−−
１ [東北大・理] 連立不等式[ −[+\ +≦ [+\≦の表す領域 ' を図示せよ。また曲線
+\ − D[− \+D =
−−
２ [名古屋大・理]
座標平面上に 点2 $ % を考える。平面上の直線 O に関
して点 $と対称な点が線分2%上にあるとき直線Oをピッタリ直線と呼ぶことにす
る。
点3S Tを通るピッタリ直線 O があるとしO に関して $ と対称な点を
$′ W ≦W≦とするとき S T Wの間に成り立つ関係式を求めよ。
ピッタリ直線が本通る点3S Tの存在範囲を求めそれを図示せよ。図には
三角形2$%も書いておくこと。
点3S Tを通る 本のピッタリ直線が直交するような点3S Tの存在範囲
−−
３ [北海道大・理] 実数[\]は[≦\≦]≦かつ[+\+] =を満たすとする。
[の最大値と\の最小値を求めよ。
−−
４ [神戸大・文] 実数Wに対して[\平面上の直線OW\=W[−Wを考える。次の問いに答えよ。
点3を通る直線OWはただつであるとする。このような点3の軌跡の方程式を求
めよ。
−−
５ [千葉大・理] DW を実数とするとき座標平面において [ +\ −−W[+\−D=で定義 される図形&を考える。
すべてのWに対して&が円であるようなDの範囲を求めよ。ただし点は円とみ
なさないものとする。
D=とする。WがW＞の範囲を動くとき&が通過してできる領域を求め図示
せよ。
D=とする。WがW＞であってかつ&が円であるような範囲を動くとき&が
通過してできる領域を求め図示せよ。
−−
６ ［北海道大・文］
方程式[+\−\+=で定義される円&を考える。
点$− と2 を通り中心の座標が
(
−)
および(
−)
であるつの円はどちらも円&に接することを示せ。
−−
７ ［名古屋大・理］
原点2 を中心とする半径 の円に円外の点3[ \から 本の接線を 引く。
つの接点の中点を4とするとき点4 の座標[ \を点3の座標[ \ を用いて表せ。また23⋅24=であることを示せ。
−−
８ ［東京大・理］
座標平面上の点34が曲線\=[−≦[≦上を自由に動くとき線分34 をに内分する点 5 が動く範囲を ' とする。ただし 3 =4のときは5 =3とす る。
D を−≦D≦を満たす実数とするとき点D Eが' に属するための Eの条 件をDを用いて表せ。
−−
９ ［一橋大］
D を正の実数とする。点[ \が不等式[≦\≦[の定める領域を動くときつ
−−
10 ［金沢大・理］
[\平面において原点2を中心とする半径の円を&とする。Dを正の実数とし
点$ を通り傾きDの直線を O とする。& とO の交点で $と異なるものを3
としOと直線\=−の交点を4とする。また 3における&の接線をPとしPと
直線\=−の交点を5とする。次の問いに答えよ。 直線Pの方程式をDを用いて表せ。
D が正の値をとって動くとき線分45 の長さの最小値とそのときの D の値を 求めよ。
−−
11 ［神戸大・理］
[\ 平面上に 点$ %− & をとる。このとき次の問いに
答えよ。
$ %の点を中心とする同じ半径Uのつの円が接する。このようなUの値を 求めよ。
で求めたUの値について &を中心とする半径Uの円が $ %の点を中心と する半径Uのつの円のどちらとも接することを示せ。
−−
12 ［東京大・文］ 座標平面上の 点$ %− & −に対し ∠$3&=∠%3&を満 たす点3の軌跡を求めよ。ただし 3≠$ % &とする。
