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2015年度 2次数学セレクション(積分の応用)

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(1)

2015 2次数学セレクション 問題

-1-

[広島大]

座標平面上の点P(1, 1)を中心とし, 原点 O を通る円をC1とする。kを正の定数と して, 曲線y k

= x (x>0 )をC2とする。C1C2は 2 点で交わるとし, その交点を Q, Rとするとき, 直線PQはx軸に平行であるとする。点Qのx座標をqとし, 点Rの x座標をrとする。次の問いに答えよ。

(1) k, q, rの値を求めよ。

(2) 曲線C2と線分OQ, ORで囲まれた部分の面積Sを求めよ。

(3) x= +1 2 sinとおくことにより, 定積分 q 2 ( 1)2

r - x- dx

ò

の値を求めよ。

(4) 円C1の原点 O を含まない弧 QR と曲線C2で囲まれた図形を, x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積Vを求めよ。

(2)

2015 2次数学セレクション 問題

-2-

[千葉大]

平面上に 2 つの円C x1: 2+y2=1, C2:

(

x+32

)

2+y2=14 があり, ( 1, 0 )- で接

している。

点P1C1上を反時計まわりに一定の速さで動き, 点P2C2上を反時計まわりに一 定の速さで動く。2点P , 1 P2はそれぞれ点(1, 0 )および点( 1, 0 )- を時刻 0に同時に 出発する。P1C1を一周して時刻2に点(1, 0)に戻り, P2C2を二周して時刻2 に点( 1, 0 )- に戻るものとする。P1とP2の中点をMとおく。

P1C1を一周するときの点 M の軌跡の概形を図示して, その軌跡によって囲まれ る図形の面積を求めよ。

(3)

2015 2次数学セレクション 問題

-3-

[九州大]

座標空間内に, 原点O( 0, 0, 0 )を中心とする半径 1 の球がある。右の概略図のように, y 軸の負の方向 から仰角6 で太陽光線が当たっている。この太陽光 線はベクトル( 0, 3, -1)に平行である。球は光を 通さないものとする。以下の問いに答えよ。

(1) 球のz≧ の部分が0 xy 平面上につくる影を考える。k を- < <1 k 1を満たす実数 とするとき, xy 平面上の直線x=kにおいて, 球の外で光が当たらない部分の y 座 標の範囲をkを用いて表せ。

(2) xy平面上において, 球の外で光が当たらない部分の面積を求めよ。

(3) 0z≧ において, 球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ。

x

y z

O 6

(4)

2015 2次数学セレクション 問題

-4-

[大阪大]

座標空間のx軸上に動点P, Qがある。P, Qは時刻0において, 原点を出発する。P はx軸の正の方向に, Qはx軸の負の方向に, ともに速さ1で動く。その後, ともに時 刻 1 で停止する。点 P, Q を中心とする半径 1 の球をそれぞれ A, B とし, 空間で

1

x≧- の部分をCとする。このとき, 以下の問いに答えよ。

(1) 時刻t ( 0≦ ≦t 1)における立体(A B )Cの体積V t( )を求めよ。

(2) ( )V t の最大値を求めよ。

(5)

2015 2次数学セレクション 問題

-5-

[東京工大]

0

a> とする。曲線y=e-x2x軸, y軸, および直線x=aで囲まれた図形を, y軸 のまわりに1回転してできる回転体をAとする。

(1) Aの体積Vを求めよ。

(2) 点( , 0 )t (-a t a≦ ≦ )を通りx軸と垂直な平面によるAの切り口の面積をS t( )と するとき, 不等式 ( ) a (s2 t2)

S t ae- + ds

ò

-

≦ を示せ。

(3) 不等式 (1 a2) a x2

e ae dx

- -

-

ò

- を示せ。

(6)

2015 2次数学セレクション 解答解説

© 電送数学舎 2015

-1-

[広島大]

(1) 円C1は中心P(1, 1) , 半径は 2から,

2 2

1: ( 1) ( 1) 2

C x- + y- = ………① また, C1C2: y k

= x (x>0 )……②は点 Q, R で交わ り, PQ はx軸に平行であることより, Q(1+ 2, 1)とな る。これより, q= +1 2である。そして, C2が点 Q を 通ることより, ②からk=(1+ 2 ) 1 1⋅ = + 2である。

