−−
１ ［98 一橋大］ 正の整数Qをで割った余りをU Q とおく。
正の整数の組 D Eは条件
＜D U D− ＜U E ＜E U E− ＜ U DE をみたすとする。
−−
２ ［98 奈良女大］ 実数[に対してその整数部分を
[ ]
[ で表す。すなわち[ ][ は不等式[ ]
[ ≦ ＜[[ ]
[ +をみたす整数である。実数[に対して等式
[ ]
[ +[
[+] [
+ [+]
=[
[]
を示せ。
正の整数Q実数[に対して等式
−−
３ ［98 北海道大・理］ 次の条件で定まる数列
{
DQ}
の一般項を求めよ。D
Q D D Q Q
−−
４ ［98 九州大・理］ 次の条件で定められる数列
{
DQ}
について以下の問いに答えよ。D = D = D DQ+ Q +D DQ+ Q+ −D DQ+ Q = 第Q項DQを求めよ。
−−
５ ［98 京都大・理］ I [ =[ +とおく。
Qは以上の自然数である自然数Dに対してI D はQの倍数になっている とする。このときI D とID+Q−のうち少なくとも一方はQ+の倍数である ことを示せ。
−−
６ ［98 大阪市大・理］ 関数I [ は S T+ =をみたすすべての正の数STとすべての実数[\に対し て IS[ T\+ ≦S [I +T \I をみたしているとする。このとき 以上の自然数 Q について S+ S +"+ SQ =をみたすすべての正の数S S" SQとすべ ての実数[ [" [Qに対して
IS [ +S [ +"+S [Q Q≦SI [ +SI[+"+ SQI[Q が成り立つことを証明せよ。
−−
７ ［99 大阪大・文］
正の整数の組 D EでD以上E以下の整数の総和がとなるものをすべて求め
−−
８ ［99 静岡大・文］
Q は与えられた自然数とする。整数 D に対して和 D N
N Q
− =
¦
を6 D とするとき次の問いに答えよ。
6 D を求めよ。
−−
９ ［99 熊本大・文］
Qを自然数とするとき次の問いに答えよ。
[ + \ ≦Qとなるつの整数の組 [ \の個数を求めよ。
[ + \ + ] ≦Qとなる つの整数の組 [ \ ]の個数を求めよ。ただし
N Q Q Q N
Q
= + +
=
−−
10 ［99 名古屋大・理］
Q を 以上の自然数とする。条件N≧ "" NQ−≧ NQ≧を満たす Q 個の整 数の組 N N " NQに対して自然数P N N " NQを次のように定める。
P N N NQ N N NQ N NQ N NQ NQ " = + +"+ − +"+ − +"+ −"−
=P N N N N となる N N N Nを求めよ。
P N N=P O Oであれば N =O N =Oが成り立つことを示せ。 Q≧のときP N N " NQ=P O O " OQであれば NM =OM
−−
11 ［99 電通大］
以下の問いに答えよ。
[ \+ =を満たす実数 [\ に対して不等式[ \
+ ≧ が成立することを示せ。
また等号が成立するのはどのような場合か。
[ \ ]+ + =を満たす実数 [\] に対して不等式[ \ ]
+ + ≧ が成立する
ことを示せ。また等号が成立するのはどのような場合か。 有限数列D D D D D D D Dは条件
DQ≧ Q= "
D +D +D +D =D +D +D +D = D D +D D +D D +D D =
を満たすとする。このとき以下の問いに答えよ。
D D D D D D D D Dのなかで値が となる項は少なくとも何 項あるか。
E 次の式で定義される ) の最小値を上の問い およびDの結果を利用して
求めよ。
−−
12 ［99 一橋大］
STは素数でS＜Tとする。
S T U+ = を満たす整数Uは存在しないことを示せ。
−−
13 ［99 岡山大・理］
QN を自然数とする。等式[+[ +"+[N =Q N+ −……①を満たす自然数[ [ " [Nの組の個数をD Q Nとするとき次の問いに答えよ。ただし例えば
[ [ = と [ [ = とは別の組と考える。
式①における[Nのとりうる値の範囲を求めよ。
関係式D Q N D M N M Q + = =
¦
が成り立つことを示せ。
