引用題 ２次数学セレクション

−−

１ [金沢大・文] 図のように頂点が$から$である 辺の長さが の

正六角形がある。さいころを投げて出た目 N と頂点$Nを 対応させる。さいころを回投げて出た目がすべて異なる ときには対応する頂点を結んで三角形ができそれ以外 の場合には線分か点ができる。このとき次の問いに答え よ。

△$$$ △$$$ △$$$の面積をそれぞ れ求めよ。

さいころを回投げたとき三角形ができない確率を求めよ。

さいころを回投げたとき△$$$と合同な三角形ができる確率を求めよ。 さいころを 回投げたときにできる図形の面積の期待値を求めよ。ただし線分

と点の面積はとする。

$ $ $

$

−−

２ [東京大・文] コンピュータの画面に記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。 このとき各操作で直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率はそれまでの経過 に関係なくSであるとする。

最初にコンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い記号× が最初のものも含めて 個出るよりも前に記号○が Q 個出る確率を3Qとする。た だし記号○がQ個出た段階で操作は終了する。

3をSで表せ。 3をSで表せ。

−−

３ [千葉大] からまでの整数がつずつ書かれた枚のカードがある。この中からカード を枚同時に取り出す。取り出された枚のカードに書かれたつの整数のうち最 大のものを除いた残りのつの整数の和を;とする。

−−

４ [名古屋大・文] 正六面体の各面につずつサイコロのようにからまでの整数がもれなく書か れていて向かい合う面の数の和は である。このような正六面体が底面の数字が であるように机の上におかれている。この状態から始めて次の試行を繰り返し行う。 ｢現在の底面と隣り合う 面のうちの つを新しい底面にする｣。ただしこれらの 面の数字がD D D Dのときそれぞれの面が新しい底面となる確率の比は

D D D

D とする。この試行をQ回繰り返した後底面の数字がPである確率を

P

SQ Q≧で表す。TQ =SQ+SQ Q= "とおく。 T Tを求めよ。

TQをTQ−で表しTQを求めよ。 SQを求めよ。

−−

５ ［北海道大・文］

数を重複を許してQ個並べてできる数列D D… DQを考える。

条 件D≦D≦"≦DQ = Mを 満 た す 数 列 が $QM通 り あ る と す る 。 た だ し

=

M とする。

L $Q $Qを求めよ。

−−

６ ［東京大］

表が出る確率が S裏が出る確率が−S であるような硬貨がある。ただし

＜S＜ とする。この硬貨を投げて次のルール5の下でブロック積みゲームを行

う。

① ブロックの高さは最初はとする。

② 硬貨を投げて表が出れば高さのブロックをつ積み上げ裏が出ればブ

ロックをすべて取り除いて高さに戻す。

Qを正の整数Pを≦P≦Qを満たす整数とする。

Q回硬貨を投げたとき最後にブロックの高さがPとなる確率を求めよ。

で最後にブロックの高さがP以下となる確率TPを求めよ。

ルール5の下でQ回硬貨投げを独立に 度行いそれぞれ最後のブロックの高

さを考える。 度のうち高い方のブロックの高さが P である確率UPを求めよ。

ただし最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする。

−−

７ ［大阪大・文］

Qを以上の自然数とする。つのさいころをQ回投げ第回目から第Q回目ま

でに出た目の最大公約数を*とする。

*=となる確率をQの式で表せ。

−−

８ ［広島大・理］

Qを以上の整数とする。中心を 2とする円の周を Q等

分して図のように からQ−までの目盛りを付ける。目

盛りが の点を$ とする。一方袋の中に からQ−まで

の整数を書いた玉がそれぞれ 個ずつ入っている。この袋か

ら玉を つ取り出して玉に書かれた数と同じ目盛りをもつ

点をとる。点のうち目盛りの大きい方を%目盛りの小さ

い方を&として△$%&を考える。次の問いに答えよ。 辺%&上に点2がある場合は何通りあるか。 △$%&の辺上に点2がある確率を求めよ。 △$%&の内部に点2がある確率は

