引用題 ２次数学セレクション

−−

１ ［98 広島大］ 閉区間

[

]

上の関数I [ を次の式で定義する。

(

)

I [ ORJ W GW [

[

=

³

I [ の導関数I′ [

(

)

＜ ＜ を求めよ。

I [ を最小にする[の値Dとそのときの最小値を求めよ。 で求めたDに対して W

(

)

D D

ORJ − + +

³

−−

２ ［98 筑波大］ 関数I [

W GW [

[ =

+ +

³

について次の問いに答えよ。 I [ =となる[を求めよ。

−−

３ ［98 東北大］ I [ H

H [ [ =

+のとき \ =I [ の逆関数\=J [ を求めよ。 のI [ J [ に対し次の等式が成り立つことを示せ。

I J I I

I I

[ G[ [ G[ E E D D D

E

D E

−−

４ ［98 東京医歯大］ [≧を定義域とする関数の列I [ I [ "" IQ [ ""を次式により帰納 的に定義する。

I I I

[ [ W

W GW Q

Q Q

[

= =

+ −

³

このとき次の問いに答えよ。 I [ I [ I [ を求めよ。 IQ [ を求めよ。

曲線\=IQ [ Q≧ 直線[ D D= ＞および[軸で囲まれる図形の面積 を6 DQ とおくとき

6 DQ +6Q D =_QD+ +

+

をみたすDの値を求めよ。 無限級数 −

= ∞

−−

５ ［98 山梨医大］

≦ ≦[ π における関数I [ =H−[ FRV[+VLQ [ について

＜ ＜[ π _{におけるI [ の導関数の絶対値 I′ [ の最大値を求めよ。} 方程式[ =I [ の解がただつ存在することをグラフを用いて説明せよ。 の最大値を.の方程式の解をDとするとき [ = [Q+ =I[Q

Q= " によって定義される数列

{

}

Q= " および等式QOLP→∞[Q =Dが成り立つことを証明 せよ。

6Q _Q

( )

Q =

=

¦

I π Q= " とするとき極限値OLP

Q→∞6Qを求めよ。また 無限級数 −

= ∞

¦

Q

Q Q

−−

６ ［99 筑波大］

関数I [ J [ をI [ =

³

J [ H FRVWGW W [ =

³

と定める。このと

−−

７ ［99 東京工大］ 以上の自然数Qに対して

(

)

W H GW

N H Q Q W Q Q N

N Q

− − −

= − +

+ = −

¦

³

−−

８ ［99 千葉大］

Q= "に対し IQ VLQ[ = _VLQQ[_[

(

)

数の列

{

}

³

π

からなる数列

{

}

IQ [ は[ =で連続であることを示せ。

,Q+−,Q−をQの式で表せ。 6P _N

N N

P

= −

− =

−−

９ ［99 名古屋大］

1個（1≧）の箱の中に 回につずつ無作為に玉を入れてゆく。玉がつ入っ た箱ができたらそこでその手続きを中止する。ちょうどN回目で玉がつ入った箱 ができる確率を3 1 Nとする。

≦ ≦N 1+ のとき 3 1 Nを求めよ。 OLP ORJ

1→∞1 3 1 1 +

−−

10 ［99 京都大］

D＜E D＜Eを満たす正の実数D E D Eについて次の不等式が成り

立つことを示せ。 E

D

D E

D D

E E

+ + + ＞ + + +

Q 個の自然数[ [ "" [Qは互いに相異なり ≦ ≦[N Q（≦ ≦N Q）を満

たしているとする。このとき次の不等式が成り立つことを示せ。 [

N Q N N

Q

+ − =

¦

−−

11 ［2000 京都大］

数列

{ }

FQ =Q+

³

π Q= "

このとき

FQとFQ+の関係を求めよ。

OLP

Q→∞FQを求めよ。

で求めた極限値をFとするとき OLP

Q Q

Q F F

F F →

+ − − ∞

−−

12 ［2000 大阪大］

実数[に対して[を越えない最大の整数を> @[ で表す。Qを正の整数とし

[

]

D Q N

Q Q

N Q

= −

=

¦

とおく。このとき OLP

−−

13 ［2000 大阪市大］

自然数 SQに対し座標平面において曲線\ ₌[S

と直線\ = [ =Qで囲

まれた部分境界も含むに含まれている格子点の個数を/ QS とする。ここで格子

点とは[座標\座標がともに整数の点である。次の問いに答えよ。

/ QS Q NS N

Q = + +

=

¦

であることを示せ。

極限値 OLP Q

S S / Q

Q

−−

14 ［2000 金沢大］

次を示せ。

ORJQ Q + + + + +

＜ " Q= "