さらに, C1, C2がともに直線y=xについて対称なのでR(1, 1+ 2 )となり, 1

r= である。

(2) C2と線分OQ, ORで囲まれた部分の面積Sは,

1 2 1

1 2

1 1 (1 2 ) 1 (1 2 ) 1

2 2

S x dx

+ +

= ⋅ ⋅ + +

ò

- ⋅ + ⋅

[ ]11 2 (1 2 ) logx +

= + =(1+ 2 )log(1+ 2 )

(3) q 2 ( 1)2

I=

ò

r - x- dxに対して, x= +1 2 sinとおくと,

1 2

2

1 2 ( 1)

I =

ò

+ - x- dx =

ò

02 2 2sin- 2 2 cos d

2 2

2 0 cos  d

=

ò

=

ò

02 (1 cos2 )d+   1 sin2 02

2

 

é ù

=êë + úû =2 (4) 円C1y≧ の部分は, 1 ①よりy= +1 2 (- x-1)2 となる。

すると, 求める回転体の体積Vは,

( ) 2

1 2 2 2 1 2

1 1 2

(1 2 )

1 2 ( 1)

V x dx dx

++ +x

=

ò

+ - - -

ò

{ }

1 2 2 2 2 1 2

1 1 2

3 (x 1) 2 2 (x 1) dx (1 2 ) 1 dx

++ x

=

ò

- - + - - - +

ò

1 2 1 2

3 2

1 1

1 1

3 ( 1) 2 (1 2 )

x 3 x I

é ù +  é x ù +

= êë - - úû + - + êë- úû

(

3 2 2 23

)

2 2 (1 2 )2

(

1 1

)

1 2

   

= - + ⋅ - + - +

+

7 2 2 2 (1 2 )

3   

= + - + =

(

4 23 -2

)

 + 2

[解 説]

定積分による求積問題です。誘導つきで計算量も標準的です。なお, (2)はよく見か けるものです。

Q R

O x y

q 1 P

1

(7)

2015 2次数学セレクション 解答解説

© 電送数学舎 2015

-2-

[千葉大]

C1は原点中心で半径1の円, C2は点

(

-3 , 02

)

中心

で 半 径 1

2 の 円 で あ る 。 こ の と き, 時 刻t=0か ら 2

t=  において, 点P1C1上を点(1, 0)から反時計 まわりに一周, 点P2C2上を点( 1, 0 )- から反時計 まわりに二周することから, P ( cos , sin )1 t t

( )

2 3 1 1

P cos2 , sin2

2 2 t 2 t

- +

すると, P1とP2の中点M( ,x y)は,

(

3

)

1 cos 1cos2

2 2 2

x= t- + t 1cos2 1cos 3

4 t 2 t 4

= + -

( )

1 sin 1sin2

2 2

y= t+ t 1sin2 1sin

4 t 2 t

= +

さて, ( )x= f t , ( )y=g t とおくと, ( 2f - =t) f( )t , ( 2g - = -t) g( )t

これより, 点 M の軌跡について, 0≦ ≦ の部分とt  ≦ ≦t 2の部分は x 軸につい て対称となる。以下, 0≦ ≦ の場合について, t  軌跡の概形を調べる。

1sin2 1sin

2 2

dx t t

dt = - -

sin32tcos2t

= -

1cos2 1cos

2 2

dy t t

dt = +

cos32tcos2t

=

tの値の変化に伴うx, yの値の変 化は右表のようになる。

さら に, この0≦ ≦ に おけるt

曲線を x 軸対称し, もとの曲線と合わせた曲線が, 求 める点 M の軌跡である。図示すると, 右図のように なる。

また, M の軌跡によって囲まれる図形の面積 S は, 0 2

t 3

≦ ≦ の曲線部分をy=y1, 2

3≦ ≦ の曲線部t  分をy=y2とおくと,

0 1

1 2

9 9

8 8

2 2

S y dx - y dx

- -

=

ò

-

ò

0

2 2

3 3

2 ( ) ( )t t dt 2 ( ) ( )t t dt

¢ ¢

=

ò

g f -

ò

g f =2

ò

0g( ) ( )t f¢ t dt

t 0 … 3

… 2

3

dxdt 0 - - 0 + 0

x 0  5

-8  9

-8  -1 dy

dt + 0 - - 0

y 0  3 3

8  3

8  0

P P2

2 M t

O x

y

1 1 3 -

-2

3 38 -

3 38

3 - 8

3 8 -1

9 -8

5 -8

O x

y

(8)