− − Q

Q _{であることを示せ。}

△$%&の辺上に点2があるとき; =△$%&の内部に点2があるとき; =

それ以外のとき; =とする。;の期待値を求めよ。

2 $

Q Q−

Q−

−−

９ ［名古屋大・理］

袋の中に赤と黄と青の玉が 個ずつ入っている。｢この袋から玉を 個取り出して

戻し出た玉と同じ色の玉を袋の中に個追加する｣という操作を1回繰り返した後

−−

10 ［東京大・文］ 白黒種類のカードがたくさんある。そのうち枚を手もとにもっているとき次 の操作$を考える。

$ 手もちの 枚の中から 枚を等確率で選び出しそれを違う色のカード にとりかえる。

最初にもっている枚のカードは白黒それぞれ枚であったとする。以下の に答えよ。

操作$を回繰り返した後に初めて 枚とも同じ色のカードになる確率を求め

よ。

−−

11 ［千葉大・理］

からQまでの番号が書かれたQ枚のカードがある。このQ枚のカードの中から

枚を取り出しその番号を記録してからもとに戻す。この操作を 回繰り返す。記録 した 個の番号が つとも異なる場合には大きい方から 番目の値を ; とする。

つが一致し つがこれと異なる場合には つの同じ値を;とし つとも同じなら

その値を;とする。

−−

12 ［名古屋大・文］ 袋 $の中に赤玉と白玉がそれぞれ つ入っていることと袋% の中に赤玉 つと 白玉つが入っていることが分かっている。

袋%からつの玉を取り出すとき取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ。 袋 $ から つの玉を取り出しそのあと袋% から つの玉を取り出す。その

つの玉のうち赤玉がつである確率を求めよ。

袋$からつの玉を取り出したあとで つの玉を袋$から取り出すかあるいは

つの玉を袋%から取り出すかのどちらかを選択できるとする。できるだけ多くの

赤玉を取り出そうと選択したとき最終的に取り出される赤玉の個数の期待値を求

−−

13 ［東京工大］ いびつなサイコロがあり から までのそれぞれの目が出る確率がとは限らな いとする。このサイコロを回振ったとき同じ目が出る確率を3とし 回目に奇数 回目に偶数の目が出る確率を4とする。

3≧であることを示せ。また等号が成立するための必要十分条件を求めよ。 ≧4≧−3であることを示せ。

−−

14 ［千葉大・理］

からまでの番号をつけた枚のカードがある。このなかから無作為に枚のカ

ードを同時に取り出しカードに書かれたつの番号の積を;とおく。

;がの倍数になる確率を求めよ。

;がの倍数になる確率を求めよ。

; が平方数になる確率を求めよ。ただし ; は平方数であるとはある自然数 Q

−−

15 ［京都大・理］

Q枚のカードを積んだ山があり各カードには上から順番にからQまで番号がつ

けられている。ただし Q≧ とする。このカードの山に対して次の試行を繰り返す。

回の試行では一番上のカードを取り山の一番上にもどすかあるいはいずれか

のカードの下に入れるという操作を行う。これらQ通りの操作はすべて同じ確率であ

るとする。Q 回の試行を終えたとき最初一番下にあったカード番号 Qが山の一番

−−

16 ［名古屋大・文］

さいころを投げると から までの整数の目が等しい確率で出るとする。さいこ

ろ を Q 回 Q= " 投 げ る と き 出 る 目 の 積 の 一 の 位 が M

M= " となる確率をSQMとする。 S S Sを求めよ。

−−

17 ［九州大・理］

Nは以上の自然数とする。｢｣と書かれたカードが 枚｢｣と書かれたカードが 枚…｢N｣と書かれたカードがN枚ある。そのうちの偶数が書かれたカードの枚数 を 0奇数が書かれたカードの枚数を 1 で表す。この0+1枚のカードをよくき