D Q D Q D Q D Q を求め D Q Nを推定せよ。
−−
14 ［99 京都大・文］
以上の整数 [ に対して & [ で [ の下 桁を表すことにする。たとえば
&= & =である。Qをでもでも割り切れない正の整数とする。 [\ が 以上の整数のとき& Q[ =& Q\ ならば& [ =& \ であること
を示せ。
& Q[ =となる以上の整数[が存在することを示せ。
−−
15 ［2000 大阪市大・理］
次の問いに答えよ。
自然数DEFGにED = DF +Gの関係があるときDとFが互いに素であればDと Eも互いに素であることを証明せよ。
−−
16 ［2000 大阪大・理］
どのような負でないつの整数PとQを用いても [ =P+Qとは表すことがで
−−
17 ［2000 京都大・文］
三角形$%&において辺%&&$$%の長さをそれぞれDEFとする。この三角形
$%&は次の条件イロハを満たすとする。
イ ともに 以上である自然数 S と T が存在して D S T= + E ST S= + F ST= +となる。
ロ 自然数Qが存在してDEFのいずれかはQである。 ハ ∠$ ∠% ∠&のいずれかは°である。
このとき次の問いに答えよ。
−−
18 ［2000 東北大・理］
数列
{ }
αQ を初項公比 の等比数列数列
{ }
βQ を初項公比−の等比数列とする。
Q= のときαQの小数部分を求めよ。 DQ =αQ +βQの小数部分EQを求めよ。
−−
19 ［2000 名古屋大・文］
自然数 Q に対して不等式 ≦D≦E≦F≦Q を満たす整数の組 D E F の個数を
3 Q とする。 3 を求めよ。
−−
20 ［2000 金沢大・理］
次の問いに答えよ。
整数Q≧に対してQ N N
Q & &
= −
=
¦
が成り立つことを示せ。整数N≧に対して [ \ ] N+ + = を満たす自然数[\]の組 [ \ ]の個数
はN−N−であることを示せ。
整数P≧に対して [ \ ] P+ + ≦ を満たす負でない整数[\]の組 [ \ ]
−−
21 ［2000 北海道大・理］
Qを自然数とし正Q角形3"3Q− を考える。 辺3 3 と辺3 3N N+≦ ≦N Q−を延長した直線の
交点を4Nとする。このとき ∠3 4 3 N N+の大きさを求
めよ。
辺3 3 3 3N N+ 3 3O O+N O＜ を延長したとき 正 Q 角形3"3Q− を含む鋭角三角形ができるような N
とOの組は何通りあるか。
3 3
3
3N 3N
3O
3Q 3Q
3O
−−
22 ［2000 京都大・文］
実数[ " [Q Q≧が条件[N−−[N +[N+＞≦ ≦N Q−を満たすとし [ " [Qの最小値を P とする。このとき [O =Pとなる O≦ ≦O Qの個数は
−−
23 [京都大・文]
−−
24 [岡山大]
Q を自然数とする。I[は 次関数で曲線\=I[は座標平面上の 点
− Q Qを通るとする。 次関数I[を求めよ。
この関数I[について 6=I+I+I+""+IQの値を Q を用い て表せ。
−−
25 [神戸大・理]
次の問いに答えよ。
DEFを整数とする。[に関する次方程式[ +D[+E[+F=が有理数の解を もつならばその解は整数であることを示せ。ただし正の有理数は 以外の公約 数をもたないつの自然数PQを用いてPQ で表せることを用いよ。
−−
26 [大阪大・理]
半径 の円周上に Q 個の点3 3 " 3Q−が反時計回りに等間隔に並んで いるとする。ただしQは自然数である。
線分33Nの長さが 以上となるNの範囲を求めよ。
−−
27 [大阪市大・文]
数列
{
DQ}
はD = DQ+−DQ =DQ+ +DQ DQ+＞DQ Q= ""を満 たしている。Dを求めよ。
EQ =DQ+−DQQ= ""とするとき数列
{ }
EQ は公差が の等差数列 であることを示せ。−−
28 [九州大・文]
数列
{
DQ}
をD = DQ+ =DQ −DQ +Q= "で与える。D " DQ の積を3Qとおく。各QについてDQ＞であることを示せ。 各QについてDQ+ =3Q +であることを示せ。
Q
Q D D
6
+ +
−−
29 [京都大・理]
−−
30 [大阪大・理]
