−−
１ ［98 千葉大・理］ 平面上の三角形2$%は2$ =D 2%=Eとおくとき D = E =
D E⋅ =
をみたすとする。辺$%を に内分する点を3とし直線23に関して $と対称な点を424の延長と$%の交点を5とおく。
−−
２ ［98 一橋大］ △$%&の辺%&&$$%をW −Wの比に内分する点をそれぞれ$ % & とお き△$ % & の 辺% & & $ $ % をW −Wの比に内分する点をそれぞれ
$ % & とおく。ただし ＜ ＜W とする。
−−
３ ［98 東京大・文］ [\]空間に点$ %− & をとる。△$%&をつ の面とし ]≧の部分に含まれる正四面体 $%&' をとる。さらに△$%' を つの 面とし点&と異なる点(をもうつの頂点とする正四面体$%'(をとる。
点(の座標を求めよ。
−−
４ ［98 大阪市大・理］ 空間内の 点$ 4 ; < を通る直線上に$ とも 4 とも異なる点
3 [ \ ]をとる。
;と<をそれぞれ[\]で表せ。
原点を2とする。直線23と直線$3が垂直であるとき[\]の間の関係式 を求めよ。
−−
５ ［98 千葉大・文］ 空間に同一直線上にない点2 $ %と点3がある。2 $ %を通る平面をα とし点3はα上にないとする。2$ =D 2%=E 23= Sとおき D =
E = D E⋅ = − S D⋅ = S E⋅ = −とする。
S VD WE− − が平面αに垂直になるように実数VWを定めよ。
平面αに関して点3と対称な点を4とするときベクトル24をD E Sを用 いて表せ。
−−
６ ［98 防衛医大］ 座標空間に つの球ひとつは点3 D E Dを中心とし\] 平面に接する球
.他は点4 E D Eを中心とし同じく \] 平面に接する球.がある。この とき＜ ＜D Eとして以下の問いに答えよ。
. .のそれぞれの半径U U および球の中心間の距離はいくらか。 . .が共有点をもちかつ共有点全体が円をなすためのDEの条件を求め さらにそれをDE平面上に図示せよ。
−−
７ ［99 東京都立大・理］ 円[ +\ =上の点を3 4とし線分34の長さが であるとする。点3
4がこの条件を満たしながら動くとき点$ %− に対してベクトル
−−
８ ［99 九州大］ 大きさ の空間ベクトルD E FがD E E F⋅ = ⋅ = − D F⋅ =
を満たすように与え
られているとする。また空間ベクトルG H Iが
D G⋅ = E G⋅ = F G⋅ = D H⋅ = E H⋅ = F H⋅ = D⋅I = E⋅I = F⋅I =
を満たすとき点' G ( H ) I および原点2について次の問いに答えよ。
G [D \E ]F= + + となるような実数[\]を求めよ。同様にIをD E Fで表せ。
ベクトルG I G−Iの大きさを求めよ。
三角形2')の面積を求めよ。
−−
９ ［99 岡山大］ 辺の長さが の立方体 2$%&3456 がある。辺 $% の中
点を'辺%&の中点を (辺&6 の中点を)辺36 の中点
を *辺 34 の中点を + とする。このとき次の問いに答え
よ。
ベクトル2(をつのベクトルG I Jで表せ。ただし G =2' I =2) J=2*とする。
点'()*+は同一平面上にあることを証明せよ。 五角形'()*+の面積を求めよ。
辺 %5を の比に内分する点を . とする。点. を頂点とし五角形 '()*+
を底面とする五角錐の体積を求めよ。
−−
10 ［99 東北大・理］
空間の点 を中心とする半径の球面を6とし点 を中心と
する半径 の球面を6とする。6と6に接し原点を通る直線の長さ の方向ベク
トル D E F F≧をすべて求めよ。
−−
11 ［2000 大阪大・文］
点2を中心とする円を考える。この円の円周上に点$%&があって
2$ 2% 2&+ + =
−−
12 ［2000 京都大］
円に内接する四角形$%3&は次の条件イロを満たすとする。
イ 三角形$%&は正三角形である。
