−−
１ ［98 九州大］ 右図のように円周を等分する点$%&'()*
+,-./が与えられている。これらの中から相異なる 点を選んで線分で結ぶと三角形が得られる。たとえば $ ' , を選べば図のような三角形が得られる。このと き次の問いに答えよ。
正三角形を与えるような点の選び方の総数を求め よ。
二等辺三角形を与えるような点の選び方の総数を 求めよ。
直角三角形を与えるような点の選び方の総数を求めよ。
点を選んで得られる三角形のうち互いに合同でないものは全部でいくつあ るか。
−−
２ ［98 お茶の水女大・文］ 正方形$%&'の各辺$%%&&''$の各中点を
()*+とし対角線の交点を,とする。また$ %&'()*+,とそれぞれ書かれたカード枚 が袋に入っている。次の問いに答えよ。
袋から無作為にカードを枚取り出すとき対応 する点が三角形をなす確率を求めよ。
袋から無作為にカードを取り出し戻すという操
作を度繰り返すとき対応する点が三角形をなす確率を求めよ。
$ %
& '
(
) *
+ ,
−−
３ ［98 名古屋大・情報］ 枚のカードにからまでの数字が一つずつ記してある。このカードの中から任 意に 枚を抜き出しその数字を記録しもとのカードのなかに戻すという操作を Q 回繰り返す。
−−
４ ［98 一橋大］ $ %の二人があるゲームを独立にくり返し行う。回ごとのゲームで$ %の勝つ 確率はそれぞれ であるとする。（ただしこのゲームは $ と % が対戦するゲ ームである）
先に回勝った者を優勝とするとき$の優勝する確率Sを求めよ。
一方の勝った回数が他方の勝った回数より回多くなった時点で勝った回数の 多い者を優勝とするときQ回目までに$の優勝する確率TQを求めよ。
−−
５ ［98 東京医歯大］ 辺の長さがの正四面体$%&'の辺上をいくつかの粒子が次の規則に従って毎 秒の速さで運動している。
規則各粒子は辺の途中で向きを変えることはなくある頂点を出発した粒子 はちょうど秒後に別の頂点に達する。
規則各粒子は頂点に達するとその頂点を端点とする辺のいずれかにそ れぞれ確率で進む。
規則粒子どうしは辺の途中で正面衝突しても互いにすり抜けてそのまま進む が同一頂点に個以上の粒子が同時に達するとそれらは瞬時に合体し以 後は個の粒子として運動する。
今ちょうど 個の粒子が存在しそれぞれ頂点$ % &に同時に達したところで ある。Q+ 秒後にちょうどN個の粒子が存在する確率を3 QN とするとき以下 の問いに答えよ。ただしQは自然数とする。
3 3 3 を求めよ。
−−
−−
７ ［98 広島大・理］ $と%の人がジャンケンをする。$がグーチョキパーを出す確率をそれぞれ [\]とし%がグーチョキパーを出す確率をそれぞれSTUとする。回のジャ ンケンの結果$は次の表のような点を得る。
$の得点表
%がグー %がチョキ %がパー
$がグー −
$がチョキ −
$がパー −
このとき$の得点の期待値を(で表す。 S T U= = =
のとき(を最大にする[\]とそのときの最大値を求めよ。 「%が確率STUをどのようにとっても( =」となるには$は確率[\] をどのようにとればよいか。
−−
８ ［99 横浜国大・文］ [軸上を移動する点3がある。3は原点から出発しサイコロを回投げるごとに かの目が出たら正の方向に進み 以上の目が出たら正の方向に進む。サイ コロを回投げたとき次の確率を求めよ。
3が途中で[ =に立ち寄る確率 3が途中で[ =に立ち寄る確率
−−
９ ［99 大阪大・理］ 一辺の長さが の正方形の紙の表を図のように一辺の長さが のマス目 個に 区切る。その紙を枚用意し$と%の人に渡す。$と%はそれぞれ渡された紙の
個のマス目を無作為に選んで塗りつぶす。塗りつぶしたあと
両方の紙を表を上にしてどのように重ね合わせても塗りつぶさ
れたマス目がどれも重ならない確率を求めよ。ただし 枚の紙
を重ね合わせるときにはそれぞれの紙を回転させてもよいが
紙の四隅は合わせることとする。
−−
10 ［99 東京大・文］ 四面体 $%&' の各辺はそれぞれ確率で電流を通すものとする。このとき頂 点 $ から % に電流が流れる確率を求めよ。ただし各辺が電流を通すか通さない
