2015－2017年度 ２次数学セレクション（複素数）解答解説

© 電送数学舎 2015 －1－ １ [筑波大] (1) z+z= z 2より, z 2-z-z= となり, 0 z 2-z-z+ = から, 2 (z-)(z-)=  , z- 2=  2, z- =  よって, z の描く図形 C は, 点を中心とし半径が  の円である。すなわち, 原 点を通る円となる。 (2) は虚数, は正の実数より,  - = - である。   さて, w=(z-  )( - )とおくと, ( )( )( ) ( )( ) ( ) z w z           - - -= - - = -2 z _{  }   -= -ここで, w は純虚数より, z   -- は純虚数となる。 すると, z の描く図形 L は, 点を通り, 点と点 を結ぶ線分に垂直な直線(z¹)であり, C と L は 2 つ の共有点をもつ。この2 点を P, Q とすると, P, Q は円 C の直径の両端となるので, PQ=2  =2  (3) R( ) と し た と き, RP=RQ か ら, △ PQR が 正 三 角 形 に な る 条 件 は , PQR ₃  = より, 3  - =  , (   - )( - ) 3= , _2_{-(  + ) -2=0} すると, 0> より, ( )2 8 2      = + + + + 2 2 ₁₀ 2  + +  +  + =

［解 説］

現行課程で復活した複素数と図形の問題です。複素数平面上で, 円と直線の表現方 法が問われています。   P Q O x y

© 電送数学舎 2016 －2－ ２ [千葉大] (1) cos2 sin2 7 7 z=  +i  に対して, _z7_{=cos2+isin2= となり, 1} 2 3 4 5 6 z z+ +z +z +z +z ( 6 1) 7 1 1 1 1 1 z z _{z z z} z z z - _- -= = = = -- - -(2) _{= +z z}2_+z4_{とするとき, = +z z}2_+z4 _=z6_+z5_+z3  + = +z z2+z4+z6+z5+z3= -1  _{=(z z+} 2_+z4_)(z6_+z5_+z3₎ 7 6 4 8 7 5 10 9 7 z z z z z z z z z = + + + + + + + + 6 4 5 3 2 3 z z z z z z = + + + + + + 3 1 2= - = よって, , は2 次方程式_x2_{+ + = の解より, x 2 0} 1 7 2 i x=-  そして, の虚部はの虚部より大きいので, 1 7 2 i =- + である。 (3) _{x = の解は,} 7 _{1 x=1, ,z z}2_{, z}3_{, z}4_{, z}5_{, z}6_より, 7 _{1 ( 1)( )(} 2₎₍ 3₎₍ 4₎₍ 5₎₍ 6₎ x - = x- x z x z- - x z- x z- x z- x z -そして, _x7_{- =1 (x-1)(x}6_+x5_+x4_+x3_+x2_{+ +x 1)より,} 6 5 4 3 2 ₁ x +x +x +x +x + +x 2 3 4 5 6 (x z x z)( )(x z )(x z )(x z )(x z ) = - - - ………(＊) (＊)にx = を代入すると, 1 2 3 4 5 6 (1-z)(1-z )(1-z )(1-z )(1-z )(1-z ) 7=

［解 説］

1 の n 乗根に関する超有名問題です。解答例に示した図がすべてと言っても構わな い内容です。 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z O x y

© 電送数学舎 2016 －3－ ３ [東北大] (1) ( ) ( )7 ( )7 2 x i x i P x i + - -= 2( C7 1 6 7 3C 4 3 7 5C 2 5 7) 2 x i x i x i i i + + + = 6 4 2 7ix 35ix 21ix i i - + -= =7x6-35x4+21x2-1 ここで, 7 6 5 4 3 2 0 1 2 3 4 5 6 7 ( ) P x =a x +a x +a x +a x +a x +a x +a x a+ から, 0 2 4 6 0 a =a =a =a = , a = , 1 7 a = -3 35, a =5 21, a = - 7 1 (2) ド・モアブルの定理を用いると,

(

_cos

)