OLP ORJ Q _N Q Q N → =

¦

[ G[ \ G\ →

+

³

³

−−

15 ［2000 北海道大］

次の問いに答えよ。

方程式$H[ ₋[ _{=が＜[＜の範囲で異なるつの解をもつための実数$の範}

囲を求めよ。ただしH = "は自然対数の底である。

定積分 HW_FRVWGW

π

³

ORJ I [ =[− +

³

π

I ＜ を満たす関数 I [ が つ存在す

−−

16 ［2000 九州大］

Qを自然数として I [ [

N N N Q = =

¦

[＜ において I [ ORJ [ W WGW Q [ = − − − −

³

が成り立つことを示せ。ここで

ORJは自然対数を表す。

[ ≦とするとき次の不等式が成り立つことを示せ。

L [≧において W WGW [ Q Q Q [ − + +

³

LL [＜において W WGW [ Q Q Q [ − + +

³

LLL I I ORJ

[ [ [ [ [ Q Q − − − + − + + ≦

この不等式を用いて ORJの近似値を誤差が 以下となるような分数で求めよ。

−−

17 [筑波大]

[

I を≦[≦において連続かつ＜[＜において微分可能でI′[＞を満たす

関数とする。＜W＜に対し =

³

W W [ [G[

, I I とおく。

導関数,′Wを求めよ。

−−

18 [東京工大] D＞W＞に対して定積分6 D W D H [ _W G[

³

= −

を考える。

Dを固定したときWの関数6D Wの最小値PDを求めよ。

OLP

D D P

−−

19 [岡山大]

W

I を連続関数[を実数として関数J[を次のように定義する。

³

=

[ I W [ GW

J

_IW=HW_{のとき関数J[の増減を調べ \=J[のグラフの概形を描け。た}

だし H="は自然対数の底である。

IWは微分可能な単調増加関数でその逆関数も微分可能とし

( )

I =

−−

20 [東京大]

次の等式を満たす関数I[≦[≦πがただつ定まるための実数DEの条件

を求めよ。またそのときのI[を決定せよ。

[ [ G\ \ \ [ E

G\ \ \ [ D

[ VLQ FRV VLQ FRV

+ + − + +

=

³

³

π

π I I

I

−−

21 [京都大]

次の極限値を求めよ。

³

π

Q _[

−−

22 [北海道大]

＜D＜

− とする。 積分

³

− D

G[ [

_{を求めよ。}

Q= "のとき次の等式を示せ。

¦

³

+ − − + = − Q N N D Q N D D D G[ [ [ ORJ

次の等式を示せ。

−−

23 [筑波大]

[＞に対して次の不等式を示せ。

[ [ [

[− ＜ORJ+ ＜

I[を≦[≦で連続でI[≧を満たす関数とする。

( )

(

)

(

( )

)

(

( )

)

DQ = +I +I " +I =

³

[G[ , I

とおくとき ,

Q

−−

24 [大阪大]

関数_I[=FRV_[−FRV_{[+を考える。QNを自然数とし}

(

)

(

)

(

)

N

Q I π I π I π J = + +""+

とおく。ただしQ≧とする。

Qを固定する。≦N≦Qの範囲でJ_QN−≧J_QNとなるNをすべて求めよ。

またNが≦N≦Qの範囲を動くとき J_QNを最小とするNをすべて求めよ。

におけるJQNの最小値を*Qとする。このとき極限値_Q *_QQ ∞ →

OLP を求めよ。

−−

25 [北海道大]

[

I を微分可能な関数とする。

Q を自然数とするとき等式 [ _{W GW [}Q

[−

³

_{I [≠を満たす関数I[を求}

めよ。

任意の実数[Dに対して等式_[D [ WGW

{

}

−

³

−−

26 [東京工大]

実数 D に対し積分 =

³

VLQ FRV

D π [ D [ G[

I を考える。IDの最小値を求め

−−

27 [千葉大]

Qを以上の整数とし , [ =

³

[≧と定める。

Q=のとき ,[の最大値を求めよ。 ,[の最大値が

₋

−−

28 [九州大]

次の問いに答えよ。

すべての正の実数[\に対して不等式[ORJ[−[ORJ\−[+\≧が成り立つこ とを示せ。ここでORJは自然対数を表す。

DEは実数でD＜Eとする。関数I[とJ[は閉区間

[

]

続関数で

³

³

D E

D I[G[ J[G[をみたす。このとき不等式

³

³

E

D I[ORJI[G[≧ I[ORJJ[G[

が成り立つことを示せ。

DE は実数で D＜E とする。閉区間

[

]

正の実数0を

³

− = E

D [ G[ D

E

0 I とする。不等式

0 0 G[ [ [

D E

E

D ORJ ORJ

_³

− I I

−−

29 [東京大]

2 を原点とする [\] 空間に点3N

(

)

N N N3 4

23 + の体積を9Nとおいて極限

¦

=

∞ →

OLPQ

N N

Q 9 を求めよ。

−−

30 [千葉大] D は定数としQは 以上の整数とする。関数_I[₌D[Q_ORJ[₋D[ _{[＞の最小}

値が−のとき定積分

³

−−

31 [筑波大]

実数全体で定義された微分可能な関数I[が次のつの条件LLLを満たしてい

る。

L すべての[について I[＞である。

LL すべての[\について _I[+\=I[I\H−[\_{が成り立つ。} I=を示せ。

J[=ORJI[とする。このとき J′[=I′−[が成り立つことを示せ。

−−

32 [広島大]