−−
13 ［金沢大・文］
[\ 平面において点$D を中心とする半径 U の円を & とする。ただし D
U≦ ＜
とする。円& の周上に\座標が正である点3と点(D+U をとる。
さらに点3における円&の接線と\軸との交点を4点(3を通る直線と\軸と の交点を5 $(3∠ をθ とする。このとき 点3 4 5を頂点とする△345につい て次の問いに答えよ。
△345は辺35を底辺とする二等辺三角形であることを示せ。次にこれが正三 角形となる場合のθの値を求めよ。
△345が正三角形となりさらに頂点のつが原点と一致する場合のDとUの 関係式を求めよ。
−−
14 ［金沢大・理］
＜U＜とし点2 を原点とする [\平面において 点2 $ % U
を頂点とする三角形 2$% と互いに相似な つの二等辺三角形2′$% $′2%
2$
%′ を考える。ここで辺 $% 2% 2$ はそれぞれの二等辺三角形の底辺であり 点2′は直線 $% に対して点 2 と反対側に点$′は第 象限に点%′は第 象限に それぞれあるとする。W=WDQ∠$′2%とおく。次の問いに答えよ。
点$′ %′の座標をUWの式で表せ。
直線$$′および直線%%′の方程式をD[+E\=Fの形で求めよ。 直線$$′と%%′の交点を0[ \とする。比
[\ をUWの式で表せ。 点2′の座標をUWの式で表し 直線$$′ %% ′ 22 ′が点で交わることを示
−−
15 ［京都大・文］
[\は[≠ \≠を満たす正の数で不等式
ORJ ORJ ORJ
ORJ[ \+ \[＞ + [ \
−−
16 ［一橋大］
任意の角θ に対して −≦[FRVθ+\VLQθ≦\+が成立するような点[ \の 全体からなる領域を[\平面上に図示しその面積を求めよ。
任意の角α βに対して −≦[FRVα+\VLQβ≦が成立するような点[ \
−−
17 ［広島大・理］ 座標平面上の点$ % &[ \を考える。ただし\＞とする。 次の問いに答えよ。
△$%& が二等辺三角形であるとする。そのとき [\が満たす条件を求め点 &
の存在範囲を図示せよ。
△$%&が鋭角三角形であるとする。そのとき [\が満たす条件を求め点& の 存在範囲を図示せよ。
つの角∠&$%∠$%&∠%&$をそれぞれα β γ とし不等式 α≦β≦γ ＜π
を満たすとする。そのとき[\が満たす条件を求め点&の存在範囲を図示せよ。 [\がの条件を満たすときγ がとりうる値の範囲を求めよ。
−−
18 [東北大・文] 放物線& \=[に対して以下の問いに答えよ。
& 上の点3D Dを通り 3 における & の接線に直交する直線 O の方程式を求
めよ。
O をで求めた直線とする。D≠のとき直線[=Dを O に関して対称に折り返 して得られる直線Pの方程式を求めよ。
−−
19 [千葉大・理] D を より大きい実数とし座標平面上に点2 $ をとる。曲線
[
\=上の点3
(
S S)
と曲線[ D
\= 上の点4
(
T TD)
が条件L S＞T＞ LL ∠$23＜∠$24
LLL △234の面積はに等しい
を満たしながら動くとき WDQ∠324の最大値が
−−
20 [名古屋大・文] [\平面上の長方形$%&'が次の条件DEFを満たしているとする。
D 対角線$&と%'の交点は原点2に一致する。 E 直線$%の傾きはである。
F $の\座標は%&'の\座標より大きい。
