2018 ２次数学セレクション 問題 －12－ 12 [東京大] 0 a > とし, f( )x =x3-3a x2 とおく。 (1) 1x ≧ で f( )x が単調に増加するための, a についての条件を求めよ。 (2) 次の 2 条件を満たす点 ( ,a b の動きうる範囲を求め) , 座標平面上に図示せよ。 条件1：方程式 ( )f x =bは相異なる3 実数解をもつ。 条件2：さらに, 方程式 ( )f x =bの解を< < とすると > である。 1
2018 ２次数学セレクション 問題 －13－ 13 [金沢大・文] 関数 f( )x は等式 2 0 ( )x = x- +1
ò
x ( )t dt f f を満たすとし, 2 0 ( )t dt=aò
f とお く。次の問いに答えよ。 (1) ( 2)f をa を用いて表せ。 (2) a の値を求めよ。 (3) k は定数とする。y=xf( )x -kのグラフとy=ax2のグラフの共有点の個数を求 めよ。2018 ２次数学セレクション 問題 －14－ 14 [千葉大] a を正の数とし, t は 0≦ ＜ を満たす数とする。点t a ( , (t t a- ) )2 における曲線 2 ( ) y= x a- の接線と, x 軸および y 軸で囲まれた領域をD t とする。( ) (1) 領域 ( )D t の表す図形の面積を a および t を用いて表せ。 (2)領域 ( )D t の表す図形の面積の最大値, およびそのときの t の値を a を用いて表せ。 (3) s は 0≦ ≦ を満たす数とする。領域s t D t と領域( ) D s を合わせてできる領域( ) ( ) ( ) D t ÈD s の表す図形の面積の最大値, およびそのときの s と t の値を a を用い て表せ。
2018 ２次数学セレクション 解答解説 © 電送数学舎 2018 －16－ 12 [東京大] (1) f( )x =x3-3a x2 (a >0 )に対して, f¢( ) 3x = x2-3a2 =3(x a x a+ )( - ) これより, ( )f x の増減は右表のよ うになる。 すると, 1x ≧ で ( )f x が単調に増加 する条件は, 0＜ ≦ である。 a 1 (2) 方程式 ( )f x =bは相異なる 3 実数解をもち, その解を < < とすると, < - < < < であり, しかもa a 1 > である条件は, 右図から, 1 a > ………① 3 2 2a b (1) 1 3a - < <f = - ………② ここで, ②の 2 つの境界線b= -2a3とb= -1 3a2の関 係は, 両式を連立すると, 3 2 2a 1 3a - = - , 2a3-3a2+ =1 0 2 ( 2a+1)(a-1) =0 よって, 1 2 a = - で交わり, a = で接する。 1 以上より, 点 ( ,a b の動きうる範囲は, ①②から, ) 1 a > , -2a3< < -b 1 3a2 この不等式を ab 平面上に図示すると, 右図の網点部にな る。ただし, 境界は領域に含まない。
［解 説］
微分の方程式への応用問題です。内容は基本的です。 x … -a … a … ( )x ¢ f ＋ 0 － 0 ＋ ( )x f 2a 3 -2a3 3 2a -3 2a a - a α β γ 1 b x O y O 2 -1 a b 12018 ２次数学セレクション 解答解説 © 電送数学舎 2018 －17－ 13 [金沢大・文] (1) 条件より, 2 2 0 0 ( )x = x- +1
ò
x ( )t dt= x- +1 xò
( )t dt f f f ここで, 2 0 ( )t dt=aò
f ……①とおくと, ( )f x = x- +1 ax……②となり, ( 2)= 2 1- +2a= +1 2a f (2) ②より, ( )f x = - +x 1 ax=(a+1)x-1 (x ≧1) ( )x = - + +x 1 ax=(a-1)x+1 f (x ＜ 1) ①に代入すると, 2 1 2 0 ( ) 0 {( 1) 1} 1 {( 1) 1} a=ò
f t dt=ò
a- t+ dt+ò
a+ t- dt 1 2 2 2 0 1 1( 1) 1( 1) 2 a t t 2 a t t é ù é ù =êë - + ûú +êë + - úû 1( 1) 1 1( 1) 3 1 2 a 2 a = - + + + ⋅ -2a 1 = + よって, 1a = - となる。 (3) (2)より, ( )f x = -1(x ≧1), ( )f x = -2x+1(x ＜ 1) ここで, ( )y=xf x -k……③とy= -x2……④を連立すると, 2 ( ) xf x - = -k x , xf( )x +x2=k すると, y=xf( )x +x2……⑤のグラフとy= ……⑥のグラフの共有点の個数k は, ③のグラフと④のグラフの共有点の個数に一致し, ⑤より, (i) x ≧ のとき 1(
