引用題 ２次数学セレクション

−−

１ [大阪大]

曲線\₌[_VLQ[_{と直線\=[の共有点のうち[座標が正のものを[座標が小さい}

ものから順に$ $ $ "とし第 Q 番目の点を$Qとする。以下の問いに答え

よ。

点$Qの [ 座標を求めよ。また点$Qにおいて曲線\=[VLQ[と直線\=[は 接していることを示せ。

−−

２ [岡山大] 座 標 平 面 に お い て 原 点2 を 中 心 と す る 半 径 の 円 を&と し 点

VLQ FRV

3 θ θ と点4FRVθ VLQθにおける&の接線をそれぞれOOとする。 ただし π≦θ≦π である。OとOの交点を5α βとするとき次の問いに答え よ。

点5の座標α βをθ の式で表せ。

θ を

θ π

π _{≦ ≦ の範囲で動かして得られる点 5 の軌跡を}

& とする。このとき

−−

３ [神戸大] [\] 空間に 点3 4− 5− をとる。次の問いに答 えよ。

W を＜W＜を満たす実数とするとき平面]=Wと△345 の交わりに現れる線

分のつの端点の座標を求めよ。

−−

４ [筑波大]

座標空間において _{[ ≦ を満たす点] [ \ ]全体からなる立体を5 とする。}

点 を通り[軸と平行な直線をO とする。Oを中心軸とする半径の円柱を

&とし5と&の共通部分を7とする。

−＜K＜を満たす定数Kに対して点 +Kを通り ]軸に垂直な平面に

よる7の切り口の面積を求めよ。

7の体積を求めよ。

−−

５ ［神戸大］

¯ ® ­ = = W \ W [ VLQ

VLQ

₍

₎

_≦W≦π _{で表される曲線を & とおく。このとき次の問いに答え}

よ。

\を[の式で表せ。

[軸と&で囲まれる図形'の面積を求めよ。

−−

６ ［千葉大］

Hを自然対数の底とし _{[=[ +}ORJ _{[ +} H

I とする。

曲線\= I[の接線で互いに垂直であるものをすべて求めよ。

直線 O は曲線\= I[の接線で原点を通りかつ傾きが正とする。O の方程式は [

\= であることを示せ。

−−

７ ［東北大］

[\]空間において点 と点 を結ぶ線分をOとしOを]軸のまわ

りに回転してできる図形を $ とする。$ を[ 軸のまわりに回転してできる立体

−−

８ ［東京工大］

整数Q= "と正数DQに対して IQ[=DQ[−QQ+−[とおく。 つの曲線\= IQ[と\=H−[が接するようなDQを求めよ。

IQ[はで定めたものとする。\= I[ \=H−[と \ 軸で囲まれる図形の面 積を6Q≧ に対し\= IQ−[ \= IQ[と\=H−[で囲まれる図形の面積を6Q

とおく。このとき OLP Q

Q→∞ 6 +6 +"+6 を求めよ。

−−

９ ［東北大］ N＞として _I[₌[ ₊N[_{とおく。曲線\= I[と円&[+\ =の つの}

交点のうちで第 象限にあるものを 3とし第 象限にあるものを4 とする。点

2 $ %− に対してα =∠$23 β =∠%24とおくとき以下 の問いに答えよ。

Nをαで表せ。

曲線\= I[と円& で囲まれるつの図形のうちで \= I[の上側にあるも のの面積6Nをαとβで表せ。

OLP6N

−−

10 ［京都大］ 次の式で与えられる底面の半径が高さがの円柱&を考える。

{

}

& = +

−−

11 ［筑波大］ [\] 空間内の点3 と[\ 平面上の円_{& [+\− =に属する点}

VLQ FRV

4 θ + θ を考える。

直線 34 と平面] =Wの交点の座標をα β Wとするときα+βを W とθ で 表せ。

線分34を ]軸のまわりに 回転させてできる曲面と平面]= ]=によって 囲まれる立体の体積をθ で表せ。

−−

12 ［東京大］

正八面体のひとつの面を下にして水平な台の上に置く。この八面体を真上から

見た図（平面図）を描け。

正八面体の互いに平行な つの面をとりそれぞれの面の重心を* *とする。

* *を通る直線を軸としてこの正八面体を 回転させてできる立体の体積を求

−−

13 ［神戸大］

D を_≦D＜π_{の範囲にある実数とする。 つの直線[=}

π =

[ および つの曲

線\=FRV[−D \=−FRV[によって囲まれる図形を * とする。このとき以下の

問いに答えよ。

図形*の面積を6とする。6をDを用いた式で表せ。

Dが_≦D＜π_{の範囲を動くとき6を最大にするようなDの値とそのときの6}

の値を求めよ。

図形*を[軸のまわりに回転させてできる立体の体積を9とする。9をDを

−−

14 ［筑波大］

[\]空間内において\]平面上で放物線_{]=\と直線]=で囲まれる平面図形を'}

とする。点 を通り]軸に平行な直線をOとしOのまわりに'を回転させ

てできる立体を(とする。

' と平面] =Wとの交わりを'Wとする。ただし ≦W≦ とする。点 3 が'W上を

動くとき点3と点 Wとの距離の最大値最小値を求めよ。

平面]=Wによる(の切り口の面積6W≦W≦を求めよ。

−−

15 ［東京工大］

[\]空間の原点と点 を通る直線をOとする。

O上の点

(

)

