−−
１ ［98 横浜国大］ 両端を3 4とする長さNN＞の棒をその一
端 3 が半径 の円板の中心に一致するように棒 を円板に貼り付ける。この棒についた円板を棒の 両端 3 4 がそれぞれ点 −Nに一致 するように [\ 平面上におきその円板の周が [軸 上を滑ることなく[ 軸の正の向きに転がるように
円板を転がすとき4は右図のような曲線&を描く。次の問いに答えよ。
円板が角θだけ回転したときの点4の座標を [ \とすると [ =θ−NVLQ θ \= − NFRVθと表せることを示せ。
円板が一定の速さで転がるとき点4の速さが最大となるときのθを求めよ。 N=π
のときこの曲線&と\軸で囲まれる部分の面積を求めよ。 0 \ & 4 θ [ 㸠4の始点
−−
２ ［98 奈良女大・理］ [\ 平面での領域N [
N \
−−
３ ［98 横浜国大］ 次の各問いに答えよ。
平面上に一辺の長さがの正三角形がある。Uを以下の正の実数とし半径U の円の中心が平面内でこの正三角形の辺上を一周するときこの円が通過する 部分の面積を求めよ。
−−
４ ［98 東京大］ [\]空間に点$ %− &− − ' −
3 をとる。四角錐3$%&'の [ +\≧
−−
５ ［98 横浜国大］ 曲線& [ W = −VLQ W \ = − FRV W ＜ ＜W πについて次の問いに答えよ。 [軸上の定点 D ＜ ＜D πからの距離が最小となる&上の点の座標を求 めよ。
&上の点3における接線に垂直で3を通る直線をOとする。3からの距離が となるO上の点のうちその\座標が小さい方を4とする。3が&上を動くと き4の描く曲線の第象限に含まれる部分の長さを求めよ。
−−
６ ［99 筑波大］
水を満たした半径の半球形の容器がある。これを静かにα°傾
けたとき水面が K だけ下がりこぼれ出た水の量と容器に残っ
た水の量の比が となった。Kとαを求めよ。
K α°
−−
７ ［99 九州芸工大］
＜ ＜D πとして \= [ D− VLQ[ ≦ ≦[ πと [ 軸によって囲まれる部分を [
軸のまわりに回転してできる回転体を考える。≦ ≦[ Dの範囲の回転体の体積を
I D とし D [≦ ≦πの範囲の回転体の体積をJ D とする。このとき次の問いに答え
よ。
I D を求めよ。
J D =Iπ−Dであることを示せ。
K D =I D +J D とおく。＜ ＜D πの範囲でDを動かすときK D はD= π
−−
８ ［99 京都大］ I [ はD≦[≦Eで連続な関数とする。このとき
E D D [ G[ F E
−
³
I =I D F E≦ ≦となるFが存在することを示せ。
\=VLQ[の
≦ ≦[ π の部分と\=および \軸が囲む図形を\軸のまわりに回
転して得られる立体を考える。この立体を \ 軸に垂直なQ−個の平面によって各
部分の体積が等しくなるように Q 個に分割するとき \ =に最も近い平面の \ 座
標を\Qとする。このとき OLP
−−
９ ［99 大阪大］
[\]空間内につの立体.と/がある。どのようなDに対しても平面] D= によ
る立体 . の切り口は 点 D D
(
D)
を頂点とする正三角形である。またどのような D に対しても平面\ D= による立体 / の切り口は
点
(
) (
)
D D D を頂点とする正三角形である。
−−
10 ［99 名古屋工大］
[\平面上の点$ を中心とし半径の円を&とする。原点を2とし[≧ にある&上の点4をとり∠2$4=θとおく≦ ≦θ π。4における&の接線上に次
の条件LLLLLLを満たす点3
(
[ θ \ θ)
をとる。L [ θ ≧
LL \ θ は点4の\座標以上
LLL弧24の長さと線分43の長さの和がπに等しい。
次の問いに答えよ。
[ θ および\ θ を求めよ。
\ θ の最大値を求めよ。
−−
11 ［99 お茶水女大］
座標空間内の平面] =上に曲線[=FRV θ \ =VLQθ ≦ ≦θ πで囲まれた図形