かは独立で辺以外は電流を通さないものとする。
で考えたようなつの四面体$%&'と()*+を図 のように頂点$ と(でつないだとき頂点% から)に 電流が流れる確率を求めよ。
−−
11 ［99 一橋大］ 箱$箱%のそれぞれに赤玉が個白玉が 個合計個ずつ入っている。回 の試行で箱$の玉個と箱%の玉個を無作為に選び交換する。この試行をQ回繰 り返した後箱$に赤玉が個白玉が個入っている確率SQを求めよ。
−−
12 ［2000 北海道大・文］
からまでの番号をつずつ書いた枚のカードがある。この中から枚を抜き
取り番号を記録してもとに戻す。これを Q回繰り返したとき記録されたQ個の数
の積がの倍数である確率をDQの倍数である確率をEQとおく。 DQとEQを求めよ。
−−
13 ［2000 一橋大］
個のサイコロをQ回投げる。
Q≧のとき の目が少なくとも回出てかつの目も少なくとも回出る確
率を求めよ。
Q≧のとき の目が少なくとも回出てかつの目が少なくとも回出る確
−−
14 ［2000 広島大・理］
つのさいころをQ 回投げる試行において出た目がすべて奇数でかつ の目が
ちょうどN回≦ ≦N Q出る確率をSNとする。次の問いに答えよ。
Q=のとき Sを求めよ。
SN ≦ ≦N Qを Qと Nの式で表せ。また出た目がすべて奇数でかつ の目
が少なくとも回出る確率Tを求めよ。
Q=P+ P は自然数とする。≦ ≦N Q−のとき S SNN
+ ≦ となる N の範囲
−−
15 ［2000 東北大］
数直線上を原点 2 から出発して動く点 $ があるとする。 つのさいころを振り
その出た目がのとき点$を右に動かし出た目が のときは右に動かすも
のとする。また出た目がのとき左に動かし出た目がのときは左に動かす
−−
16 ［2000 名古屋大・理］
図のように平面上に点$ $ $ ""および% % % ""が並んでい
る。点3は$から出発し次の規則に従いこれらの点の上を移動する。
3が$Qにいるときには秒後に$Q+または%Qに一方%Qにいるときには
%Q+または$Qに移動する。ただし前にいた点には戻らない。また3が移
動しうる点が複数あるときにはそれぞれの点へ等確率で移動する。
3が$Qへ到る行き方がDQ通り %Qへ到る行き方がEQ通りあるとする。 D Eを求めよ。
DQ EQを求めよ。
一方点4は$から3と同時に出発し 秒ご
とに順次$ →$ →$ →""→$と移動し
その後は$にとどまる。3 と 4 が出会う確率を
求めよ。
$ $ $ $
% % %
%
−−
17 ［2000 東京大・文］
正四面体の各頂点を$ $ $ $とする。ある頂点にいる動点;は同じ頂点に
とどまることなく 秒ごとに他のつの頂点に同じ確率で移動する。;が$LにQ秒
後に存在する確率を3 QL Q= "で表す。
3 = 3 = 3 = 3 = と す る と き 3 Q と 3 Q Q= "を求めよ。
−−
18 [名古屋大・文]
サイレンを断続的に鳴らして秒の信号を作る。ただしサイレンは秒または
秒鳴り続けて 秒休みこれをくり返す。また信号はサイレンの音で始まりサイ
レンの音で終わるものとする。
秒または秒鳴り続ける回数をそれぞれP回Q回とするときPQの満たす
関係式を求めよ。
−−
19 [東京大・文]
コインを投げる試行の結果によって数直線上にある 点 $ % を次のように動か
す。
表が出た場合：点$の座標が点%の座標より大きいときは$と%を共に正の方
向に動かす。そうでないときは$のみ正の方向に動かす。
裏が出た場合：点%の座標が点$の座標より大きいときは$と%を共に正の方
向に動かす。そうでないときは%のみ正の方向に動かす。
最初点$ %は原点にあるものとし上記の試行をQ回繰り返して$と%を動か
していった結果$%の到達した点の座標をそれぞれDEとする。
Q 回コインを投げたときの表裏の出方の場合の数Q通りのうち D E
= となる場
合の数を;Qとおく。;Q+と;Qの間の関係式を求めよ。
−−
20 [一橋大]
からQまでの数字をつずつ書いたQ枚のカードがある。ただしQ≧とする。
このQ枚のカードから一度に枚選び大きい方の数字を;とする。;の期待値
( を求めよ。
