九州大学学術情報リポジトリ
Kyushu University Institutional Repository
境界要素法による応力拡大係数の解析(界面き裂への 適用)
池田, 徹
九州大学工学化学工学
https://doi.org/10.11501/3088168
出版情報：Kyushu University, 1991, 博士（工学）, 課程博士 バージョン：
権利関係：
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境界要素法による応力拡大係数の解析
〈界面き裂への適用)
平成 3 年 1 2 月
池 田 徹 ー
【 も く じ 】
第 l章. 研究の目的と慨要・・・・
1. 1 研究の背景・・
1. 2 本論文の目的・・・・・・・・・
1. 3 本論文の慨要・・・・・・・・・・・・
【参考文献】
第 I部 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に よ る 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 10
第2章. 二次元単一モード問題への適用・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 11 2. 1 緒 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 12 2. 2 解 析 方 法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 13 2. 2. 1 境界要素法と有限要素法の結合解法・・・・・・・・・・・・・・・・ 13 2. 2. 2 仮想き裂進展法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 15 2. 3 解析結果および考察・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 17 2. 3. 1 引張りを受ける中央き裂付き帯板の解析・・・・・・・・・・・・ 17 2. 3. 2 コ ン パ ク ト 引 張 試 験 片 の 解 析 .. . . 24 2. 4 結 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 27
【記号表】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 28
【参考文献】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 30
第 3章.
3. 1 3. 2
二次元混合モード問題への適用・・・・
緒 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 32 解 析 方 法・・・・・・
3. 3 解析結果および考察・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 33 3. 3. 1 中央傾斜き裂を有する平仮・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 33 3. 3. 2 中央円弧き裂を有する平板・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 39 3. 4 結 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 47
【記号表】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 48
【参考文献】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・...，...・ 49
第 4章. 軸対称問題への適用・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 50 4. 1 緒 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 51 4. 2 解 析 方 法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 51 4. 3 解 析 結 果 ・ ・ ・ ・
4. 3. 1 4. 3. 2 4. 3. 3
周形き裂を有する丸棒の引張り・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 54 内部に銅貨形き裂を有する丸棒の引張り・・・・・・・・・・・・ 58 外壁に周形き裂を有する円管の引張り・・・・・・・・・・・・・・ 59
( 1 )
4.3. 4 内墜に周形き裂を有する円管の引張り・・・・・・・・・・・・・・ 62
，1. 4 結 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 65
【記号表】・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 66
【参 考 文 献】・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 67
第 H部 境 界 要 素 法 に よ る 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 と
破壊基準について・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 68
第 5章. 界面き裂の応力拡大係数の意義について・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 69 5. 1 緒 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・ 70 5. 2 界面き裂の応力拡大係数の定義について・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・ 71 5. 3 結 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 79
【記号表】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 80
【参考文献】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 81
第6章. 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に よ る
界面き裂の応力拡大係数の解析・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 82 6. 1 緒 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 83 6. 2 解 析 方 法 ・ ・ ・
6. 2. 1 薄い接着剤層中のき裂の応力拡大係数の解析・・・・・・・・ 84 6. 2. 2 異種材界面き裂の応力拡大係数の解析・・・・・・・・・・・・・・ 84 6. 3 解析結果および考察・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 86 6. 3. 1 薄い接着剤層中のき裂の応力拡大係数の解析・・・・・・・・ 86 6.3. 2 異種材界面き裂の応力拡大係数の解析・・・・・・・・・・・・・・ 93 6. 4 結言...・・ 103
【記号表】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ・・104
【参考文献】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 106
第 7章. 境界要素法による界面き裂の応力拡大係数の解析・・・・・・・・・・ 107 (仮想、き裂進展法の適用)
7. 1 緒 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・108 7. 2 解 析 方 法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 108 7. 3 解 析 結 果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 110 7. 3. 1 均 質 体 中 の き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 解 析 .. . . • . . . .. 110 7. 3. 2 異種材界面き裂の応力拡大係数解析・・・・・・・・・・・・・・・・ 114 7. 4 結 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 124
【記号表】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 25
【参考文献】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 26
( 2 )
第 8章. 境界要素法による界面き裂の応力鉱大係数の解析・・・・・・・・・・ 127
〈 径 路 積 分 法 の 適 用 )
8. 1 緒 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 128 8. 2 内点の変位・応力の精度の改善・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 129 8. 2. 1 解 析 方 法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 129 8. 2. 2 解 析 結 果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 132 8. 3 均質体中のき裂の応力拡大係数の解析・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 36 8. 3. 1 適応的自動積分法による径路積分法・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 36 8. 3. 2 解 析 結 果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 137 8. 4 異種材界面き裂の応力拡大係数の解析・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 141 8. 4. 1 M 1積 分 法 に よ る 界 面 き 裂 の 解 析 方 法 .. . . .. 141 8. 4. 2 解 析 結 果 .. . . .. 142 8. 5 結 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 51
【記号表】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 152
【参考文献】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 154
第 9章. 異種材界面き裂の破壊基準・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 1 55 9. 1 緒 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 156 9. 2 実 験 方 法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 157 9. 2. 1 材料の機械的性質と破壊試験片・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 157 9. 2. 2
9. 2. 3 9. 2. 4
界 面 き 裂 試 験 片 の 作 成 方 法 ・ ‑ 試 験 方 法 一
応力拡大係数の解析・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 162 9. 3 実験結果と考察・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 165 9. 3. 1 破壊臨界荷重の決定・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 165 9. 3. 2 破壊靭性値の測定結果と考察・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 167 9. 4 結 言・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 172
【記号表】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 173
【参考文献】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 174
第 10章. 総 括 結 論・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 175 1 O. 1 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に 仮 想 き 裂 進 展 法 を
適用した応力拡大係数の解析・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 176 1 O. 2 境 界 要 素 法 に 仮 想 き 裂 進 展 法 を 適 用 し た 応 力 拡 大 係 数 解 析 177 1 O. 3 境 界 要 素 法 に 径 路 積 分 法 を 適 用 し た 応 力 拡 大 係 数 解 析 ・ ・ ・ ・ 177 1 O. 4 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 定 義 と 破 壊 基 準 へ の 適 用 178
【記号表】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 180
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￨付 録] ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・181
八 1 均 質 体 中 の き 裂 の変形限式 と 応 力結大 係数の 定義・・・・・・・・・・・・ 182 A. 2 異 宿材界面き 裂のき裂先端 近 傍の応力 と 変 位・・・・・・・・・・・・・・・・ 185
【記 号 表】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 187
【参 考 文献】 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 188
謝辞・・・・・・・・...