₁

{(

_cos

) (

7 _cos

) }

7

sin 2 sin sin

P i i i     =  + - 

{

7 7

}

7

1 _{( cos sin ) ( cos sin )} 2 sini   i   i 

= + -

1 ₇

{

( cos7 sin7 ) ( cos7 sin7 )

}

2 sini   i   i  = + - 2 sin7₇ 2 sin i i   = sin7₇ sin   = ………(＊) (3) 6 4 2 1 3 5 7 ( ) P x =a x +a x +a x +a , 3 2 1 3 5 7 ( ) Q x =a x +a x +a x a+ より, 0x > で,

(

)

( ) Q x =P x さて, 7 

= のとき cos_sin_ >0, cos2_sin2_ >0, cos3_sin3_ > から,0 (＊)を用いて,

1 ( ) Q x

(

cos2₂

)

sin Q   =

(

cos

)

sin P   =

(

cos

)

sin P   = sin7₇ sin   = sin₇ sin   = =0 2 ( ) Q x

(

cos 22₂

)

sin 2 Q   =

(

cos2

)

sin2 P _ =

(

cos2

)

sin2 P _ = sin14₇ sin 2   = sin2₇ sin 2   = =0 3 ( ) Q x

(

cos 32₂

)

sin 3 Q   =

(

cos3

)

sin3 P   =

(

cos3

)

sin3 P   = sin21₇ sin 3   = sin3₇ sin 3   = =0 さらに, 1 2 1 tan 7 x  = , 2 2 1 2 tan 7 x  = , 3 2 1 3 tan 7 x  = なので, x1, x2, x は互いに3 異なる。よって, x1, x2, x は 3 次方程式 ( ) 03 Q x = の異なる 3 つの解となり, 1 2 3 x +x +x 3 1 5 a a = - =

［解 説］

一見, 複素数の難問という構成ですが, 細かな誘導のため, それに従えば最後の結 論まで導けるようになっています。ただ, いろいろな定理が絡んでいますが。

© 電送数学舎 2016 －4－ ４ [東京大] 3 点 A (1) , B( )z , _{C( )z に対し, △ABC は鋭角三角形よ}2 り, まずz ¹ かつ1 _z2_{¹ かつz z ¹ より,} 2 ₁ 0 z ¹ , 1z ¹  さて, CAB 2   < から, arg 2 1 2 zz 1 2  -  - < < - となり, arg( 1) 2 z 2   - < + < , - <₂ arg {z- -( 1) }<₂ すると, z は点 1- を通り実軸に垂直な直線の右側にある。 次に, ABC 2   < から, arg 2 2 z1 zz 2  -  - < < - となり, - <2 arg(-z)<2 すると, z- は虚軸の右側にあるので, z は虚軸の左側にある。 さらに, BCA 2   < から, arg ₂2 2 ₁z z_z 2  -  - < < - となり, arg 2 1zz 2   - < < + , - <2 arg- -01-zz <2 すると, z は原点と点 1- を直径とする円の外部にある。 以上より, z の存在範囲は右図の網点部となる。ただし, 境界 線は含まない。

［解 説］

複素数平面についての問題です。鋭角三角形という条件を, 偏角の言葉に翻訳して 処理をしました。なお, 余弦定理を利用する方法も考えられます。 2 C(z ) B( )z A(1) O y x 1 - O y x

© 電送数学舎 2016 －5－ ５ [広島大] (1) 1 2i = + 1 cos

(

sin

)

4 4 2 i   = + なので, 点zは点 z を 原点回りに 4  _{回転し, 原点との距離 1} 2倍した点である。 すると, 与えられた条件から, 2 1 ( 1 ) n n n n z + -z + = z + -z ………(＊) 3 2 ( 2 1) z =z + z -z 3 1 1 2i 2i 2i + + + = + ⋅ 3 2i 2i + = + 3 2 2 i + = 4 3 ( 3 2) z =z + z -z 3 2 1 2 i 2i i2 + + = + ⋅ 3 2 1 2 i 4 i + - + = + 5 5 4 i + = (2) (＊)より, 1 1 ( 2 1) n n n z z z z  -+ - = - =1₂+in-1=nとなり, 2n≧ で, 1 1 1 n k n k z z -  = = +