'がある。K＞として点 D E Kより図形 'に光をあてるとき平面] =上に
写る'の影を'′とする。このとき '′の周囲の長さを求めよ。
−−
12 ［2000 名古屋大］
この問題ではHは自然対数の底ORJは自然対数を表す。
実数 DE に対して 直線O \ D[ E = + は曲線& \ =ORJ[+と[ 座標が
≦ ≦[ H−を満たす点で接しているとする。
このときの点 D Eの存在範囲を求めDE平面上に図示せよ。
曲線&およびつの直線O [ = [ H= −で囲まれた図形の面積を最小にする
−−
13 ［2000 東京工大］
Q は 以上の自然数とする。関数\ H= [……ア \ H= Q[ −……イについて以 下の問いに答えよ。
アとイのグラフは第象限においてただ一つの交点をもつことを示せ。 で得られた交点の座標をDQ EQとしたとき OLPQ DQ
→∞ とQOLP→∞QDQを求めよ。 第象限内でアとイのグラフおよび\軸で囲まれた部分の面積を6Qとおく。
このとき OLP
−−
14 ［2000 千葉大］
長さの棒34が座標平面上にある。3は$ から出発し[軸上を原点2ま で動き 4は2 を出発し % まで\ 軸上を動く。この棒の上に動点5 があり つねに35 $3= であるとする。
∠243=θとしたとき5の座標をθで表せ。
−−
15 ［2000 東京医歯大］
関数I ORJ[ =
(
[+ [ −)
[≧およびその逆関数J [ [≧のグラフを それぞれ& &とする。&上の点 D I D における&の法線Oと&上の点 I E Eにおける&の 法線Oとが平行であるときDを用いてEを表せ。
点 J における&の法線 O と曲線&および [ 軸とで囲まれる図形の面積 を求めよ。
−−
16 ［2000 横浜国大］
次関数I [ =[ −[ +D[があり I [ はつねに増加している。さらにI [ の逆関数をJ [ とするとき 曲線\=I [ \=J [ は原点で共通の接線をもつ ものとする。次の問いに答えよ。
定数Dの値を求めよ。
−−
17 ［2000 東京大］
DEFを正の実数とするとき
D E F [ \ ] § © ¨ ¨¨ · ¹ ¸ ¸¸ § © ¨ ¨¨ · ¹ ¸ ¸¸ § © ¨ ¨¨ · ¹ ¸ ¸¸ = § © ¨ ¨¨ · ¹ ¸ ¸¸ § © ¨ ¨¨ · ¹ ¸ ¸¸ § © ¨ ¨¨ · ¹ ¸ ¸¸ を満たす実数[\]をDEFで表せ。
DEFが≦D≦≦E≦≦F≦の範囲を動くときの[\]を座標とす る点 [ \ ]が描く立体を.とする。立体.を平面\ W= で切った切り口の面積
を求めよ。
−−
18 [九州大]
空間内に以下のような円柱と正四角柱を考える。円柱の中心軸は [ 軸で中心軸に 直交する平面による切り口は半径 Uの円である。正四角柱の中心軸は] 軸で[\平面 による切り口は辺の長さがU の正方形でその正方形の対角線は[軸と\軸であ る。＜U≦ とし円柱と正四角柱の共通部分を.とする。
高さが] =W −U≦W≦Uで [\ 平面に平行な平面と . との交わりの面積を求め
よ。
.の体積9Uを求めよ。
−−
19 [筑波大]
曲線\=[−[
(
≦[≦)
を\軸のまわりに回転してできる容器に単位時間あ たり一定の割合9で水を注ぐ。−−
20 [九州大]
関数I[の第 次導関数はつねに正とし関数\=I[のグラフ * 上の点
3 W I W に お け る 接 線 と [ 軸 の な す 角 をθW と す る 。 た だ し θW は
θ π π＜ W ＜
− で接線の傾きが正負に従って正負の値をとるものとする。ま た点3における*の法線上に3から距離の点4αW βWを*の下側にとる。 θWはつねに増加することを示せ。
αW βWを求めよ。
W が D から E（D＜E）まで変化するとき点 3 4 が描く曲線の長さをそれぞれ
−−
21 [岡山大]
座標平面上に点$ と点% があり線分$%上の点3から[軸\軸に
おろした垂線の足をそれぞれ4 5とする。点3が$から%まで動くとき線分45
