引用題 ２次数学セレクション

−−

１ [九州大] 次の問いに答えよ。ただし OLPORJ =

∞ → [

[

[ であることまたH は自然対数の底で

＜

H であることを用いてよい。

自然数 Qに対して方程式ORJ_[[ =_Qは [＞ の範囲にちょうど つの実数解を もつことを示せ。

の つの実数解をαQ βQ αQ＜βQとするとき Q HQ

＜α ＜ QH＜ が成りβQ 立つことを示せ。また Q

−−

２ [岡山大] 次の問いに答えよ。

関数I[= ORJ_[[+の導関数I′[を求めよ。ただし対数は自然対数とする。 実数DEはE＞D＞を満たすとする。このとき次の不等式を証明せよ。

D E _E D

−−

３ [筑波大] D≧E＞[≧としQは自然数とする。次の不等式を示せ。

_≦H[ _−+[≦[H[ _DQ _−EQ _≦QD−EDQ− H[

(

)

+ ≦

−

−−

４ ［東北大］

自然数 Q に対し方程式 −ORJ − = H [

[Q を考える。ただし対数は自然対数であ

りHはその底とする。

上の方程式は[≧にただつの解をもつことを示せ。

の解を[Qとする。このとき OLP = ∞ → Q

−−

５ ［京都大］

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数 I[が I= I′=を

満たしさらに任意の実数DEに対して+ IDIE≠であって

D E D _D E_E

I I I I

I + = ₊ + を満たしている。

−−

６ ［九州大］

+ = _[ [ HH [

I とおく。ただしH は自然対数の底とする。このとき次の問いに答

えよ。

\= I[の増減凹凸漸近線を調べグラフをかけ。

I[の逆関数 _I−_{[を求めよ。}

OLP

{

(

)

(

)}

+ − + − − ∞

→ Q Q Q

−−

７ ［名古屋大］

曲線& \=ORJ[上の点3D ORJD点4E ORJE＜D＜Eをとる。点 3 4

から[軸に下ろした本の垂線と[軸および曲線&で囲まれた部分の面積を 6とす

る。点3 4から\軸に下ろした本の垂線と\軸および曲線&で囲まれた部分の面

積を7とする。このとき 6=7となるようにEがとれるDの値の範囲を求めよ。

−−

８ ［北海道大］

＜D＜＜θ＜π とする。点2 $D 3FRVθ VLQθ4[ \ が条件24=$4=34を満たすとする。このとき以下の問いに答えよ。

点4の座標をDとθ で表せ。

−−

９ ［名古屋大］

関数I[とJθを

³

− = [ W GW [

I −≦[≦ VLQ FRV

θ I θ I θ

J = − ≦θ≦π で定める。

導関数J′θを求めよ。 Jθを求めよ。

−−

10 ［九州大］

曲線_\=H[_{上を動く点3の時刻Wにおける座標を[W \Wと表し 3の速度ベ} クトルと加速度ベクトルをそれぞれY=

(

)

(

)

GW \ G GW[ G =

α とする。すべ

ての時刻Wで Y =かつ ＞ GW

G[ _{であるとして次の問いに答えよ。}

−−

11 ［神戸大］

DEは実数でD＞E＞とする。区間≦[≦で定義される関数I[を次のように 定める。

(

)

[ ORJ ORJ ORJ

= + − − − −

I

ただしORJは自然対数を表す。このとき以下のことを示せ。 ＜[＜に対して I′′[＜が成り立つ。

−−

12 ［東京大］

実数[が−＜[＜ [≠を満たすとき次の不等式を示せ。

[ [ _[ [

− − ＜ +

次の不等式を示せ。

＜ ＜

−−

13 [東北大]

[ [ [

[

_{= + −}

I とする。\＜[＜Dを満たすすべての[\に対して

\

D D [ \ D \ [ [ − − + − I I I ＞

−−

14 [岡山大]

[ [ H

I とする。曲線\ _I [ 上の点$ D I D における接線を O原点 2 を通りOに垂直な直線をOaとし

線分23の長さを求めよ。

O と \ 軸との交点を 4 とし 324· をθ ≦ ≦ とする。θ π VLQθ を D を用いて

表せ。

−−

15 [九州大]

Dを正の定数とする。以下の問いに答えよ。

関数 _{I [ [[ D H} [_{の極大値および極小値を求めよ。}

[≧ のとき不等式_{[ H} [_{≦Hが成り立つことを示せ。さらに極限値}

OLP [

[ [ H

ld を求めよ。

−−

16 [神戸大]

以下の問いに答えよ。

[≧において [＞ORJ[が成り立つことを示せ。ただしHを自然対数の底とす るとき

−−

17 [九州大]

実数Dと自然数Qに対して

D [ [ Q Q [

を考える。以下の問いに答えよ。

この方程式が実数解をもつようなDの範囲を

この方程式がすべての自然数 Q に対して実数解をもつような D の範囲を求め

−−

18 [東北大]

長さの線分$%を直径とする円周&上に点3をとる。ただし点3は点$ %と

は一致していないとする。線分 $% 上の点 4 を_·%34π_{となるようにとり線分}

%3の長さを[とし線分34の長さを\とする。以下の問いに答えよ。

\を[を用いて表せ。

点3が点$%を除いた円周&上を動くとき

−19−

19 [岡山大]

xy平面において, 点(1, 2 )を通る傾きtの直線をlとする。また, lに垂直で原点を

通る直線とlとの交点をPとする。このとき, 以下の問いに答えよ。 (1) 点Pの座標をtを用いて表せ。

(2) 点 Pの軌跡が 2次曲線2x2ay0と 3 点のみを共有するような a の値を求め

−20−

20 [東京工大]

−21−

21 [東京大]

aを実数とし, x＞0で定義された関数f( )x , ( )g x を次のように定める。

cos

( )x x

x

f , ( )g x sinxax

－22－

22 [千葉大]

関数 ( )

x x =x

f (x>0 ) 正 実数a つい , 以 問い 答え 。

(1) 1 3

4 x 4 おけ f( ) (1x f -x) 最大値お び最小値を求 。

(2) 1 3

4 x 4 おけ

( ) (1 ) ( )

( ) ( (1 ) )

x x a

ax a x

-f f f

－23－

23 [大阪大]

0

t> おい 定義さ 関数f( )t 次 条件(ア)(イ)を満 す。

(ア) t>0 , すべ 実数 x 対し 不等式 ( ) 1

2

x x

e e

t⋅ + - + f t +x

成 立つ。

(イ) t>0 対し , 等式 ( ) 1

2

x x

e e

t t x

-+

⋅ + f = + を満 す実数 x 存在す 。

－24－

24 [熊本大]

以 問い 答え 。

(1) 正 実数 a, b, c つい , 不等式

log log log

log 4

a b c

a + b + c < 成立す こ

を示せ。 し, log 自然対数 し, 必要 e>2.7お びlog 2>0.6を用い

い。

(2) 自然数a, b, c, d 組 ,

bc ca ab abc

a b c =d , a b c, 3d を満 す をすべ

－25－

25 [九州大]

2 以 自然数 n 対し , 関数fn( )x を, ( )fn x =(x-1)( 2x-1)(nx-1) 定

義す 。k=1, 2, , n-1 対し , fn( )x 区間 1 1

1 x

k+ < <k 1 つ 極値

－26－

26 [東京工大]

1

a> し, 次 不等式を考え 。

(＊) 1

t t

a

e _e

t

-(1) 2a= _, すべ t>0 対し 不等式(＊) 成 立つこ を示せ。