この Q 枚のカードから 枚選びその数字を;とする。そのカードをもとに戻
し改めて 枚選びその数字を;とする。;と;の小さくない方の数字を <
−−
21 [東北大・理]
からまでの整数がつずつ記入された枚のカードの入った箱がある。こ
の箱から 枚のカードを無作為に抜き出してそれに書かれた数が奇数であればその
数を得点とし偶数の場合は奇数になるまで で割って得られる奇数を得点とする。
たとえば抜き出したカードの数がであればこれをで回割って得られるが
−−
22 [東京工大]
箱の中にから1までの番号がつずつ書かれた1枚のカードが入っている。こ
の箱から無作為にカードを 枚取り出して戻すという試行をN 回行う。このときは
じめから M 回目M= " Nまでに取り出したカードの番号の和を ;Mとし N
;
; " のうちのどれかがNとなる確率を31Nとする。 1≧のとき31 31 31を1で表せ。
3 3を求めよ。
−−
23 [九州大・文]
Q を正の整数とする。平面を Q 本の直線または 回折れ線で いくつかの領域に分けることを考える。ここで直線は両側に無限 にのびているものとし 回折れ線とは右図のように直線の途中 を回折り曲げたものである。次の問いに答えよ。
平面が次の条件LLLをみたす異なるQ本の直線のみで分割されているとする。 L Qが以上ならばどの本の直線も交わる。
LL Qが以上ならばどの本の直線も同一点では交わらない。
分割される平面の領域の数を/Qで表す。Q≧ のとき /Qと/Q−の間の関係式 を求めよ。また /Q Q≧を求めよ。
平面が次の条件LLLをみたす異なる Q 本の 回折れ線のみで分割されていると する。
L Qが以上ならばどの本の回折れ線も異なる点で 交わる。
LL Qが以上ならばどの本の回折れ線も同一点では交 わらない右図を参照せよ。
分割される平面の領域の数を+Qで表す。+を求めよ。 +QQ≧を求めよ。
（回折れ線）
同一点で交わる
−−
24 [神戸大・理] 数字 …1の書かれたカードが枚ずつ1枚入っている箱から元に戻さず に枚ずつN枚のカードを引く試行を考える。ここで ≦N≦1とする。引いたカー ドの順に書かれている数字を[ [ " [Nとする。次の問いに答えよ。
[＜[＜"＜[Nすなわち N 枚のカードを数字の小さい順に引く確率 S を求め よ。
Lは整数で ≦L≦N を満たすとする。[＜[＜"＜[L− [L−＞[Lである確率 すなわち N 枚のカードのうちL−枚目までは小さい順にカードを引きL枚目に初 めてL−枚目よりも数字の小さいカードを引く確率TLを求めよ。
−−
25 [東北大・理] 右の図のような格子状の道路がある。左下の $ 地点から出
発しサイコロを繰り返し振り次の規則にしたがって進むも のとする。の目が出たら右に区画 の目が出たら右に 区画 の目が出たら上に区画進みその他の場合はそのま ま動かない。ただし右端で または の目が出たときあ るいは上端での目が出たときは動かない。また右端の 区画手前での目が出たときは右端まで進んで止まる。
Q を 以上の自然数とする。$ 地点から出発しサイコロを Q 回振るときちょう ど回目に %地点以外の地点から進んで%地点に止まりQ回目までに&地点に到 達する確率を求めよ。ただしサイコロのどの目が出るのも同様に確からしいもの とする。
$
−−
26 [神戸大・文] 座標平面上に 点2 $ % をとる。自然数 N に対し点3Nの 座標をN とする。自然数 Q に対し Q 本の線分
$3 $3 … $3 Q %3 %3 … %3Qにより分け られる第 象限の部分の個数をDQとする。たとえば
=
Q のとき図のように第 象限が つの部分に分け られるのでD =である。次の問いに答えよ。
D Dの値を求めよ。
DQ+をDQとQを用いて表しその理由を述べよ。 DQをQを用いて表せ。
2 3 3 3
$ % \
−−
27 [千葉大・文] Q枚のカードの表に…Qの数をそれぞれつずつ書く。このQ枚のカードを 裏返しにしてよくまぜ重ねて上から順に …Q の数を書く。表と裏に書か れた数が一致するカードが枚もない確率をSQとする。
Sを求めよ。
−−