って枚を取り出しそこに書かれた数を記録してもとに戻すという操作をQ回繰り

返す。記録されたQ個の数の和が偶数となる確率をSQとする。次の問いに答えよ。 SとSを01で表せ。

SQ+をSQ01で表せ。 ₀0 ₁1

+

−−

18 ［神戸大・理］

大小 つのサイコロを同時に 回投げて大きいサイコロの出た目の数 $および

小さいサイコロの出た目の数%に応じて得点を競うゲームを考える。ただしこのゲ

ームには 種類の得点;Q ≦Q≦があってそれぞれ次の規則で定められてい るとする。

°¯ ° ® ­ = + ≠ =

のとき かつ

＜

のとき かつ

＜

のとき ≧ % $ Q $ E D$ % $ Q $ % Q $ $ ;Q

ここでDEは実数の定数である。また得点;Qの期待値を(Qとする。このとき 以下の問いに答えよ。

$% のとり得る値に対する得点;および;の値を答案用紙の表にそれぞれ 記入せよ。

(−(を求めよ。

(=( ="=(となるようなDEはあるか。あれば求めよ。なければそのこ とを示せ。

−−

19 [東京工大] からQまでの数字がもれなく一つずつ書かれたQ枚のカードの束から同時に枚 のカードを引く。このとき引いたカードの数字のうち小さい方が の倍数である確 率をSQとする。

Sを求めよ。

−−

20 [一橋大] Qを 以上の自然数とする。サイコロをQ回投げ出た目の数をそれぞれ順に;

; … ;Qとする。L= Qに対して;L =;L−となる事象を$Lとする。 $ $… $Qのうち少なくともつが起こる確率SQを求めよ。

−−

21 [広島大・理] Q は以上の自然数とする。袋の中に から Qまでの数字が つずつ書かれたQ 個の玉が入っている。この袋から無作為に玉を 個取り出しそれに書かれている数 を自分の得点としたのち取り出した玉を袋に戻す。この試行を$ % &の人が順 に行い 人の中で最大の得点の人を勝者とする。たとえば $ % &の得点がそれぞ れのときは$と&の人が勝者であり人とも同じ得点のときは$%&の 人とも勝者である。勝者がN人N= である確率を3QNとおくとき次の 問いに答えよ。

−−

22 [千葉大・文] 辺の長さが の正六角形$$$$$$を考える。さいころを 回投げ出た 目を順にLMNとするとき△$L$M$Nの面積を乗した値を得点とする試行を行う。 ただしLMNの中に互いに等しい数があるときは得点はであるとする。

−−

23 [名古屋大・文] はじめに$が赤玉を個%が白玉を個&が青玉を個持っている。表裏の出 る確率がそれぞれの硬貨を投げ表が出れば $ と % の玉を交換し裏が出れば % と & の玉を交換するという操作を考える。この操作を Q 回Q= くり 返した後に$%&が赤玉を持っている確率をそれぞれDQEQ FQとおく。

DE F D EFを求めよ。 DQ+EQ+FQ+をDQ EQ FQで表せ。

Qが奇数ならばDQ =EQ＞FQが成り立ちQが偶数ならばD_Q＞E_Q =F_Qが成り立つこ とを示せ。

−−

24 [岡山大・理] Qを以上の整数とする。Q枚のカードにからQまでの数字がつずつ書かれ ている。この中から枚のカードを取り出す。ひとたび取り出したカードは戻さない ものとする。

枚のカードの数字がすべての倍数である確率を求めよ。 枚のカードの数字の和がの倍数である確率を求めよ。

−−

25 [名古屋大・文] 数字のを書いた玉が個数字のを書いた玉が個数字のを書いた玉が 個ありこれら合計 個の玉が袋に入っている。以下のからのそれぞれにおい てこの状態の袋から 度に 個ずつ玉を取り出し取り出した玉は袋に戻さないも のとする。

玉を度取り出すとき取り出した玉に書かれた数字の合計がである確率を求 めよ。

玉を度取り出すとき取り出した玉に書かれた数字の合計が以下である確率 を求めよ。

玉を度取り出すとき次の条件が満たされる確率を求めよ。

−−

26 [千葉大・理]

−−

27 [一橋大] $と%の人が個のサイコロを次の手順により投げ合う。

回めは$が投げる。

の目が出たら次の回には同じ人が投げる。 の目が出たら次の回には別の人が投げる。

の目が出たら投げた人を勝ちとしそれ以降は投げない。 Q回目に$がサイコロを投げる確率DQを求めよ。

−−

28 [九州大・理] からまでの数字がつずつ書かれた枚のカードがある。その枚のカードを 横一列に並べ以下の操作を考える。

操作：からまでの数字がつずつ書かれた個の球が入っている袋から同時 に個の球を取り出す。球に書かれた数字がL とMならばL のカードとM のカードを入れかえる。その後

