C_r3

C_a2L_a3 (2.100)

J₄ =

√C_r3G_B

L_a3G₄ (2.101)

ただし，Cr1, C_r2,及びC_r3 はインバータ変換により現れる自由度であり，回路素 子の実現性等を考慮して設定する値である．以上の議論から，各インバータの値 J₁, J₂, J₃,及びJ₄は定数となる点に注意が必要である．

図2.20に示したJインバータを用いたBPFにおいて，具体的なJインバータと

して図2.17(c)に示すC素子π型回路を用いることを考える．Jインバータとして

C素子π型回路を用いたときのBPFを図2.21に示す．

ここで，JインバータとしてC素子π型回路を用いたため，それぞれの素子値 C_g1, C_g2, C_g3,及びC_g4は式(2.97)，(2.99)，(2.100)及び(2.101)で求めたインバー タ値を用いて

Cgi = J_i

ω₀ (i= 1,2,3,4) (2.102)

In Out

G

_A

G

_B

C

_r1

L

_r1

C

_r2

L

_r2

C

_r3

L

_r3

C

_g1

-C

_g1

-C

_g1

C

_g2

-C

_g2

-C

_g2

C

_g3

-C

_g3

-C

_g3

C

_g4

-C

_g4

-C

_g4

図 2.21: JインバータとしてC素子π型回路を用いた場合のBPF

として求められる．ただし，図2.17(c)にも示した通り，C素子π型回路のJ値は コンデンサの素子値Cが定数で，角周波数ωが変数であるため，J値は変数とな らなければならない．しかし，インバータ変換から得られるJ 値は定数となるよ うに要請されている．したがって，式(2.102)では角周波数ωに対する一般性を犠 牲にして，中心角周波数ω0とその付近の帯域についてのみ成立する近似値として 素子値Cを決定する．

さらに，図2.21に示したBPFでは，インバータ部分に負性素子が存在している ため，このままでは現実の回路素子を用いて実現できない．そこで，これらの素 子は隣接する自由度C_ri(i = 1,2,3)によって吸収させることによって実現される．

例えば，2段目の共振器ではC_r2,−C_g2及び−C_g3の3つの素子をまとめ C_r2−C_g2−C_g3

なる容量を持つコンデンサ1つに合成する．したがって，Cr2は自由に設定できる 値であるが，

C_r2−C_g2−C_g3 >0 すなわち

C_r2 > C_g2+C_g3 (2.103) なる条件を満たすような値に設定しなければならない．他の共振器についても同 様に負性素子を吸収して合成し，自由度の設定に条件を設けることで負性素子の 実現を解決できるが，入出力直近の負性素子，図2.21における−C_g1,−C_g3につい

ては吸収できるコンデンサが存在しないため，吸収による解決を図ることができ ない．したがって，入出力直近のインバータにおいては，入出力側に負性素子が 現れないインバータを用いる必要がある．そこで，図2.22に示すような等価回路 変換を考える．

G

C

-C

-C G

C

₁

-C

₂

図 2.22: BPFの入出力端でのJインバータの変換

ここで，端子から見た入力アドミタンスが等しくなるとの条件からC₁,及びC₂ は次の様に求められる．

C₁ = ω₀C ω₀

√ 1−

(ω₀C G

)2 = J ω₀

√ 1−

(J G

)2 (2.104)

C₂ = ω₀C ω₀

√ 1−

(ω₀C G

)2

= J ω₀

√ 1−

(J G

)2

(2.105) したがって，入出力段のJインバータJ₁及びJ₄を片側の負性素子が無い回路を 用いてBPFを構成したものを図2.23に示す．

これにより，全ての負性素子を隣接する共振器のコンデンサによって吸収する ことができ，実現可能な回路構成となる．

ドキュメント内 楕円関数マルチバンドフィルタの 設計に関する研究 (ページ 46-54)