)
2 2 2 1 1 ( ) 2 4 xf x +x = - +x x = x- -(ii) x ＜ のとき 1 2 2 2 ( ) ( 2 1) xf x +x =x - x+ +x = -x +x(
1)
2 1 2 4 x = - - + (i)(ii)より, ③と④のグラフの共有点の個数は, 右図より, 1 個(
k<0, 14<k)
, 2 個(
k =0, 14)
, 3 個(
0< <k 14)
［解 説］
置換え型の積分方程式と 2 次関数と方程式の融合問題です。誘導が詳しいので, 方 針は明快です。 1 2 1 4 k 1 x y O ⑤ ⑥2018 ２次数学セレクション 解答解説 © 電送数学舎 2018 －18－ 14 [千葉大] (1) 曲線y=(x a- )2に対しy¢ =2(x a- )となり, 0≦ ＜ にt a おいて, 点( , (t t a- ) )2 における接線の方程式は, 2 ( ) 2( )( ) y- -t a = t a x t- -2 2 2( ) y= t a x t- - +a ………① すると, ①と y 軸との交点は( 0, - +t2 a2)となり, また x 軸との交点は
(
t a+2 , 0)
である。 そこで, 接線①と x 軸および y 軸で囲まれた領域 ( )D t の 面積をS t とおくと, ( ) 2 2 1 ( ) 2 t a2 ( ) S t = ⋅ + - +t a 1 ( 3 2 2 3) 4 t at a t a = - - + + ………② (2) ②より, ( ) 1( 3 2 2 2) 4 S t¢ = - t - at a+ 1 (3 )( ) 4 t a t a = - - + すると, 0≦ ＜ におけるt a S t の増減は右表( ) のようになる。これより, ( )S t は 3 a t = のとき最 大となり, 最大値は,( )
1(
3 3 3 3)
8 3 3 4 27 9 3 27 a a a a S = - - + +a = a (3) 0≦ ≦ ＜ のとき, 点s t a ( , (s s a- ) )2 における接線の方程 式は, ①より, 2 2 2( ) y= s a x s- - +a ………③ さ て, 2 つの領域 ( )D t と ( )D s を合わせてできる領域 ( ) ( ) D t ÈD s の面積をT t s とすると, ( , ) (i) 0≦s t= ＜ のとき a ( , ) ( ) T t s =S t より, (2)から最大値は 8 3 27a である。 (ii) 0≦ ＜ ＜ のとき s t a ①③を連立すると, 2(t a x t- ) - +2 a2=2(s a x s- ) - 2+a2から, 2 2 2(t s x- ) =t -s , 2 t s x= + よって, ( , ) ( ) 1{( 2 2) ( 2 2) } 2 t s2 T t s =S t + - +s a - - +t a ⋅ + となり, 3 2 2 3 3 2 2 3 1 1 ( , ) ( ) ( ) 4 4 T t s = - -t at +a t a+ + t +st -s t s- ………④ ここで, t をt=t0( 0＜ ＜t0 a)で固定し, s を0≦ ＜s t0で動かすと考え, 3 2 2 3 3 2 2 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ( , ) ( ) ( ) 4 4 T t s = -t -at +a t +a + t +t s t s- -s t 0 … 3a … a ( ) S t¢ ＋ 0 － ( ) S t O x y t a O x y t s a2018 ２次数学セレクション 解答解説 © 電送数学舎 2018 －19－ 2 2 0 1 0 0 ( , ) (3 2 ) 4 T t¢ s = - s + t s t = -1 (34 s t- 0)(s t+ 0) すると, 0≦ ＜s t0におけるT t( , )0 s の 増 減 は 右 表 の よ う に な る 。 こ れ よ り, 0 ( , ) T t s は 0 3 t s = のとき最大となり, 最大値は,