−−
13 ［2000 神戸大・文］
三角形$%&において&$ =D &%=Eとする。次の問いに答えよ。
実数 VW が≦V W+ ≦V≧W≧ の範囲を動くとき次の各条件を満たす点 3 の存在する範囲をそれぞれ図示せよ。
D &3=VD W D E+ + E &3=V W D+ +V W E−
−−
14 [名古屋大・理]
△$%& の外心（外接円の中心）2 が三角形の内部にあるとし α β γ は
2& 2%
2$+β +γ =
α を満たす正数であるとする。また直線 2$ 2% 2& がそれ
ぞれ辺%&&$$%と交わる点を$′ %′ &′とする。
2$ α β γを用いて2$′を表せ。
−−
15 [一橋大]
四 面 体 2$34 に お い て 2$ = 2$⊥23 23⊥24 2$ ⊥24 で °
=
∠3$4 である。
△$34の面積6を求めよ。
23 のとりうる範囲を求めよ。
−−
16 [東北大・文]
四面体2$%&において D=2$ E=2% F=2&とおく。線分2$2%2&%& &$ $%の中点をそれぞれ/ 0 1 3 4 5とし S=/3 T=04 U=15とおく。 線分/30415は点で交わることを示せ。
D E FをS T Uを用いて表せ。
直線 /3 04 15 が互いに直交するとする。; を$;=/3となる空間の点とす
−−
17 [大阪市大・理]
空間内に点$ % & −' がある。 点&から直線$%に下ろした垂線の足+の座標を求めよ。
点 3 が [\ 平面上を動き点 4 が直線 $% 上を動くとき距離 '3 34 の和
34
−−
18 [東京医歯大]
以下の各問いに答えよ。
座標平面上で点2 $ % を頂点にもつ正方形を考える。 実数W≦W≦に対して 点3W 4 Wを通る直線とこの正方形が交わ ってできる線分の長さを/Wとする。このとき関数/Wのグラフを描き定積 分
³
/WGWの値を求めよ。
座標空間において 点2 $ % & を 頂点にもつ立方体を考える。実数 W≦W≦ に対して 点3W
5
4 W W を通る平面によるこの立方体の切り口の面積を6Wと
する。このとき関数6Wの最大値を求めよ。 定積分
³
−−
19 [千葉大・理]
四角形$%&'は半径の円に内接し $&⋅%'= $%+$'+&%+&'=を 満たしている。このとき次の問いに答えよ。
−−
20 [広島大・文]
三 角形 $%& に おいて $% =F %& =D &$ =E
F S= $%
D T= %&
E
U =&$とおきE＜F∠%＜∠&とする。 U−T ＜ T−S であることを示せ。
定数VWに対して辺$%上の点'辺$&上の点 (があって %(=VT−S
&'=W U−T となっている。このときVW を DEF の式で表しさらに
U T V T S
−−
21 [大阪大・文]
平面上に原点2を中心とする半径の円.を考える。.の直径をつとりその 両端を$%とする。円.の周上の任意の点4に対し線分4$をの比に内分す る点を 5 とする。いま N を正の定数として S=$4+N%5とおく。ただし4=$ のときは5=$とする。また2$=D24=Tとおく。
%5をD Tを用いて表せ。
点4 が円.の周上を動くとき 23= Sとなるような点 3がえがく図形を.と する。.は円であることを示し中心の位置ベクトルと半径を求めよ。
−−
22 [京都大・文]
四角形$%&'を底面とする四角錐2$%&'は2$+2&=2%+2'を満たしており と異なるつの実数STUVに対して点3456を
2$
23= S 24=T2% 25=U2&26=V2'
によって定める。このとき3456が同一平面上にあれば S +U =T +Vが成立す
−−
23 [九州大・文]
空間内の図形について次の問いに答えよ。
△$%& の面積は $% $& $% $&
− ⋅ に等しいことを示せ。ここで
$&
$%⋅ はベクトル$%とベクトル$&との内積を表す。必要ならば つのベクト ルのなす角のコサインと内積の関係式を用いてよい。