2015 2次数学セレクション 解答解説

© 電送数学舎 2015

-3- ここで, ( ) 1( sin2 2sin )

t =4 t+ t

g , ( ) 1( sin2 sin )

t 2 t t

¢ = - +

f から,

0 1

2 ( sin 2 2sin )( sin2 sin )

S 8 t t t t dt

=

ò

- + +

2 2

0

1 ( sin 2 3sin2 sin 2sin )

4 t t t t dt

=

ò

+ +

0

1 (1 cos4 3cos3 3cos 2 2cos2 )

8 t t t t dt

=

ò

- - + + -

0

1 (3 cos4 3cos3 2cos2 3cos )

8 t t t t dt

=

ò

- - - +

0

1 3 sin4 sin3 sin2 3sin

t 4 t t t tù

= êë - - - + úû 3 8

=

[解 説]

パラメータ曲線についての微積分です。方針は明確に決まりますが, この問題のよ うに計算量が多いのが, その特徴です。そのため, 対称性を把握して, 記述量を減らす ことがポイントになります。

(9)

2015 2次数学セレクション 解答解説

© 電送数学舎 2015

-4-

[九州大]

(1) xy平面上の点( ,x0 y0, 0 )を通り, 方向ベクトル( 0, 3, -1)の直線は,

0 0

( , ,x y z) ( ,= x y , 0)+t( 0, 3, -1)(tは実数)………① また, 原点を中心とする半径1の球は, x2+y2+z2=1………②

①②を連立すると, x02+(y0+ 3 )t 2+ -( t)2=1

2 2 2

0 0 0

4t +2 3y t x+ +y - =1 0………③

条件より, ①と②がz≧ すなわち0 -t≧0(t≦0 )で接することより,

2 2 2

0 0 0

4 3 4( 1) 0

D = y - x +y - = ……④, - 43y0≦ ……⑤ 0

④より4x02+y02=4, ⑤よりy0≧ となり,0 xy平面上にできる影の境界線は,

2 2

4x +y =4, 0y≧

すると, 球の外の影は右図の網点部となる。そして, 直線 x=kと領域の境界線4x2+y2=4, x2+y2=1の交点は, それぞれy= 4 4- k2 =2 1-k2 , y= 1-k2 であるの で, 求めるy座標の範囲は, 1-k2≦ ≦y 2 1-k2

(2) 右図の網点部の面積は, 1( 1 2 1 )2 1

2 ⋅ ⋅ - ⋅ = 2である。

(3) 球の外で光が当たらない部分を平面x=kで切断す ると, その切り口は右図の網点部となる。

その面積をS k( )とおくと,

( 2 )2 ( 2 )2

1 1

( ) 2 1 sin 1

2 3 2 3

S k = ⋅ -k- -k

=

(

23-6

)

(1-k2)

よって, 球の外で光が当たらない部分の体積Vは,

1 1 ( )

V S k dk

=

ò

- =2

(

23-6

) ò

01(1-k dk2) =43 2

(

3-6

)

=2 33 -29

[解 説]

20 年ほど前には, よく出題された平行光源が題材となっています。その後, 高校課 程では空間図形の分野は薄められ, 見かけることが少なくなりました。ただ, 今年か らの現行課程では, 教科書の記述からすると, 空間図形の分野は強化されていますの で, 繰り返す歴史の一つの例かもしれません。

-1 O 2

1 x y

1 k

6

3

2 1-k2

1-k2

y z

(10)

2015 2次数学セレクション 解答解説

© 電送数学舎 2015

-5-

[大阪大]

(1) 時刻tにおいて, 球Aは中心の座標が( , 0, 0 )t より, xy 平面上の円(x t- )2+y2=1をx 軸のまわりに1回 転したもの, また球B は中心の座標が(-t, 0, 0 )より, xy 平面上の円(x t+ )2+y2=1をx 軸のまわりに1回 転したものである。