このときD＞E＞として辺$%の長さを D%&の長さを Eとおく。 $%&'の座標をDEで表せ。
長方形 $%&' が領域 ≦
− + \
[ に含まれるためのDE に対する条件を 求めDE平面上に図示せよ。
−−
21 [名古屋大・文] [\平面上に点2 $ % がある。
D＞とする。23 $3 Dを満たす点3の軌跡を求めよ。
−−
22 [東京大] 座標平面上の点3
をとる。放物線\ [ 上の点4 α α5 β β−−
23 [筑波大] 2を原点とする[\平面において直線\の [ ≧を満たす部分を&とする。
&上に点$ W をとるとき線分2$の垂直二等分線の方程式を求めよ。
点$が&全体を動くとき線分2$の垂直二等分線が通過する範囲を求めそれ
−−
24 [東北大・理] 実数 D に対し不等式 \≦D[ D Dの表す座標平面上の領域を' D とお く。
≦ ≦ を満たすすべてのD Dに対し' D の点となるような点 S T の範囲を 図示せよ。
−−
25 [北海道大・文] DEを実数とし
[\平面上の直線を
O [ \ O D[ \ DO E[ \ E で定める。
直線OはDの値によらない点3を通る。3の座標を求めよ。 OO Oによって三角形がつくられるためのDEの条件を求めよ。
−−
26 [神戸大・理] 以下の問いに答えよ。
Wを正の実数とするとき [ \ Wの表す[\平面上の図形を図示せよ。 DをD≧を満たす実数とする。[\が連立不等式
D[ D \≧ \≧
を満たすとき [ \ のとりうる値の最小値Pを
Dを用いた式で表せ。 DがD≧の範囲を動くときで求めたPの最大値を求めよ。㸫27㸫
>⚄ᡞ@
ᗙᶆᖹ㠃ୖ2ⅬA (1, 0 ) , B( 1, 0 )- ┤⥺lࡀ࠶ࡾ, Alࡢ㊥㞳Blࡢ㊥
㞳ࡢࡀ1࡛࠶ࡿ࠸࠺ࠋ௨ୗࡢၥ࠸⟅࠼ࡼࠋ
(1) lࡣy㍈ᖹ⾜࡛࡞࠸ࡇࢆ♧ࡏࠋ
(2) lࡀ⥺ศABࢃࡿࡁ, lࡢഴࡁࢆồࡵࡼࠋ
㸫28㸫
>ᮾி࣭ᩥ@
ᐇᩘ t ࡣ0㸺t㸺1 ࢆ‶ࡓࡍࡋ, ᗙᶆᖹ㠃ୖࡢ 4ⅬO( 0, 0 ) , A ( 0, 1) , B(1, 0 ) ,
C( , 0 )t ࢆ⪃࠼ࡿࠋࡲࡓ⥺ศABୖࡢⅬDࢆ ACO= BCD࡞ࡿࡼ࠺ᐃࡵࡿࠋ
㸫29㸫
>ᮾ࣭⌮@
s, tࢆᐇᩘࡍࡿࠋ௨ୗࡢၥ࠸⟅࠼ࡼࠋ
(1) x= + +s t 1, y= - -s t 1 ࠾ ࡃ ࠋs, t ࡀ sӍ0, tӍ0 ࡢ ⠊ ᅖ ࢆ ື ࡃ ࡁ, Ⅼ
( ,x y)ࡢືࡃ⠊ᅖࢆᗙᶆᖹ㠃ෆᅗ♧ࡏࡼࠋ
(2) 1x=st+ - +s t , y= + -s t 1࠾ࡃࠋs, t ࡀᐇᩘయࢆືࡃࡁ, Ⅼ( ,x y)ࡢ
㸫30㸫
>༓ⴥ@
1ࡼࡾᑠࡉ࠸ṇࡢᐇᩘaᑐࡋ࡚,
2 2 2
( ) : ( 1) ( 1) 2
C a x+ -a + y+ -a = a ᐃࡵ
ࡿࠋࡑࡢ࠺࠼࡛, ᩘิ an ࢆ௨ୗࡢ᪉ἲࡼࡗ࡚ᐃࡵࡿࠋ
(i) n=1ࡢࡁࡣ, C a( )ࡀ x ㍈᥋ࡍࡿࡼ࠺࡞ᐃᩘ a ࡢ್ࢆa1ࡍࡿࠋࡉࡽ
, C a( 1)x㍈ࡢ᥋ⅬࢆP1ࡋ, C a( 1)ࡢ୰ᚰࢆQ1࠾ࡃࠋ
(ii) nӍ2 ࡢࡁࡣ, C a( )ࡀ┤⥺Pn-1Qn-1᥋ࡍࡿࡼ࠺࡞ᐃᩘ a ࡢ್ࢆanࡍ
ࡿ ࠋ ࡉ ࡽ , C a( n) ┤ ⥺Pn-1Qn-1 ࡢ ᥋ Ⅼ ࢆPnࡋ, C a( n)ࡢ୰ᚰࢆQn
࠾ࡃࠋ
ࡇࡢࡁ, ௨ୗࡢၥ࠸⟅࠼ࡼࠋ
(1) a1ࢆồࡵࡼࠋ
(2) a2ࢆồࡵࡼࠋ
−31−
31 [神戸大・文]