28 [北海道大] 点 3は数直線上を原点 2 を出発点として確率がそれぞれで正の向きに 進み または負の向きに進むとする。Q回移動したときの3の座標を;Qで表す。 ;=となる確率を求めよ。
; の期待値を求めよ。
−−
−−
30 [一橋大] が書かれたカードが枚が書かれたカードが枚…Qが書かれたカードが 枚の合計Q枚のカードがある。カードをよく混ぜ合わせた後 枚ずつ左から順に並 べ る 。こ のと きカ ード に 書か れて い る数 の列 を D D " DQと する。
+
N N D
D ≧ ≦N＜Qとなる最小のNを;とする。 ; =となる確率を求めよ。
; =Qとなる確率を求めよ。
−−
31 [東京大・文] さいころを振り出た目の数でを割った余りを;とする。ただしで割った余 りはである。
さらにさいころを振り出た目の数で;を割った余りを;とする。以下同様にし て ;Qが決まればさいころを振り出た目の数で;Qを割った余りを;Q+とする。
このようにして ;Q Q= "を定める。 ; =となる確率を求めよ。
各Qに対し ;Q =となる確率を求めよ。 各Qに対し ;Q =となる確率を求めよ。
−−
32 [金沢大・文] 座標平面上で動点3が[軸の正の方向へ進むことを文字Dで表し\軸の正の方 向へ進むことを文字Eで表し停留することを文字Fで表す。D E Fからなる文字 列が与えられたとき点 3 は原点を出発しその文字列に従って移動する。たとえば 長さの文字列DFDEに対しては点3は原点 から出発して
と移動し点 が到達点となる。
Qを自然数とする。長さQの文字列のなかで点3の到達点の[座標と\座標の 和がQとなる文字列は何個あるか。またその理由を説明せよ。
NQを自然数とし ≦N≦Qとする。長さQの文字列のなかで点3の到達点の [座標と\座標の和がNとなる文字列の個数を)QNとする。)QNをNとQを用 いて表せ。
−−
33 [東北大・文]
$ % & の 人でじゃんけんをする。一度じゃんけんで負けたものは以後のじゃ んけんから抜ける。残りが 人になるまでじゃんけんをくり返し最後に残った者を 勝者とする。ただしあいこの場合も回のじゃんけんを行ったと数える。
回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ。 回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ。 回目のじゃんけんで勝者が決まる確率を求めよ。
−−
34 [神戸大・理] 次のようなゲームを考える。右のように から までの数字が
書かれている表を用意する。
一方 枚のカードがありからまでの数字がつずつ書かれ ている。これらのカードをよくまぜ順に並べる。カードを並べた 順に見てカードに書いてある数字を表から消しかわりに＊印を
書き込む。この表で縦横あるいは斜めのいずれかに＊印が つ初めて並んだとき その時点で表にある＊印の個数を得点とする。
たとえば最初の枚のカードが順にであれば下のように変化する。
その結果＊印が初めて つ並んだ。このとき得点は である。次の問いに答え よ。
このゲームで起こり得る最小の得点を求めよ。また得点が最小となる確率を求 めよ。
このゲームで起こり得る最大の得点を求めよ。また得点が最大となる確率を求 めよ。
−−
35 [名古屋大・理] サイコロの出た目の数だけ数直線を正の方向に移動するゲームを考える。ただし をゴールとしてちょうど の位置へ移動したときにゲームを終了し をこえた分に ついてはその数だけ戻る。たとえば の位置でが出た場合 から戻ってへ移 動する。なおサイコロは からまでの目が等確率で出るものとする。原点から始 めてサイコロを Q 回投げ終えたときに へ移動してゲームを終了する確率をSQと おく。
Sを求めよ。 Sを求めよ。
−−
36 [広島大・理] 円周を 等分して図のようにからの目盛りをふる。初
めに点3を目盛りの位置に置く。硬貨を回投げるごとに 表が出れば点3を右回りに目盛り動かし裏が出れば点 3 を左回りに 目盛り動かすという操作をくり返し行う。硬 貨をQ回投げた後点3が目盛りLの位置にある確率をSQL と表す。
S S Sを求めよ。