数列
{
DQ}
において各項DQがDQ≧をみたしかつ=
¦
∞ = Q QD が成り立つとする。
さらに各Qに対し
Q
Q D D D
E = − − "" − FQ =−D+D +""+DQ とおく。
すべてのQに対し不等式EQ≧ が成り立つことをFQ 数学的帰納法で示せ。 あるQについてEQ+ =FQ+が成り立てばEQ =FQとなることを示せ。
−−
31 [京都大・文]
Q を 以上の整数とする。実数D D " DQに対し6=D+D +"+DQとお く。N= " Qについて不等式−＜6−DN＜が成り立っているとする。
Q D D
−−
32 [京都大・文]
−−
33 [名古屋大・理]
関係式[D = \E =]F =[\]を満たすとは異なるつの正の実数の組[ \ ]が 少なくとも 組存在するような正の整数の組D E Fをすべて求めよ。ただし
F E
−−
34 [千葉大・理]
次の問いに答えよ。
ORJは無理数であることを証明せよ。
−−
35 [九州大・文]
正の整数Dに対しDの正の約数全体の和をIDで表す。ただし およびD自身 も約数とする。たとえば I=であり D=ならばの正の約数は なので I=となる。次の問いに答えよ。
D が正の奇数 E と正の整数 P を用いてD=PEと表されるとする。このとき
D P I E
I = + − が成り立つことを示せ。
必要ならば
− − = + + + + U U U
U " P P U≠を用いてよい。
D が 以上の整数 S と正の整数 T を用いてD= STと表されるとする。このとき T
S D ≧ +
I が成り立つことを示せ。また等号が成り立つのは T=かつ S が素数であるときに限ることを示せ。
D=UE=V（UVは正の奇数）の形をした偶数DEを考える。ID=E D
E =
−−
36 [広島大・理]
条件D =− DQ DQ Q
+ = + Q= "で定義される数列
{
DQ}
がある。 EQ =QDQとおくとき数列{ }
EQ の漸化式を求めよ。一般項DQを求めよ。
−−
37 [東京大]
Qは正の整数とする。[Q+を[−[−で割った余りを
Q Q[ E
D + とおく。
数列DQ EQQ= "は DQ+ =DQ +EQEQ+ =DQを満たすことを示せ。 Q= "に対して DQ EQはともに正の整数で互いに素であることを証
−−
38 [名古屋大・文]
次のように円&Qを定める。ます &は
(
)
を中心とする半径の円 &は(
)
を中心とする半径の円とする。次に&&に外接し [ 軸に接する円を& とする。さらに Q= "に対し順に&&Q−に外接し[軸に接する円で− Q
& でないものを&Qとする。&Q Q≧の中心の座標をDQ EQとするとき次の 問いに答えよ。ただし つの円が外接するとは中心間の距離がそれぞれ円の半径の 和に等しいことをいう。
Q≧に対し Q Q D
−−
39 [九州大・文]
次の問いに答えよ。
Qを正の整数とする。どんな角度θに対しても θ θ
θ
θ FRV FRV FRV
FRVQ = Q− − Q−
が成り立つことを示せ。またあるQ次式SQ[を用いてFRVQθは
FRV
FRVQθ = SQ θ と表されることを示せ。
−−
40 [岡山大・理]
F[ E[ D[
[= + +
I は [ = − − で 整 数 値 I=U I−=V W
= −
I をとるとする。
D E FをU V Wの式で表せ。
−−
41 [名古屋大・文]
Qを自然数とするときP≦QでPとQの最大公約数がとなる自然数Pの個数を
Q
I とする。
Iを求めよ。
−−
42 [広島大・文]
次の問いに答えよ。
DEFGを正の整数とする。D+E =F+G ならば D=FE=Gであ
ることを示せ。ただし が無理数であることを用いてよい。
次のつの数UVはそれぞれDEを正の整数としてD+E と表すことが
できるか。表すことができればDEの値を求めよ。表すことができなければその 理由を示せ。
+ =
−−
43 [一橋大]
−−
44 [京都大・文]
Sは以上の素数であり[\は≦[≦S ≦\≦Sを満たす整数であるとする。こ のとき[を S で割った余りと \を S で割った余りが等しければ[ = \である
