−−
１ ［98 京都大］ D P は自然数で D は定数とする。[\ 平面上の点 D Pを頂点とし原点と点
D を通る放物線を考える。この放物線と [ 軸で囲まれる領域の面積を6Pこ の領域の内部および境界線上にある格子点の数を/Pとする。このとき極限値
OLP P
P P / 6 →∞
−−
２ ［98 東京大］ Qを正の整数とする。連立不等式
[ \ ] Q+ + ≦ −[ \ ] Q+ − ≦ [ \ ] Q− − ≦ −[ \ ] Q− + ≦
をみたす[\]空間の点3 [ \ ]で[\]がすべて整数であるものの個数を I Q とおく。極限
OLP Q
Q Q →∞
−−
３ ［98 神戸大］ $地点から%地点までまたは の一文字からなる信号を送る。$地点と %地点 の間に中継点をQ−箇所作り $% 間を Q 個の小区間に分割すると一つの区間に おいてとが逆転して伝わる確率はQ である。このとき$地点を発した信号が %地点にとして伝わる確率を3Qとする。次の各問いに答えよ。
偶数回の逆転があると$地点で発した信号が%地点にとして伝わること に注意して3を求めよ。
D E Q D E Q D E Q N
N Q
Q N N
+ + − = = −
¦
& を示せ。
3Qを求めよ。 OLP
−−
４ ［98 東北大］ ある 面だけに印のついた立方体が水平な平面に置かれている。平面に接する面 （底面）の辺のうち辺を選んでこの辺を軸にしてこの立方体を横に倒すという 操作を行う。ただしどの辺が選ばれるかは同様に確からしいとし印のついた面が 最初は上面にあるとする。この操作を Q 回続けて行ったとき印のついた面が立方体 の側面にくる確率をDQ底面にくる確率をEQとおく。
Dを求めよ。
DQ+とDQの関係式を導け。 EQをQの式で表し OLP
−−
５ ［99 九州大］ 関数I [ =−[について次の問いに答えよ。
I D =Dを満たす正の実数Dを求めよ。
D をで求めた実数とする。[≧ならば I [ −I D ≧ [ D−
となるこ
とを示せ。
Dをで求めた実数とする。≦ ≦[ として
[Q+ =I[Q Q= ""
で決まる数列
{
[Q}
を考える。すべてのQに対して−−
６ ［99 東京工大］
半径の円に内接する個の半径
の等しい円を図 のように描く。さ
らに図のように個の小さな半径
の等しい円を描く。この操作を無限
にくり返したとき 個ずつ次々に
描かれる円の面積の総和6とそれ
らの円の円周の長さの総和&を求めよ。
で 個の円を次々に描いていった。一般に自然数 Q≧ に対して Q個の円
を用いて同様の操作を行うとき描かれる円の面積の総和6Qとそれらの円の円周
の長さの総和&Qを求めよ。
数列6 6 6 "の極限値を求めよ。
図 図
−−
７ ［99 東京工大］ 複素平面上の点列$Q Q≧が複素数列DQ +LEQDQ EQは実数 Lは虚数単位を 表 す と す る 。 極 限 値 OLP OLP
Q→∞DQ =D∞ Q→∞EQ =E∞ が と も に 存 在 す る と き複 素 数 D∞ +LE∞を表す点$∞を$Qの極限点ということにする。
このとき次の問いに答えよ。
複素平面上の点列3Q Q≧を次のように定める。3は を表す点とし 3は
+Lを表す点とする。以下 Q≧ に対してはベクトル3 3Q− Q−を反時計まわりに π
回転し長さを倍したベクトルが3 3Q− Q となるように3Qを定める。3Qの極
限点3∞が表す複素数を求めよ。
点列4Q Q≧は次のように定める。4は を表す点とし 4は] [ L\= + を 表す点とする。以下Q≧に対してはベクトル4 4Q− Q−を反時計まわりにπ
回転 し長さを倍したベクトルが4 4Q− Q となるように4Qを定める。4Qの極限点
−−
８ ［99 東京大］ 複素数]Q（Q= "）を
] = ]Q+ = + L ] Q +
によって定める。ただし Lは虚数単位である。
すべての自然数Qについて ×Q−
Q Q ]
＜ ＜ が成り立つことを示せ。
実数 U＞ に対して ]Q ≦Uを満たす]Qの個数をI U とおく。このとき
OLP ORJ U
U U →+∞
I
を求めよ。
−−
９ ［2000 横浜国大］
半 径 の 円 周 上 に 異 な る 点 $ % &が あ る 。 さ ら に $Q %Q &Q Q= "を次のように定める。$Q−を含まない弧% &Q− Q−の中点を$Q %Q−を含まない弧& $Q− Q−の中点を%Q &Q−を含まない弧$ %Q− Q−の中点を&Qと
す る 。 三 角 形 $ % &Q Q Q の 面 積 を6Q と し αQ = ∠& $ % Q Q Q βQ = ∠$ % & Q Q Q γQ = ∠% & $Q Q Qとする。次の問いに答えよ。