å

1 1 1 n k k  -= = +

å

1 0 n k k  -= =

å

1 1 n   -= -1 n = のときも成立するので, 1 1 n n z   -= - である。 (3) n  ¥ のとき

(

1

)

0 2 n n n  =  =  より, lim n 0 n¥ = となり, lim n n w z ¥ = 1 1  = - =1-2i = +1 i (4) (2)より, 1 1 n n z   -= - =(1+i)(1-n) (1 ) 1

{ (

1₂

) (

cos4 sin4

)}

n _{n n} i  i  = + - + ここで, z の実部が w の実部 1 より大きくなることより, n

(

1

)

(

1

)

1 cos sin 1 4 4 2 2 n _n n _n   - + > , sin cos 0 4 4 n_- n_> すると, 2 sin

(

1

)

0 4 4 n_{- > となるので, k を 0 以上の整数として,}

(

1

)

2 ( 2 1) 4 4 n k< - < k+ , 8k+ < <1 n 8k+5 よって, 8n= k+2, 8k + , 83 k + である 4

［解 説］

複素数平面上の点の移動を題材にした頻出問題です。現行課程で復活し, 日も浅い ためなのか, 問題文の説明が度を超えた丁寧さです。 z1 z2 z3 z4 x O y 1 3 2 1 2

© 電送数学舎 2016 －6－ ６ [筑波大] (1) z- =1 z+ ……①に対して, 左辺は点 z と点 1 との距離, 右辺は点 z と点 11 -との距離を表す。 これより, ①を満たす点 z の全体は, 点 1 と点 1- を結ぶ線分の垂直二等分線, す なわち虚軸となる。 (2) w z 1 z + = (z ¹0)より, 1wz= + となり, (z w-1)z= ………② 1 ここで, 1w = とすると②は成立しないので, 1w ¹ で 1 1 z w = - ………③ ③を①に代入すると, 1 1 1 1 1 1 w- - = w- + となり, 2w--w1 = ww-1 から, 2 1 1 w w w w -= - - , 2 w- = w すると, 点 z が原点を除いた虚軸上を動くとき, 点 w は点 2 と点0 を結ぶ線分の垂直二等分線, すなわち点 1 を通り実軸に 垂直な直線上を動く。ただしw ¹ から点 1 は除く。 1 図示すると, 右図のようになる。 (3) a > で0 w z 1 z a+ = - より, (w z a- )= + となり, (z 1 w-1)z=aw+ ………④ 1 ここで, 1w = とすると④は成立しないので, 1w ¹ で 1 1 aw z w + = - ………⑤ ⑤を①に代入すると, 1 1 1 1 1 1 aw aw w-+ - = w-+ + となり, ( 1) 2 ( 1) 1 1 a w a w w w - + + = - - , (a-1)w+2 = (a+1)w 両辺を2 乗して, _(a-1)w+22_=(a+1)2 _w 2_より, 2 {(a-1)w+2 }{(a-1)w+2 } (= a+1) ww 4aww-2(a-1)w-2(a-1)w=4, 1 1 1 2 2 a a ww w w a a a - -- - = ………⑥ ⑥より,

(

1

)(

1

)

1 ( 1)₂ 2 2 2 ₄ a a a w w a a a _a -- -- - = + となり, 2 2 2 ( 1) 1 2 ₄ a a w a _a + -- = , 1 1 2 a2 a w a +a -- = よって, 点 z が虚軸上を動くとき, 点 w は中心 1 2 a a - で半径 1 2 a a + の円を描く。た だし, 1w ¹ から点 1 は除く。

［解 説］

複素数平面上の変換を問う問題です。(1)において, まず①を変形して, z z+ = と0 いう関係を導き, この式をもとに(2), (3)を解くという方法もあります。 1 y x O

－7－ ７ [熊本大] (1) = -i, 2 2i= - ,  = +s ti (s>0, t>0 )に対し, 複 素数平面上にA ( ) , B( ) , C( ) をとる。 ここで, △ACDが正三角形で, 点 D が直線 AC に関して B と反対側にあることより, D( )z は C( ) をA ( ) のまわ りに 3  _{だけ回転した点となり,}