³

=

π

π

FRV Q Q

Q G[

[ [

6 Q= "とおくとき次の問いに答えよ。

すべてのQ= "について

Q 6Q πQ

π + ≦ ≦

が成り立つことを

示せ。

_¦

= ∞ →

Q N N Q _Q 6

−−

33 [北海道大]

半径の円に内接する正Q角形が [\平面上にある。ひとつの辺$%が[軸含まれ

ている状態から始めて正 Q 角形を図のように [ 軸上をすべらないようにころがし

再び点$が[軸に含まれる状態まで続ける。点$の描く軌跡の長さを/Qとする。

/を求めよ。

OLP/Q

Q→∞ を求めよ。

$ %

$ %

% $

[軸 図はQ=の場合

−−

34 [東北大]

Q を自然数とする。Q+項の等差数列[ [ " [Qと等比数列\ \ " Q

\ が =[＜[＜[＜"＜[Q = = \＜\＜\＜"＜\Q =を 満 た す と し

Q

3 4Q 5Q6Qを次で定める。 Q [

[ [ Q

3 ₌ + +"+ Q _4Q=Q _[["[Q

Q \ \

\ Q

5 = + +"+ Q 6Q=Q \\"\Q

このとき極限値OLP3Q

−−

35 [九州大]

" =

Q に対して = −

³

_{[ H G[} Q

, Q Q [

Q とおく。ただし =とする。

,の値を求め Q= "のとき,Qと,Q−の関係式を求めよ。またこれら

を用いて,の値を求めよ。

≦[≦に対して_H[ _{≦ であることを利用してH 次の不等式を示せ。}

( )

³

H G[ H [

Q ≦ Q= "

極限

¦

= ∞ → − Q N N N Q N

−−

36 [東京工大]

次の問いに答えよ。

I[ J[を連続な偶関数Pを正の整数とするとき

³

³

VLQ[ FRV[G[ P VLQ[ FRV[G[ P

J I

J

I

を証明せよ。

正の整数PQがPπ≦Q＜P+πを満たしているとき

³

³

³

_Q[ G[ PP [_[ G[ Q[

G[ [ [

PP ≦ ≦

を証明せよ。

極限値

³

+ ∞ → _FRV VLQ OLP G[ Q[ Q[

−−

37 [名古屋大]

多項式の列IQ[Q= " が I[= I[=[

[ [ Q [ Q [ Q = I − −I −

I Q= "

を満たすとする。

IQFRVθ=FRVQθ Q= " であることを示せ。

Q≧ のとき方程式IQ[=の [ ≦における最大の実数解を[Qとおく。こ

のとき

³

Q

[ IQ [ G[の値を求めよ。

³

∞ →

OLP

Q

[ Q

−−

38 [北海道大]

Dを以上の実数Eを正の実数とする。

以上のすべての実数 [ について不等式H[ D[ E≧

+

− が成り立つための

DEの満たすべき条件を求めよ。ただしHは自然対数の底とする。

DE がで求めた範囲を動くとき定積分

³

+

_G[

E [

DHE の値を最小にする D

−−

39 [神戸大]

関数I[を

¯ ® ­

− =

のとき ≦

≦

のとき ＞

または ＜ [ [ [ [ [ I

で定める。次の問いに答えよ。

J[=II[とおく。関数\=J[のグラフをかけ。

Qを自然数とする。

³

(

)

FRV Q G[ Q[ Q Q Q [ π

−−

40 [金沢大]

関 数I[を≦[≦π の と きI[=VLQ[ と お き[＜ ま た はπ＜[ の と き

[ =

I とおく。次の問いに答えよ。

つの定積分

³

{

}

[ G[

I と

³

{ (

)}

G[ [

I の値を求めよ。

定積分

³

(

)

I[I [ G[の値を求めよ。

D＞ について =

³

{

(

)}

D D [ _D [ G[

7 I I とおく。7Dの最小

−−

41 [名古屋大]

連続関数I[がすべての実数 [ についてIπ −[=I[を満たすとき

(

)

− =

³

G[ [

[ I が成り立つことを証明せよ。

³

− π

FRV

VLQ _G[ [ [

−−

42 [千葉大]

関数I[=FRV[+FRV[について

³

−−

43 [東京工大]

Hを自然対数の底とし数列

{

}

³

= H Q

Q [ G[ D

ORJ Q= "

Q≧のとき次の漸化式を示せ。

− − − −

= Q Q

Q Q D D

D

Q≧に対し DQ＞DQ+＞となることを示せ。

Q≧のとき以下の不等式が成立することを示せ。

−−

44 [北海道大]

[

I は最高次の係数がの整式とする。

自然数QPに対し

³

¦

³

≦ を示せ。

I[の次数をUとするとき次が成り立つことを示せ。

¦

Q _Q N OLP I + = U

すべての自然数 Qに対して

¦

= Q N N Q _{I I Q}

= が成り立つようなI[を求めよ。