−−
22 [九州大]
平面上を運動する点3[ \の時刻Wでの[座標と\座標が
W W H
H
[ = − −
W W H
H
\= + −
で表されている。ただしHは自然対数の底である。原点を2点 を0 とする。
WがW≧の範囲で変化したとき点3が描く曲線を&とする。時刻Wにおいて曲線
&線分 20および線分 23 で囲まれる図形の面積を$Wで表し曲線 & と線分
03で囲まれる図形の面積を6Wで表す。次の問いに答えよ。
点3[ \の座標[\に対して\を[を用いて表せ。 時刻Wを用いて$Wと6Wを表せ。
−−
23 [大阪大]
平面上に原点 2 を中心とする半径 の円&と点3 VLQαを中心とする半径
の円&がある。ただし＜α＜π とする。円&と[軸との交点を$ %とし $ %を
通り\軸と平行な直線をそれぞれO$ O%とする。直線O$ O%ではさまれた領域の部
分で円&の外部で円&の内部であるものを'円&の外部で円&の内部である
ものを'とする。いま ' 'をそれぞれ[軸のまわりに回転させてできる回転
体の体積を9α9αとする。
9α9α−9αをそれぞれαを用いて表せ。 αが
−−
24 [京都大]
[≧ で定義された関数I[=ORJ[+ +[ について導関数I′[を求め
よ。
−−
25 [東京医歯大]
正の定数DEに対して曲線&を媒介変数Wを用いて次式で定義する。 W
E \ W D [
& = FRV = VLQ
(
)
≦W≦πこのとき以下の各問いに答えよ。
曲線&上の点3DFRVθ EVLQθ
＜θ＜π における&の接線と[軸および
\軸との交点をそれぞれ45とする。このとき線分45の長さOθを求めよ。
{
θ}
θ O
GG を求めよ。
−−
26 [九州大] [\ 平面上で [ =UWFRVW \=UWVLQW≦W≦πで表される曲線を & とする。
UW=H−Wのとき[の最小値と\の最大値を求め&の概形を図示せよ。
一般にすべての実数Wで微分可能な関数UWに対し
{
UW}
UWVLQ WFRVWGW{
UW}
(
VLQW VLQW)
GW − = ′³
³
π π
が成り立つことを示せ。ここでU′WはUWの導関数である。
で求めた曲線&と[軸とで囲まれる図形を[軸のまわりに回転してできる
立体の体積9は = π
³
π −
VLQ
H WGW
−−
27 [岡山大] ＜D＜E とする。原点 2 と点$
(
D D)
を通る直線原点 2 と点%(
E E)
を通る直線および曲線\=[ [＞で囲まれた部分を5とする。5の面積を(5を直線
[
\=− のまわりに回転させてできる回転体の体積を9とする。
(をDとEの式で表せ。
F＞ とし曲線\= [上の点
(
)
F F3 から直線\=−[に下ろした垂線を 34 と
する。線分24の長さをV線分34の長さをWとするとW =V +となることを
示せ。
9をDとEの式で表せ。
E=D+のとき (
−−
28 [東北大] [\]空間内に点3X X 4X −X を考える。Xがからまで動
くとき線分34が通過してできる曲面を6とする。
点X ≦X≦と線分34の距離を求めよ。
−−
29 [東京大]
[\] 空間において平面] =上の原点を中心とする半径 の円を底面とし点
を頂点とする円錐を$とする。
次に平面] =上の点 を中心とする半径 の円を +平面] =上の点
を中心とする半径の円を.とする。+と.をつの底面とする円柱を%
とする。
円錐$と円柱%の共通部分を&とする。
≦W≦ を満たす実数 W に対し平面] =Wによる & の切り口の面積を6Wとおく。 ≦θ≦πとする。W=−FRVθのとき6Wをθ で表せ。
&の体積
³
−−
30 [千葉大]
[\ 平面上の動点 $ は原点2 を出発し[ 軸上を点 まで動くとする。
また動点%は点 を出発し $%=2%=なる条件を満たしながら第象限を点
まで動くとする。点3は線分$%上の点で%3=2$を満たす。
∠$2%=θ とするとき点 3の座標をθ で表せ。ただし点 $ が点 2 と一致する