6QをαQ βQ γQを用いて表せ。 αQをαとQを用いて表せ。 OLP
−−
−−
11 [広島大] $ % &の人が優勝決定戦を行う。まず人のうち人が対戦しその勝者が残 りの 人と対戦する。これをくり返して 回続けて勝ったものを優勝者とする。$ と%が対戦したときにそれぞれが勝つ確率はとし&が$または%と対戦したとき に & が勝つ確率はS＜S＜負ける確率は−Sであるとする。第 回戦は $ と %の対戦として次の問いに答えよ。
第 回戦では第 回戦の勝者が残りの & と対戦する。& が負ければ勝者は優勝 者となるが &が勝てば&は第回戦の敗者と第回戦を行う。第回戦で優勝者 が決まる場合の各対戦の勝者を順に並べると $&& と%&&の通りの順列が得ら れる。第回戦で優勝者が決まる場合の各対戦の勝者の順列を答えよ。
第P回戦で優勝者が決まる確率を)Pとする。) ) )をそれぞれ求めよ。 以上の自然数Qに対して確率)Qを求めよ。
¦
∞=
Q
Q
) を計算せよ。
−−
12 [京都大] 数列
{
DQ}
の初項Dから第 Q 項DQまでの和を6Q と表す。この数列がD =OLP =
∞ → Q
−−
13 [金沢大]
VLQ FRV
θ L θ U
] = + をU＞かつ
＜θ＜π を満たす複素数とする。複素数平面にお
いて]
] ] ] を表す点をそれぞれ3456とする。ただし ]は]と共役な複
素数を表す。
点3456は相異なる点であることを示せ。
直線 34 と直線 56 が直交しているとする。このときU をθの関数として表し θ の動きうる区間α βを求めよ。
において原点と点FRVβ +LVLQβを通る直線をOとし点3とOの距離をGと
−−
14 [東北大] 関数I[=[−[に対し数列
{
}
Q D を F
D = DQ+ = IDQ Q= " で与える。ただしFは＜F＜を満たす定数である。 DQ＜ DQ＜DQ+Q= "を示せ。 −DQ+＜−F−DQQ= "を示せ。
Q
−−
15 [東京大] さいころをQ回振り第回目から第Q回目までに出たさいころの目の数Q個の積 を;Qとする。
;Qがで割り切れる確率を求めよ。
;Qがで割り切れる確率を求めよ。
;Qがで割り切れる確率をSQとおく。OLPORJ Q
Q→∞Q −S を求めよ。
−−
16 [神戸大] 座標平面上の点S TでSとTがともに整数であるものを格子点という。次の問
いに答えよ。
自然数 Q に対し S+T=QS＞T＞ を満たす格子点S Tの個数をDQと する。DQを求めよ。
自然数Qに対し S+T＜QS＞T＞を満たす格子点S Tの個数をEQとす る。EQを求めよ。
極限値OLP Q DQ
Q→∞ とOLPQ
EQ
−−
17 [九州大]
座標平面上で[座標と\座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ。格子点を頂点
とし辺の長さが である正方形（周は含まない）を単位正方形と呼ぶことにする。
SQ を自然数とし領域'
{
[ \ [ [S \ Q}
Q = _≦ ≦ ≦ を考えその面積を6Q とする。/Qと0Qをそれぞれ'Qに含まれる格子点の個数および単位正方形の個数 とする。
グラフ\=[S
(
≦[≦QS)
と交わる単位正方形の個数はQであることを示せ。 不等式0Q＜6Q＜0Q +Qを示せ。また面積6Qを求めよ。極限値 S Q S
Q Q /
OLP
+ −
∞
→ を求めよ。
−−
18 [京都大]
Qを以上の自然数とする。[Qを
Q Q [
[ − + − で割った余りを
Q Q[ E
D + とする。
すなわち[の多項式3Q[があって
(
)
Q QQ
Q D [ E
Q Q [ [ [ 3 [ = − + − + +
が成り立っているとする。 Q
Q→∞D
OLP Q
QOLP→∞E を求めよ。
−−
19 [筑波大]
曲線& \=H[上の異なる 点$D HD 3W HWにおける & のそれぞれの法線
の交点を 4 として線分 $4 の長さを/DWで表す。さらにUD OLP/DW D W→
= と定
義する。
UDを求めよ。
−−
20 [東北大]
からQまでの数字をつずつ書いたQ枚のカードが箱に入っている。この箱から 無作為にカードを 枚取り出して数字を記録し箱に戻すという操作を繰り返す。た だしN 回目の操作で直前のカードと同じ数字か直前のカードよりも小さい数字のカ ードを取り出した場合にNを得点として終了する。
≦N≦Q+を満たす自然数Nについて得点がNとなる確率を求めよ。 得点の期待値を Q で表した式をIQとするとき IQおよび極限値OLP Q
Q→∞I