初めにカードを左から順に と並べ上の操作をQ回繰り返した後のカー ドについて以下の問いに答えよ。

−−

29 [千葉大・医]

さいころをQ回Q≧ 投げ

積; ; ";Qが偶数である確率を求めよ。

積; ; ";Qがの倍数である確率を求めよ。

−−

30 [広島大・文]

1 は 以上の整数とする。次の規則にしたがって 個のさいころを繰り返し投げ る。

規則：出た目を毎回記録し偶数の目が回出るかあるいは奇数の目が1回出た ところでさいころを投げる操作を終了する。

ただしさいころの目の出方は同様に確からしいとする。次の問いに答えよ。 さいころを投げる回数は最大で何回か。

−−

31 [名古屋大]

Qを以上の整数とする。からQまでの整数がつずつ書かれているQ枚のカー ドがある。ただし異なるカードには異なる整数が書かれているものとする。この Q 枚のカードから

; M≧ かつ< M N≦ となる確率を求めよ。 ; Mかつ< M Nとなる確率を求めよ。

−−

32 [東北大]

袋$袋%のそれぞれに から1の自然数がひとつずつ書かれた1枚のカードが 入っている。これらのカードをよくかきまぜて取り出していく。以下の問いに答えよ。 1とする。袋 $ %のそれぞれから同時に 枚ずつカードを取り出し数字

が同じかどうかを確認する操作を繰り返す。ただし取り出したカードは元には戻 さないものとする。 回のカードの取り出し操作が終わった後数字が一致してい た回数を ; とする。; ; ; ;となる確率をそれぞれ求めよ。 また

−−

33 [東京大]

図のように正三角形を つの部屋に辺で区切り部屋 3 4を定める。つの球が部屋3を出発し 秒ごとにそのま まその部屋にとどまることなく辺を共有する隣の部屋に等 確率で移動する。球がQ秒後に部屋4にある確率を求めよ。

3

−−

34 [京都大・理]

さいころをQ回投げて出た目を順に; ; " ;Qとする。さらに

< ;

N N

N < ; _<

N " Q

−35−

35 [東北大・理]

A, B の 2 人が, サイコロを 1 回ずつ交互に投げるゲームを行う。自分の出したサ イコロの目を合計して先に 6 以上になった方を勝ちとし, その時点でゲームを終了す る。Aから投げ始めるものとし, 以下の問いに答えよ。

(1) Aがちょうど2回投げてAが勝ちとなる確率を求めよ。

(2) Bがちょうど2回投げてBが勝ちとなる確率を求めよ。

−36−

36 [九州大]

横一列に並んだ6枚の硬貨に対して, 以下の操作Lと操作Rを考える。

L：さいころを投げて, 出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転 する。

R：さいころを投げて, 出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転 する。

たとえば, 表表裏表裏表 と並んだ状態で操作Lを行うときに, 3の目が出た場合は, 裏裏表表裏表 となる。

以下,「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする。

(1) 最初の状態から操作Lを2回続けて行うとき, 表が1枚となる確率を求めよ。

(2) 最初の状態からL, Rの順に操作を行うとき, 表の枚数の期待値を求めよ。

−37−

37 [岡山大・文]

1個のさいころをn回投げ, 出た目の最大値をXnとおく。このとき, 以下の問いに

答えよ。

(1) Xnがk以下である確率pkを求めよ。ただし, 1, 2, 3, 4, 5, 6k とする。

(2) Xnがkである確率qkを求めよ。ただし, 1, 2, 3, 4, 5, 6k とする。

(3) Xnの期待値をn2の場合に求めよ。

−38−

38 [広島大・文]

座標平面上の点で, x 座標と y 座標がともに整数である点を格子点という。n を 3 以上の自然数とし, 連立不等式

0

x≧ , 0y≧ , xy≦n

の表す領域を D とする。格子点A ( ,a b)に対して, 領域 D 内の格子点B( ,c d)が 1

a c b d を満たすとき, 点Bを点Aの隣接点という。次の問いに答えよ。 (1) 点O( 0, 0 )の隣接点をすべて求めよ。また, 領域 D 内の格子点 P が直線

x y n上にあるとき, Pの隣接点の個数を求めよ。

(2) 領域D内の格子点のうち隣接点の個数が4であるものの個数を求めよ。

−39−

39 [熊本大・医]