D を正の定数とし右図の平行六面体 $%&' ()*+ を考える。 $% = $' = $( =Dと し ∠)%&=∠%&'=° ∠($%=°とする。 面()*+ 上に点3をとり点3から辺()上に垂 線 3,を下ろし点 3から辺(+ 上に垂線 3- を下 ろす。[ = (, \= (- とするとき△$&3 の 面積をD[\を用いて表せ。
問で点3が面()*+上を動くとき△$&3の面積の最小値を求めよ。 $ % & ' ( ) * + 3 ,
−−
24 [東北大・文] 三角形 $%& において $%= $&=∠$ =°とする。正の数 PQ に対し 辺%&&$$%をPQの比に内分する点を順に'()とする。
'(と()が垂直であるときの比PQを求めよ。
−−
25 [広島大・文] 三角形$%&において辺%&をの比に内分する点を0とする。辺$% $&を それぞれ%&の側に延長した半直線をOPとし0を通る直線NとOPとの交点を それぞれ 3 4 とする。$%=E $&=F $3= SE $4=TFとおくとき次の問い に答えよ。ただしSTは正の実数とする。
$0をE Fで表せ。 + =
T
S が成り立つことを示せ。
4 から直線 $% に下ろした垂線と直線 $% との交点を + とするとき 4+をE FTで表せ。
−−
26 [京都大] 四面体2$%&は次のつの条件
L 2$ ⊥ %&2%⊥ $& 2&⊥ $% LL つの面の面積がすべて等しい
−−
27 [京都大・文] △2$% において D=2$E=2%とする。 D = E =
$2%
FRV∠ = と
する。このとき ∠$2%の二等分線と%を中心とする半径 の円との交点の2を
−−
28 [東北大・理]
平面ベクトルD Eは D =
= − = E D
E を満たすとする。
NOを整数とする。 ND+OE が整数であるための必要十分条件はOが偶数である
ことを示せ。
ND+OE =となる整数の組N Oをすべて求めよ。
整数の組N Oを条件N O≠ のもとで動かすとき ND+OE の最小値
−−
29 [九州大・理] 座標空間内の三角柱
≦[≦ ≦\≦ [≧\ ≦]≦
を考えその[\平面内の面を6[]平面内の面を7とする。点$D E を6内に 点%F Gを7内にとりまた& とする。ただし点$ %は原点2と は異なるとする。
ベクトル2$および2&に直交する単位ベクトルを求めその単位ベクトルとベ
クトル2%の内積の絶対値を求めよ。
四面体2$%&の体積を求めよ。ただし点2 $ % &は同一平面上にないとす る。
点$が6内を点%が7内を動くとする。このときの四面体2$%&の体積の
最大値および最大値を与える点$%の位置をすべて求めよ。
−−
30 [神戸大・文]
三角形 2$% において辺 2$辺 2% の長さをそれぞれ DE とする。また角 $2%は直角でないとする。つのベクトル2$と2%の内積2$⋅2%をNとおく。次 の問いに答えよ。
直線2$上に点&を %&が2$と垂直になるようにとる。2&をDN 2$を用 いて表せ。
D= E=とする。直線 %& 上に点 + を $+が2%と垂直になるようにと
−−
31 [大阪大・理]
空間内の点$%&'が
$%= $&= $'=∠%$&=∠&$'=° ∠'$%=°
−−
32 [神戸大・理]
2を原点とする空間の点$ % & がある。
(
)
2$2$2% 2$ 2%
2'= − ⋅
を満たす点を ' とする。ただし 2$⋅2%は2$と2%の内積を表す。次の問いに答 えよ。
'の座標を求めよ。
つの実数VとWに対して 23=V2$+W2%を満たす点を3とする。Wを固定し て考えたとき &3 を最小にするVをWを用いて表せ。
&3 を最小にするVとWの値を求めよ。
で求めた V と W の値をそれぞれVとWとする。VとWに対し 3を 2%
2$
23 =V +W を満たす点とする。
(
)
(
)
2'2'2& 2' 2$ 2$2& 2$
23 = ⋅ + ⋅