さ て, 球 A, B の 交 線 は yz 平 面 上 に あ る の で, 1

x≧- におけるA B の体積V t( )は,

0 1

2 2

1 0

( ) {1 ( ) } t {1 ( ) }

V tx t dx+ x t dx

=

ò

- - + +

ò

- -

ここで, 1 0 2

1{1 ( ) }

I x t dx

=

ò

- - + , I2=

ò

0t+1{1 (- x t- ) }2 dxとすると,

3 0

1 1 (3 ) 1

I x x t

-

é ù

=êë - + úû = -1 13{t3- - +( 1 t) }3 2 2 t t 3

= - + +

3 1

2 1 ( ) 0

3

I =éêëx- x t- ùúût+ = + -t 1 13(1+t3) 1 3 2 3t t 3

= - + + よって, V t( )=(I1+I2)=

(

-13t3- +t2 2t+43

)

(2) ( ) 1 3 2 2 4

3 3

t = - t - +t t+

f とおくと, ( )V t =f( )t となり, ( )t t2 2t 2

¢ = - - + f

すると, 0≦ ≦ におけるt 1 f¢( ) 0t = の解 はt= - +1 3となり, ( )f t の増減は右表 のようになる。

ここで, ( )f t を-f¢( )t で割ると, f( )t = -f¢( )t

(

-13t-13

)

+2t+23から,

2 4

( 1 3 ) 2( 1 3 ) 2 3

3 3

- + = - + + = - + f

よって, ( )V t の最大値は, f( 1- + 3 )= - +

(

43 2 3

)

である。

[解 説]

阪大・理系の定番である立体の体積を求める問題です。ただ, 例年に比べ穏やかな 内容になっています。

t 0 … - +1 3 … 1 ( )t

f¢ + 0 -

( )t

f  

x y

t t 1 - -

1 t+

(11)

2015 2次数学セレクション 解答解説

© 電送数学舎 2015

-6-

[東京工大]

(1) 曲線y=e-x2x 軸, y 軸, および直線x=aで囲 まれた図形を, y軸のまわりに1回転してできる回転 体Aの体積Vは,

2

0a2 x

V =

ò

x e- dx 2 0

2 12

x a

é e- ù

= êë- úû (e a2 1)

-

= - - =(1-e-a2)

(2) xy平面に垂直にz軸をとり, Aについて平面y=k で切断したときの切り口を考えると,

(i) 0≦ ≦k e-a2のとき

切り口は, x2+(y k- )2+z2=a2かつy=kより,

2 2 2

x +z =a ( 0≦ ≦y e-a2)………① (ii) e-a2≦ ≦ のとき k 1

x2

y=e- を変形するとx2= -logy, 0x≧ においてx= -logyとなる。

すると, 切り口は, x2+(y k- )2+z2= -logkかつy=kより,

2 2 log

x +z = - y (e-a2≦ ≦y 1)………② さて, Aを平面x=t(-a t a≦ ≦ )で切断すると,

①より, 0≦ ≦y e-a2において, t2+z2=a2から,

2 2

z=  a -t

②より, e-a2≦ ≦ において, y 1 t2+z2= -logyから,

2 2

(z t )

y=e- +

よって, 切り口は右図の網点部となる。この面積を ( )

S t とすると, -a≦- a2-t2a2-t2≦ から, a

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

( ) ( ) ( )

( ) a t z t a z t a s t

a t a a

S t - e- + dz e- + dz e- + ds

- - - -

=

ò

ò

=

ò

(3) (2)より, a ( )

V aS t dt

=

ò

-

ò ò

-aa

(

-aae-(s2+t2)ds dt

)

=

ò

-aae-t2

( ò

-aae-s2ds dt

)

ここで, a x2 I ae- dx

=

ò

- とおくと,

ò

-aae-t2

( ò

-aae-s2ds dt

)

=I

ò

-aae dt-t2 =I2

よって, V I2すなわち V≦ となり,I (1)から (1 a2) a x2

e ae dx

- -

-

ò

-

[解 説]

回転体Aをいったん立式した後, 平面x=tによって切断し, その切り口を図示する というやや迂遠な解法で記しています。

O x

y 1

a

O x

y 1

a

a2

e-

y z

2 2

a -t

2 2

a t

- -

a2

e-

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2015 年度子ども代表委員: 笹野 千枝里 ( 高校 3 年生 ) 川島 悠 ( 高校 2 年生

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