X, Yは{1, 2, 3, 4, 5, 6 }の空でない部分集合で, XYは空集合とする。また, n

を自然数とする。A君, B君が以下のルールで対戦する。

(i) 1回目の対戦では, まずA君がさいころを投げて, 出た目がXに属するならば

A 君の勝ちとする。出た目が X に属さなければ B 君がさいころを投げて, 出た 目がYに属するならばB君の勝ちとする。

(ii) 1 回目の対戦で勝負がつかなかった場合は, 1 回目と同じ方法で 2 回目以降の 対戦を行い, どちらかが勝つまで続ける。ただし, n 回対戦して勝負がつかなか った場合は引き分けにする。

以下の問いに答えよ。

(1) さいころを投げたとき, X, Yに属する目が出る確率をそれぞれp, qとする。A君 が勝つ確率を求めよ。

(2) A 君が勝つ確率が, B 君が勝つ確率よりも大きくなるような集合の組(X Y, )は

−40−

40 [一橋大]

サイコロを n 回投げ, k 回目に出た目をakとする。また, snを

1

10

n n k

n k

k

s a

_œ

定める。

(1) snが4で割り切れる確率を求めよ。

(2) snが6で割り切れる確率を求めよ。

－41－

41 [岡山大・理]

n 3以 整数 , a, b, c 1以 n以 整数 。 , 以 問

い 答え 。

(1) a< <b c a, b, c 組 何通 あ 。

(2) a b c a, b, c 組 何通 あ 。

－42－

42 [神戸大・理]

n 自然数 。1 2nま 番号 2n枚 カード 袋 入 , く

混 n枚 取 出 , 取 出 n枚 カード 数字 合計 A, 残さ n

枚 カード 数字 合計 B 。 , 以 問い 答え 。

(1) n 奇数 , A B 等 く い 示 。

(2) n 偶数 , A B 差 偶数 あ 示 。

－43－

43 [東北大]

1, 2, 3, 4, 5 数字 書 玉 2個 , 合計10個あ 。

(1) 10 個 玉 袋 入 , く 混 2 個 玉 取 出 。書 い 2

数字 積 10 確率 求 。

(2) 10 個 玉 袋 入 , く 混 4 個 玉 取 出 。書 い 4

数字 積 100 確率 求 。

(3) 10個 玉 袋 入 , く 混 6個 玉 順 取 出 。1個目 3個

目 玉 書 い 3 数字 積 , 4 個目 6個目 玉 書 い 3

－44－

44 [大阪大・理]

さい 繰 返 投 , n 回目 出 目 Xn 。n 回目ま 出 目 積

1 2 n

X X X Tn 表 。Tn 5 割 余 1 あ 確率 pn , 余 2, 3,

4 い あ 確率 qn 。

(1) pn+qn 求 。

(2) pn+1 pn n 用い 表 。

(3)

( )

n

n n

－45－

45 [一橋大]

数直線 点 P 次 規則 移動さ 。1 枚 硬貨 投 , 表 出 P

1

+ 移動さ , 裏 出 P 原点 関 対称 点 移動さ 。P 初 原

点 あ , 硬貨 n回投 後 P 標 an 。

(1) a3=0 確率 求 。

(2) a4=1 確率 求 。

－46－

46 [名古屋大・文]

大小合わ 2個 サイ ロ あ 。サイ ロ 投 , 1 6ま 整数

目 等 い確率 出 。

(1) 2 個 サイ ロ 同時 投 。出 目 差 絶対値 い , 期待値 求

。

(2) 2 個 サイ ロ 同時 投 , 出 目 異 終了 。出 目

同 小さいサイ ロ う一 投 終了 。終了時 出 い 目

－47－

47 [九州大]

Aさ 5円硬貨 3枚, Bさ 5円硬貨1枚 10円硬貨 1枚持 い 。2

人 自分 持 い 硬貨 べ 一 投 。 投 硬貨 う 表

出 硬貨 合計金額 多い方 勝 。勝者 相手 裏 出 硬貨 べ

う。 , 表 出 硬貨 合計金額 同 引 分 , 硬貨 や 行

わ い。 ーム い , 以 問い 答え 。

(1) Aさ Bさ 勝 確率p, び引 分 確率q 求 。