程式を求めよ。

不等式≦\≦[−[の表す [\平面内の領域を ' とする。O を軸として ' を

回転させて得られる回転体の体積を求めよ。

−−

16 [筑波大] つの曲線

[ \

& =VLQ

(

)

(

)

(

)

について以下の問いに答えよ。

&と&の交点&と&の交点&と&の交点のそれぞれについて\座標を求 めよ。

−−

17 [京都大]

D を正の実数とする。座標平面において曲線\=VLQ[≦[≦πと [ 軸とで囲ま

れた図形の面積を 6 とし曲線\=VLQ[

(

)

(

)

び[軸で囲まれた図形の面積を7とする。このとき6 7 =となるようなDの値

−−

18 [東京大]

2 を原点とする座標平面上の曲線_{& \=[+ [+とその上の相異なる}

点3[ \ 3[ \を考える。

3L L= を通る [ 軸に平行な直線と直線\=[との交点をそれぞれ+ L

L= とする。このとき△23+と△23+の面積は等しいことを示せ。

[＜ とする。このとき[ & の[≦[≦[の範囲にある部分と線分3232

−−

19 [東北大]

＜W＜のとき連立不等式

[ \ VLQ

≦ ≦ ≦[≦W−\

の 表 す領域を [ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積を9Wとする。

_{W =}π

9

−−

20 [大阪大]

半径 の球7と半径 の球7が内接した状態で空間に固定されている。半径

の球6が次の条件$%を同時に満たしながら動く。

$ 6は7の内部にあるか7に内接している。

% 6は7の外部にあるか7に外接している。

6の中心が存在しうる範囲を'とするとき立体'の体積を求めよ。

−−

21 [京都府医大] D を正の実数とする。座標平面において曲線& \ D [ [≧と曲線

& \ [ [ [≧ を考える。曲線 &と曲線&および [ 軸で囲まれた部分の 面積を6 D とし曲線&と曲線&および直線[Dで囲まれた部分の面積を

6 D とする。

D

D [ G[

¨

I D 6 D 6 D とおく。関数 I D が極値をとるようなDの値を求めよ。

D

[ [ G[ D

¨

−−

−−

23 [熊本大] [\] 空間内の 点3 4 _{5 W W W を考える。W が} ≦ ≦ の範囲を動くときW 三角形 345 が通過してできる立体を . とする。以下の 問いに答えよ。

−−

24 [名古屋大]

V

＜ ＜ とする。[\]空間内の平面]の上に長方形

\

^

V

5 [ \ ≦ ≦[ V ≦ ≦\ V

がある。長方形5Vを[軸のまわりに回転してできる立体を.Vとする。

立体.Vの体積9 V が最大となるときの V の値およびそのときの9 V の値を 求めよ。

V をで求めた値とする。このときの立体.Vを\ 軸のまわりに 回転してでき る立体/の体積を求めよ。

−−

25 [千葉大] 以下の問いに答えよ。

関 数 I [ は 第 次 導 関 数 _Iaa [ _{が 連 続 で} あ る D E に 対 し て

D E

a a

I I を満たしているものとする。このとき

D E

E D

¨

I I I

が成り立つことを示せ。

直線道路上における車の走行を考える。ある信号で停止していた車が時刻 で

発進後距離 / だけ離れた次の信号に時刻 7 で到達し再び停止した。この間にこ

の車の加速度の絶対値が/

−−

26 [千葉大]

[\平面において長さの線分 $%を点$ が原点点% が点 に重なるよう

に置く。点$を\軸に沿って点 まで移動させ線分$%の長さをに保ったま

ま点% を[軸に沿って原点まで移動させる。このとき線分$%が通る領域を 'とす

る。≦[≦ となる実数 [ に対して点 [ \ が領域 ' に含まれるような \ の最大

値をI [ とする。

I [ を[の式で表せ。

−−

27 [東京医歯大]

D E を満たす正の実数 DE の組 D E の全体を 6 とする。6 に含まれる

D E に対し

また原点を2とする。このとき以下の各問いに答えよ。

三角形 234 を[ 軸のまわりに 回転してできる立体を)とする。 D E が6

の中を動くとき )の体積の最大値を求めよ。

三角形 345 を[軸のまわりに 回転してできる立体を)とする。

D E

のとき )の[\平面による切り口の周を[\平面上に図示せよ。

三角形 235 を [ 軸のまわりに 回転してできる立体を)とする。 D E が 6

−−

28 [大阪大] [\] 空間に 点2 $ % がある。平面]に含ま

れ中心が2半径がの円を:とする。点3が線分2$上を点4が円:の周お

よび内部を動くとき 25 23 24JJJGJJJG JJJG を満たす点 5 全体がつくる立体を9$とおく。

同 様 に 点 3 が 線 分 2% 上 を 点 4 が 円 : の 周 お よ び 内 部 を 動 く と き

25 23 24JJJGJJJG JJJG を満たす点 5 全体がつくる立体を9%とおく。さらに9$と9%の重な

り合う部分を9とする。このとき以下の問いに答えよ。

平面]FRVθ

≦ ≦ による立体9の切り口の面積をθ を用いて表せ。

−−

29 [東京工大] [\] 空間に 点3 $ % & をと

る。四面体3$%&の_{[\≧ を満たす部分の体積を求めよ。}

−30−

30 [長崎大]