−−
45 [京都大・文]
をDDDD"のように小数で表す。すなわち小数第 N位の数をDNとする。
このとき
¦
= Q
N N N D
−−
46 [岡山大・文]
U V W は で な い 定 数 と す る 。 数 列
{
DQ}
は 条 件 UDQ+ +VDQ +W=Q= " を満たしているとしEQ =DQ+ −DQQ= "とおく。 数列
{ }
EQ は等比数列であることを示せ。D = D = D＜D D =+ であるとき一般項DQを求めよ。
の条件の下で
¦
= +
= Q
N N N
Q E E
6
ORJ ORJ
−−
47 [金沢大・理]
数列
{
DQ}
がD =DQ+ =DQ +Q+Q−⋅Q+Q= "により定められているとする。 QQ
Q D E
= とおくときEQとEQ+の満たす関係式を導き
{
DQ}
の一般項を求めよ。DQ＞DQ+となるようなQの値の範囲およびDQが最小となるようなQの値を求め
よ。
−−
48 [東京大・文]
次方程式[ −[+=の つの実数解のうち大きいものをα小さいものをβ
とする。
" =
Q に対し Q Q
Q
V =α +β とおく。
V V Vを求めよ。またQ≧に対し VQをVQ−とVQ−で表せ。 VQは正の整数であることを示しVのの位の数を求めよ。 α以下の最大の整数のの位の数を求めよ。
−−
49 [岡山大・文]
数列
{
DQ}
をDQ =Q +で定め数列{ }
EQ をEQ =Q +で定める。これら つの数列の項を小さい順に並べてできる新しい数列を
{ }
FQ とする。たとえば初めの 項は F = F = F =となっている。このうち
{
DQ}
から来る項はF =DD
F =
{ }
EQ から来る項はF =Eである。このとき次の問いに答えよ。F F Fを求めよ。
Q=N N− N−（Nは自然数）の場合に分けて考えることにより DQは
の倍数ではなくしたがってDQは
{ }
EQ のどの項とも一致しないことを示せ。
{ }
FQ において{ }
EQ から来る項は連続して個以上並ばないことを背理法を用−−
50 [岡山大・理]
数列
{
DQ}
は次のように定められている。=
D DQ+DQ += Q= "
このとき次の問いに答えよ。
DQ+ +DQ+−をDQを用いて表せ。
数列
{ }
EQ をEQ =DQ +DQ −で定める。このときEQ−は正EQは負であることを示せ。
−−
51 [千葉大・理]
Qを自然数とする。Q次多項式3Q[は Q+個の整数N= " Qに対し
て 3QN=N −を満たす。
3[−3[および3[−3[を因数分解せよ。
−−
52 [大阪大・理]
素数STに対して Q Q
Q S T
D = −− Q= "によって整数DQを定める。
ただし S＞ とする。T
DとDがより大きい公約数PをもつならばP=であることを示せ。
DQがすべての倍数であるような STのうちで積ST が最小となるものを求め
−−
53 [京都大・文]
QDEを以上の整数とする。DEを未知数とする方程式
＊ D +E =Q
を考える。
Q≧とする。DEが方程式＊を満たすならばDEはともに偶数であることを
証明せよ。（ただしは偶数に含める。）
以上の整数 Qに対して方程式＊を満たす以上の整数の組D Eをすべて
求めよ。
−−
54 [大阪大・文]
次の問いに答えよ。
不等式[ ≦−[を満たす実数[の範囲を求めよ。
−−
55 [一橋大]
N は整数であり 次方程式[−[+N=は つの異なる整数解をもつ。N とこ
−−
56 [京都大・理]
−E =
−−
57 [東京大]
−−
58 [千葉大・文]
数列
{
DQ}
において D = D =である。Q Q Q DD
E = + Q= "とおくとき
{ }
EQ は正の公比をもつ等比数列とする。+ + + − Q Q Q Q Q D D D D
D を
Q
E EQ+を用いて表せ。
¦
= + + + −Q Q Q
Q Q Q D D D D D −
= が成り立つとき
−−
59 [大阪大・理]
正の整数Qに対して
¦
= − − = Q S S S Q 6¦
= + = QT Q T Q 7
とおく。等式6Q=7Q Q= ""が成り立つことを数学的帰納法を