a, b, c は実数とし, abとする。平面上の相異なる 3 点A ( ,a a2), B( ,b b2), 2
C( ,c c )が, 辺 ABを斜辺とする直角三角形を作っているとする。次の問いに答えよ。 (1) aをb, cを用いて表せ。
(2) 2ba≧ が成り立つことを示せ。
−32−
32 [岡山大・理]
xy平面上の2点P (1 x1, y1), P (2 x2, y2)に対して, d( P , P )1 2 を
1 2 ( P , P )
d x1x2 y1y2
で定義する。いま点A ( 3, 0 )と点B(3, 0 )に対して, ( Q, A )d 2 ( Q, B )d を満た
す点Qからなる図形をTとする。このとき, 以下の問いに答えよ。 (1) 点( ,a b)がT上にあれば, 点( ,a b)もT上にあることを示せ。
(2) Tで囲まれる領域の面積を求めよ。
(3) 点 C の座標を(13, 8 )とする。点 D が T 上を動くとき, ( D, C )d の最小値を求
−33−
33 [広島大・理]
座標平面上の 2 点A ( 0, 1) B( , 0 )t を考える。ただし, 0t≧ とする。次の問いに
答えよ。
(1) 線分ABを1辺とする正三角形は 2つある。それぞれの正三角形について, 2点
A, B以外の頂点の座標をtを用いて表せ。
(2) (1)で求めた2点のうちx座標が小さい方をCとする。tを動かすとき, 点Cの軌 跡を図示せよ。
−34−
34 [北海道大・理]
実数 x, y, s, t に対し, z x yi, w s tiとおいたとき, 1 1
w z
w
を満たすと
する。ただし, iは虚数単位である。
(1) wをzで表し, s, tをx, yで表せ。
(2) 0≦ ≦ かつs 1 0≦ ≦ となるようなt 1 ( ,x y)の範囲Dを座標平面上に図示せよ。
−35−
35 [東京大・文]
a, bを実数の定数とする。実数x, yがx2y2≦25, 2xy≦ をともに満たすとき5 , 2 2 2 2
－36－
36 [岡山大・理]
(1) すべ 実数 x, y 対し
2 2 2 2 1 0
x +y + axy+ bx+ 成 立つ す 。こ
, 実数a, b 満 すべ 条件を求め, 条件を満 す点( ,a b) す領域を
座標平面上 示せ 。
(2) (1) 領域を点( ,a b) 動く
2
－37－
37 [一橋大]
円
2 2
: 1
C x +y = 上 点P け 接線をl す 。点(1, 0 )を通 l 平行 直
線をm す 。直線m 円C (1, 0 )以外 共有点をP¢ す 。 し, m 直線
1
x= P¢を(1, 0 ) す 。
円C上 点P( ,s t) 点P ( ,¢ ¢s t¢)を得 上記 操作をT 呼ぶ。
(1) s¢, t¢を s t 多項式 し 表せ。
(2) 点P 操作Tをn回繰 返し 得 点をPn く。P
(
3, 1)
2 2 ,
1
P , P , 2 P3を 示せ 。
－38－
38 [東京大・理]
座標平面 原点を O 表す。線分y= 3x ( 0 x 2 )上 点P , 線分y= - 3x
(-2 x 0 )上 点Q , 線分OP 線分OQ 長さ 和 6 う 動く。こ
, 線分PQ 通過す 領域をD す 。
(1) s を0 s 2を満 す実数 す , 点( ,s t) D 入 う t 範 を求
め 。