(

cos₃ sin₃

)

( ) z- =  +i    -1 (-1 3 ){ ( 1) } 2 z= - +i + i s+ +t i 1 { 3 3 ( 3 1) } 2 i s t s t i = - + - - + + + 1_{( 3 3 )} 1_{( 3 1)} 2 s t 2 s t i = - - + + - ………(＊) (2) 与えられた条件 _{4( - )}2_{+( - )}2_{-2(   - )( - ) 0= より,}

(

)

2 4+ _{ } - - ⋅2  _{ }- =0 - - , 1 3i    -- =  ここで, AC は AB を正の向きに回転したものなので,   1 3i   -= + - となり, (1 3 )(i )  = + +  - = - +i (1+ 3 )( 2i -i)= +2 3 ( 2 2 3 )i+ - + すると, s = +2 3, t = - +2 2 3となるので, (＊)から, 1_{( 2 3 2 3 6 3 )} 1_{( 2 3 3 2 2 3 1)} 2 2 z= + + - - + + - + - i 2 3 2 3i = - + + (3) まず, xy 平面を対応させて, A ( 0, -1), B( 2, -2), C( 2+ 3, - +2 2 3 ), D( 2- + 3, 2 3 )とおくと, AC ( 2= + 3, - +1 2 3 )  , BD ( 4= - + 3, 2 2 3 )+ すると, ACとBDのなす角が となり, 2 2 AC = ( 2+ 3 ) + - +( 1 2 3 )  2 5 = 2 2 BD = ( 4- + 3 ) +( 2 2 3 )+  35 = AC BD⋅   ( 2 3 )( 4 3 ) ( 1 2 3 )( 2 2 3 ) = + - + + - + + =5 よって, cos 5 1 ₁₄7 2 5 35 2 7  = = = ⋅ である。

［解 説］

複素数平面に関する標準的な問題です。(3)は慣れ親しんでいる xy 平面を対応させ, ベクトルの内積を利用しています。 A( ) B( ) C( ) D( )z 1 -2 -2 s t x O y

－8－ ８ [東北大] (1) zz+z+z+ = ……(＊)に対して, 共役複素数をとると,  0 0 zz+z+z+ = ………(＊＊)  (＊)と(＊＊)の両辺の差をとると, ( - )z-( - )z+ - = ………①   0 (2)  は実数なので = となり, ①より,  ( - )z-( - )z=0, ( - )z=( - )z………② すると, ②から ( - )z=( - )zとなり, ( - )zは実数である。 そこで, k を実数として, ( - )z= ……③とおく。 k (i)  - = のとき 0 (＊)から, zz+z+z+ = となるので,  0 (z+)(z+)-  + =0, z+ 2=  2- ここで,  は負の実数なので  2- > となり,  0 z+ =  2- すると, 複素数平面上で, 点 z は点- を中心とする半径  2- の円周上の点 となり, 無数に存在する。これより, z がちょうど 2 個あることに反する。 (ii)  - ¹ のとき 0 ③から, z k k ₂( )     = = -- - となり, (＊)に代入すると, 2 2 2( ) 2( ) 0 k _ k _{  } k _{  }  - + ⋅  - - + ⋅  - - + = 2 2 _{( ) ( ) 0} k +k  - +k  - +  - = ここで,  =  ¹ から0 = なので, _k2_{+  -} 2_{= となり, 00 - > ,} 0  - > より, k=  -   -そして, この値をk=k1, k2(k1<k2)とおくと, z k1 , k2     = - - となる。 (i)(ii)より, z がちょうど 2 個あるための必要十分条件は - ¹ である。 0

［解 説］

複素数に関する標準的な問題です。(1)で導いた式が(2)へのスムーズな誘導になっ ています。

－9－ ９ [京都大] (1) w 1 x yi w + = + ……①に対し, w =R(R >1)のとき, を任意の実数として, ( cos sin ) w=R +i  ………②