硬貨を回投げて点3が初めて目盛りの位置で止まる確率を求めよ。
{
}
Q QQ S S
S + = + Q= "を示せ。 ]を] =を満たす複素数とする。すべての自然数Qに対して
¦
= LL Q L ]
S ] Q] Q
−
+
= が成り立つことを示せ。
−−
37 [東京大・理] 片面を白色にもう片面を黒色に塗った正方形の板が 枚ある。この枚の板を机 の上に横に並べ次の操作をくり返し行う。
さいころを振り出た目が であれば左端の板を裏返し であればまん中の 板を裏返しであれば右端の板を裏返す。
たとえば最初板の表の色の並び方が「白白白」であったとし 回目の操作で出 たさいころの目が であれば色の並び方は「黒白白」となる。さらに 回目の操作 を行って出たさいころの目がであれば色の並び方は「黒白黒」となる。
「白白白」から始めて 回の操作の結果色の並び方が「黒白白」となる確率を 求めよ。
「白白白」から始めてQ回の操作の結果色の並び方が「白白白」または「白黒 白」となる確率を求めよ。
−−
38 [九州大・理]
Q を 以上の自然数とする。スイッチを入れると等確率で赤色または青色に輝く電 球が横一列にQ個並んでいる。これらのQ個の電球のスイッチを同時に入れた後左 から電球の色を見ていき色の変化の回数を調べる。
赤青…青赤赤青…青……のように左端が赤色で色の変化がちょうど 回起き る確率を求めよ。
色の変化が少なくとも回起きる確率を求めよ。
色の変化がちょうどP回≦P≦Q−起きる確率を求めよ。 色の変化の回数の期待値を求めよ。
−−
39 [北海道大・文]
袋の中に赤青黄緑の 色の球が 個ずつ合計 個入っている。袋から球を
個取り出してその色を記録し袋に戻す試行をくり返し 回行う。こうして記録され た相異なる色の数を;とし;の値がNである確率を3N N= とする。 確率3と3を求めよ。
−−
40 [東北大・文]
からの番号のつけられた個の箱にそれぞれ枚ずつの皿が重ねて置かれて いる。白いサイコロと黒いサイコロそれぞれ 個を同時に振って出た目に応じて次 の規則で皿を移動させるものとする。 つのサイコロに同じ目が出たときは皿は移動 させない。 つのサイコロに異なる目が出たときは黒いサイコロの目の数と同じ番 号の箱から皿枚を白いサイコロの目の数と同じ番号の箱に移す。
サイコロを回振るとき皿が枚の箱と枚の箱がそれぞれ個ずつとなる確 率を求めよ。
−−
41 [一橋大]
$ と%の人があるゲームを繰り返し行う。回ごとのゲームで$が% に勝つ確 率はS %が$に勝つ確率は−Sであるとする。Q回目のゲームで初めて$と% の
双方が勝以上になる確率を[Qとする。 [QをSとQで表せ。
−−
42 [九州大・文]
つのさいころを 回投げて出た目の数を順に[ [ [ [とする。このとき
次の問いに答えよ。
[＜ となる確率を求めよ。[ [＜[＜[となる確率を求めよ。
[＜ かつ[ [≧ となる確率を求めよ。[
[N≧[N+となる最小の自然数 N の期待値を求めよ。ただし[＜[＜[＜[の
−−
43 [広島大・理]
枚のコインを同時に投げて三角形 $%& の つの 頂点にある駒を
枚とも表が出たとき左回りで隣りの頂点に移し 枚とも裏が出たとき右回りで隣りの頂点に移し
表と裏が出たとき動かさない
という試行を考える。初めに駒を頂点 $ に置く。この
試行を Q 回繰り返したとき 回目の試行後の駒の位置を; 回目の試行後の駒の
位置を;…Q回目の試行後の駒の位置を;Qとする。次の問いに答えよ。 この試行を回繰り返したとき ;が$である確率3を求めよ。
この試行を回繰り返したとき最後の;のみが$である確率4を求めよ。 この試行をQ回Q≧繰り返したとき最後の;Qのみが$である確率4Qを求
めよ。
この試行をQ回Q≧繰り返したとき ;Qが$である確率3Qを求めよ。
左回り 右回り
$
−−
44 [京都大・文]
−−
45 [京都大・理]
先頭車両から順に から Q までの番号のついた Q 両編成の列車がある。ただし
≧
Q とする。各車両を赤色青色黄色のいずれか色で塗るとき隣り合った車両 の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。