ときを除く。
−−
31 [大阪大]
Qを以上の自然数とする。点2を中心とする半径の円において円周をQ等分
する点3 3 " 3Q−を時計回りにとる。各L= " Qに対して直線23L−
L
23 とそれぞれ点3L− 3Lで接するような放物線を&Lとする。ただし 3Q =3とす
る。放物線& & " &Qによって囲まれる部分の面積を6Qとするとき Q
Q→∞6 OLP
−−
32 [広島大]
$を正の定数θ は≦θ≦πを満たす実数としつの曲線
[ $
\= FRV \=VLQ[−θ ≦[≦π
によって囲まれた図形の面積を6とする。またこのつの曲線の交点の[座標をD
ED＜ とするときE 次の問いに答えよ。
FRVEVLQD−θ=FRVDVLQE−θが成り立っているとき FRVθVLQE−D=を
示せ。
E−D =πを示せ。
6を$ D θ を用いて表せ。
6を$ θ を用いて表せ。
−−
33 [筑波大]
[
I は [≧ で連続で I=かつ [＞ においてI′[＞を満たすとする。
＞
W に対して曲線\=I[と [軸および直線[=Wとで囲まれる図形を [ 軸のまわ
りに回転してできる立体の体積を;W曲線\=I[と\軸および直線\=IW
とで囲まれる図形を \ 軸のまわりに 回転してできる立体の体積を<Wとする。ま
た ;=<=とする。このとき次を示せ。
;′W=πIW<′W=πWI′WW＞である。
I[が整式でかつすべての W≧ に対して;W=<Wが成り立つならば
[ [=
I [≧である。
[ [[ + =
−−
34 [東京工大]
＜U＜ とする。空間において点 を中心とする半径 U の球と点
を中心とする半径 −U の球との共通部分の体積を9Uとする。次の
問いに答えよ。
9Uを求めよ。
Uが＜U＜の範囲を動くとき9Uを最大にするUの値および9Uの最大値
−−
35 [岡山大]
座標空間に定点$ をとる。点3[ \ ]から\] 平面に下ろした垂線の
足を+とする。N＞である定数Nに対して3+3$ =Nを満たす点3全体から
なる図形を6で表す。このとき次の問いに答えよ。
6の点3と[軸との距離の最大値を求めよ。
6のうちで\≧かつ] =を満たす部分を&とする。6は&を[軸のまわりに
回転させて得られる図形であることを示せ。
6で囲まれる立体の体積を求めよ。
−−
36 [筑波大] 曲線& \=VLQ[
(
)
＜[＜π を考える。& 上の点 3における & の法線を O とする。
法線Oが点4 を通るような点3がただつ存在することを示せ。
の条件を満たす点 3に対し直線O曲線&直線\=で囲まれる部分の面積
を6とし直線O曲線&[軸で囲まれる部分の面積を6とする。6と6の大小
−−
37 [大阪大]
Qを正の整数Dを正の実数とする。曲線\=[Qと曲線\=DORJ[が点3で共通の
接線をもつとする。ただし対数は自然対数である。点 3 の [ 座標を W とするとき
以下の問いに答えよ。
DWをそれぞれQを用いて表せ。
曲線\=[Qと [ 軸および直線[ =Wで囲まれる部分の面積を
6 とする。また曲
線\=DORJ[と [ 軸および直線[ =Wで囲まれる部分の面積を6とする。このとき
6
6 をQを用いて表せ。
[≧ のとき不等式 [ [ H [
[ − ≦ −[ + − ≦ が成り立つことを次のD E
に分けて示せ。ただしHは自然対数の底とする。
D [≧のとき不等式H−[ +[−≦[ が成り立つことを示せ。
E [≧のとき不等式 − + −[ H− [
[ ≦ [ が成り立つことを示せ。
極限値
OLP66
−−
38 [東京工大]
'を半径の円盤&を[\平面の原点を中心とする半径の円周とする。'が次の
条件D Eを共に満たしながら [\] 空間内を動くとき' が通過する部分の体積を求
めよ。
D 'の中心は&上にある。
−−
39 [東京大]
Uを正の実数とする。[\]空間において
\ U
[ + ≦ \ +]≧U ]+[≦U
を満たす点全体からなる立体の体積を求めよ。