①②より, x+yi=R( cos+isin ) +_R1{ cos(-)+isin(-) }となり,

x+yi

(

R 1

)

cos i R

(

1

)

sin R  R  = + +

-(

1 cos

)

x R R  = + ………③, y

(

R 1 sin

)

R  = - ………④ ③よりcos ₂ 1 R _x R = + , ④よりsin= _R2R_-1yなので,

(

)

2 ₂

(

)

2 ₂ 2R ₁ x 2R ₁ y 1 R + + R - = ………⑤ よって, 点 ( ,x y の軌跡は, ⑤で表される楕円である。 ) (2) argw=

(

0

)

2   < < のとき, r を正の実数として, ( cos sin ) w=r +i  ………⑥ (1)と同様にすると, ①⑥より, x+yi

(

r 1

)

cos i r

(

1

)

sin r  r  = + + - となり,

(

1 cos

)

x r r  = + ………⑦, y

(

r 1 sin

)

r  = - ………⑧ ⑦より 1 cosx r+ =_{r } , ⑧より 1 sin y r r  - = となり, 2 cos sin y x r   = + ………⑨, 2 cos sin y x r = -  ………⑩ すると, ⑨⑩より,

(

)(

)

4

cos sin cos sin

y y x x +  -  = , 2 2 2 2 1 4 cos 4sin y x -  = ………⑪ ここで, 0r > から, r 1 2 r 1 2 r r + ≧ ⋅ = , またr 1 r - は任意の値をとる。

すると, cos>0, sin> で, ⑦から0 x≧2cos, ⑧から y は任意の値をとる。

以上より, 点 ( ,x y の軌跡は, ⑪で表される双曲線である。ただし, 2cos) x≧  の部分である。

［解 説］

複素数と軌跡に関する標準的な問題です。なお, (2)では x に限界があり, 軌跡は双

－10－ 10 [東京大] (1) 条件より, z ¹ のとき0 w 1 z = から, z 1 w = (w ¹0 )………① さて, 点z が点 (¹0 )と原点O を結ぶ線分の垂直二等分線L 上を動くとき, z = z- ………② ①を②に代入すると, 1 1 w = w- , 1 1 w w w  -= となり, 1-w =1,  w 1 1  - - = , w _1 1  - = よって, 点 w の軌跡は, 中心 1  で半径 1 の円である。ただし, w ¹ より, 原0 点は除く。 (2) _{x = の解は,} 3 _{1 (x-1)(x}2_{+ +x 1) 0= より, 1,} 1 3 2 i x= -  である。 すると, 条件より, 1 3 2 i =- + , 2 1 3 2 i  =- - となる。 ここで, 点と点2を結ぶ直線は, (1)で= - として表1 すことができるので, 点 z が点と点2を結ぶ線分上を動く とき, 1 z = z+ ………③, z ≦ ………④1 ①③より, w + =1 1(w ¹0 )………⑤ ①④より, 1 1 w ≦ となり, 1w ≦ から, 1 w ≧ ………⑥1 ⑤⑥より, 点 w の軌跡は, 点 1- を中心とする半径 1 の円周上で, 原点を中心とする半径 1 の円の外部また は周上の部分となる。 図示すると, 右図の太線の弧である。ただし, 両端点 , _2_は含む。

［解 説］

複素数平面上の変換を題材とした基本的な問題です。直線や円の絶対値による表現 方法が問われています。 2   1 2 -3 2 -3 2 z x y O 1 - 1 2   1 2 -3 2 -3 2 x y O 1 - 1 2 -w

－11－ 11 [北海道大] (1) 原点 O, 点 A ( ) , 点 B( ) を頂点とする△OAB について, 0 ¹ , 0 ¹ , ¹ ………①  このとき, 点 P( )z は△OAB の外心なので, 辺 OA および辺 OB の垂直二等分線の交点となり, z = z- ………②, z = z- ………③ ここで, z=を②に代入すると,  =  - となり, ①から  ¹ より, 0 1   =  - ,  = - ………④ 1 同様に, z=を③に代入すると,  =  - となり, ①から  ¹ より, 0 1   = -  ,  = - ………⑤ 1 ④⑤より, 点 A ( ) , 点 B( ) は, ともに原点と点 1 を結ぶ線 分の垂直二等分線上にある。ただし, ①から¹ である。  以上より,  の満たすべき条件は  = -1 であり, 点 A ( ) の描く図形は右図の直線である。 (2) (1)より, 1 2 ai = + , 1 2 bi = + (a¹b)とおくことができ, z=