半径 1の円と長さ 2の線分がある。こ の線分を一方の端点を, 円の中心に合わ せて円上に固定した図形を考える。線分 の端点で, 円の中心とは異なるものを P とする。この図形を図 1 のように xy 平

面上におく。すなわち, 中心が点( 0, 1) , P が点( 0, 1)と一致するようにおく。

次に, x軸上で正の方向に, すべらないように円を半回転させる。図2は円がθだけ回

転したときの状態を表している。0≦ ≦ の範囲でθ π , 点 P が描く曲線 C について考

察する。次の問いに答えよ。

(1) 図2における点Pのx座標とy座標を, それぞれθ を用いて表せ。

(2) 曲線C上にあって, x座標が最小となる点, 最大となる点, y座標が最小となる点, 最大となる点について, それぞれの座標を求めよ。

(3) 曲線Cと2直線y 1およびxπ によって囲まれた図形の面積Sを求めよ。

1 P

1

O x

y

図1

1

O _x

y

図2

θ θ

−31−

31 [東北大]

半径1の円を底面とする高さ 1

2の直円柱がある。底面の円の中心をOとし, 直径 を1つ取り ABとおく。ABを含み底面と45nの角度をなす平面でこの直円柱を2つ の部分に分けるとき, 体積の小さい方の部分をVとする。

(1) 直径 ABと直交し, Oとの距離が t ( 0≦ ≦ であるような平面でt 1) V を切ったと

−32−

32 [大阪大] xyz 空間内の 3 点O( 0, 0, 0 ) , A (1, 0, 0 ) , B(1, 1, 0 )を頂点とする三角形 OAB

−33−

33 [東京大]

座標空間において, xy平面内で不等式 x ≦1, y ≦1により定まる正方形Sの4つ の頂点をA ( 1, 1, 0 ) , B(1, 1, 0 ) , C(1, 1, 0 ), D( 1, 1, 0 )とする。正方形

Sを, 直線BDを軸として回転させてできる立体をV1, 直線ACを軸として回転させ

てできる立体をV2とする。

(1) 0≦ ＜ を満たす実数t 1 tに対し, 平面xtによるV1の切り口の面積を求めよ。

－34－

34 [金沢大]

関数 1

x x

y

e e

-=

+ グラフC い , 次 問い 答え 。

(1) C 変曲点 う , x座標 最大 点P x座標を求 。

(2) (1) 求 P x座標を b す , tan

b

e

 = を満 す

(

)

2

 

< < 対

し, tan 2お び 値を求 。

－35－

35 [長崎大]

区間0 x  おい , 関数f( )x 関数g( )x を

1

( ) cos

2 x = x

f , ( ) cos

2 x x = +c

g

定義す 。c 定数 あ 。次 問い 答え 。

(1) 区間0 x  おい , 2 曲線y= f( )x y=g( )x x=0以外 点 接す

う c 値を定 , 接点( ,p q)を求 。ま , , 区間0 x  おけ 関数f( )x 関数g( )x 大小関係を調べ 。

(2) 定数 c 接点( ,p q) (1) 求 す 。 , 区間0 x p おい

, y 軸お び 2 曲線y= f( )x , ( )y=g x ま 形を D す 。D

－36－

36 [東京工大]

点P( ,t s)

2

2 2

s= t - tを満 し xy平面 を動く , 点Pを原点を中

心 し 45回転し 点 Q 軌跡 し 得 曲線を C す 。さ , 曲線 C

x軸 ま 形をD す 。

(1) 点Q( ,x y) 座標を, tを用い 表せ。

(2) 直線y=a 曲線C 1 共有点を う 定数a 値を求 。

－37－

37 [名古屋大]

空間内 あ 半径１ 球 内部を含 を B す 。直線 l B 交わ お ,

交わ 長さ 3 線分 あ 。

(1) B 中心 l 距離を求 。

－38－

38 [大阪大]

半径1 2 球S1 S2 1点 接し い 。互い 重 部分 い等しい半

径を n個(n 3 ) 球T₁, T₂, …, T_n あ , 次 条件(ア)(イ)を満 す。

(ア) T_i S₁, S₂ １点 接し い (i=1, 2, , n)。

(イ) T_i T_i+₁ 1 点 接し お (i=1, 2, , n-1), し T_n T₁ 1 点

接し い 。

こ , 以 問い 答え 。

(1) T1, T2, …, Tn 共通 半径rnを求 。

(2) S1 S2 中 心 を 結 ぶ 直 線 ま わ T1を 回 転 し 回 転 体 体 積 をVn

し, T1, T2, …, Tn 体積 和をWn す , 極限 lim

n

n n

W V