(

1

)(

1

)

2 ai 2 bi = + +

(

1

)

1 ( ) 4 ab 2 a b i = - + + ここで, z= +x yiとおくと, 1 4 x= -ab, 1 ( ) 2 y= a b+ となり, 2 a b+ = y………⑥, 1 4 ab= - ………⑦ x ⑥ ⑦ よ り, a, b (a¹b)は, t に つ い て の 2 次 方 程 式

(

)

2 ₂ 1 ₀ 4 t - yt+ -x = の異なる実数解となり, その条件は,

(

)

2 1 4 0 4 D =y - -x > , 2

(

1

)

4 y > - x -よって, 点 P( )z の存在範囲を図示すると, 右図の網点部 となる。ただし, 境界は領域に含まない。

［解 説］

複素数と図形に領域が絡んだ問題です。(1)は共役複素数を用いた形で,  + =1 を結論としてもよいでしょう。なお, O, A, B が一直線上にないということについては, (1)の結果から満たしていることがわかります。 O P( )z A( ) B( ) O 1 1 2 x y 1 2 -1 4 1 2 O _x y

－12－ 12 [東京工大] (1) _{f( )x =x}2_{+cx+1(c は実数)に対して, ( ) 0f x = の解がす} べてT 上にある条件は, 2 つの解がともに虚数で, しかも絶対 値が1 ということである。 そ こ で, 解をx= , と お く と, 解と係数の関係から 1 = (  2=1)となり,  = は満たされている。 1 よって, 求める条件は, 解が虚数すなわち_D=c2_{- < か4 0} ら- < < である。 2 c 2 (2) _{F x( )=x}4_+ax3_+bx2_{+ax+1(a, b は実数)に対して, ( ) 0F x = の解がすべて T} 上にあるとき, 4 つの解はすべて虚数で, しかも絶対値が 1 である。これより, 解を , , , x=   とおき, ( )F x の_{x の係数が 1 であることに注意すると,} 4 ( ) ( )( )( )( ) F x = x- x- x- x- _={x2_{-( + )x+}{x}2_{-( + )x+ }} ここで, =  2=1,  =  2= で, また1  + ,  + はともに実数なの で, それぞれ-c1, - とおくと, c2 F x( ) (= x2+c x1 +1)(x2+c x2 +1)と表せる。 (3) ( ) 0F x = の解がすべて T 上にあるための必要十分条件は, (1)(2)から, 2 2 1 2 ( ) ( 1)( 1) F x = x +c x+ x +c x+ ( 2- <c1<2, - <2 c2<2) すると, 4 3 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( 2) ( ) 1 F x =x + c +c x + c c + x + c +c x+ となり, 1 2 c +c = ………①, a c c1 2+ = ………② 2 b ①②より, c1, c は 2 次方程式2 t2-at+(b-2) 0= ……③の2 つの解となる。 ここで, ③の左辺を ( )g t とおき変形すると, ( )

(

)

2 2 2 2 4 a a t = x- - + -b g となり, ( ) 0t = g の解がともに- < < から, 求める条件は, 2 t 2 2 2 0 4 a _b - + - ≦ ……④, 2- <₂a< ……⑤, ( 2) 2 22 g - = + a b+ >0……⑥ ( 2) 2 2= - a b+ >0 g ……⑦ ④～⑦をまとめると, 2 2 4 a b≦ + , 4- < <a 4 2 2 b> - a- , 2b> a-2 点( ,a b の範囲を図示すると, 右図の網点部となる。) ただし, 実線の境界線のみ領域に含む。

［解 説］

複素数と方程式の標準的な問題です。丁寧な誘導のため, 結論に至る流れはスムー ズです。 O _x y 1 -1 -1 1 T 4 -2 -4 6 2 O _a b