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第 i 章
研究の目的と椴
1. t 研 究 の 汗;;t
従来， 自主地}J学 は 間jz‑物 の 服 壊 を 防 止 す る と い う 制 点 か ら 工 学 全 般 の 広 い 学 問 分 野 と 関 係 が あ る. 特 に ， 破 壊 が 即T]大 な れ ; 県 を 引 き 起 こ す 航 空 工 学 ， 原 子 力 ょ;学 ， 造 船 工 学 ， 機 械 工 学 ， 土 木 ・建 築 工 学 で は 積 極 的 に 破 壊 力 学 の 研 究 が 行 わ れ， そ の 成 果 が 設 計 や 保 守 に 取 り 入 れ ら れ て い る . ま た ， 主 と し て 金 属 で 到 還 さ れ る こ れ ら の 惜
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物 に 提 供 さ れ る 材 料 を 研 究 す る 学 問 で あ る 金 属 ・ 材 料 工 学 等 で も 垂 要 な 分野 と な っ て い る . 化 学 フ ラ ン ト 等 で も 機 誌 の 設 計 ・ 保 守 に 際 し て は ， 破 壊 力 学 の 考 え 方 は 不 可 欠 の も の と な り つ つ あ る し ， 集 積 回 路 な ど の 電 子 デ パ イ ス 等 の 故 障 防 止 技 術 と し て も 注 目 を 集 め て お り ， 化 学 工 学 や 電 子 工 学 の 分 野 で も 必 要 な 分 野 に な り つ つ あ る . ま た ， 金 属 材 料 に 代 わ っ て ， 高 分 子 材 料 が 多 用 さ れ ， 溶 接 の 代 わ り に 筏 着 剤 が い た る と こ ろ で 用 い ら れ る よ う に な っ た こ と で 応 用 化 学 等 と も 重 要 な 関 わ り を 持 ち つ つ あ る 学 問 で あ る .構 造 物 の 破 壊 の 原 因 は 単 純 で は な い が ， 多 く の 場 合 構 造 物 中 に 発 生 し た き 裂 と 見 な せ る よ う な 欠 陥 の 成 長 や 結 合 な ど に よ っ て 生 ず る こ と が 多 く ， 破 壊 現 象 を 力 学 的 に 扱 う 分 野 で あ る 破 壊 力 学 は ， こ の き 裂 に 関 す る 研 究 で ほ と ん ど が 占 め ら れ て い る [1].
応 力 拡 大 係 数 は ， き 裂 を も っ 構 造 物 で の き 裂 先 端 の 応 力 の 状 態 を 記 述 す る ノ マ ラ メータ で あ り ， 破 壊 力 学 に よ っ て 破 壊 現 象 を 捕 ら え る 際 の 最 も 基 礎 的 で 重 要 な パ ラ メ ー タ の 一 つ で あ る. 応 力 拡 大 係 数 な ど の 破 壊 に 関 す る パ ラ メ ータ を 計 器 に よ っ て 直 接 に 測 定 す る こ と は 不 可 能 で あ る た め ， 実 験 に よ っ て 求 め る 場 合 に は 間 接 的 な 方 法 に よ っ て 測 定 し な け れ ば な ら な い.
一 方 ， 計 算 機 の 発 達 に と も な っ て ， 有 限 要 素 法 や 境 界 要 素 法 な ど の 数 値 解 析 に よ っ て 解 析 を 行 う 方 法 が 発 達 し て き て お り ， か な り の 割 合 で 実 験 に と っ て 代 わ り つ つ あ る ( こ こ で い う 実 験 に と っ て 代 わ り つ つ あ る と い う 意 味 は，実 験 に よ っ て 求 め ら れ た 破 壊 荷 重 や，疲 労 や ク リ ー プ で の き 裂 進 展 速 度 な ど を 応 力 拡 大 係 数 な ど の 破 壊 ノ マ ラ メ ー タ に 結 び つ け た り ， 実 際 の 構 造 物 を 製 作 す る 際 に ， 実 物 の 破 壊 試 験 を 行 わ ず に あ ら か じ め 測 定 し た 材 料 の 破 壊 条 件 を 示 す 破 壊 ノfラメ ータ の 臨 界 値 を 使 用 し て シ ュ ミ レ ー シ ョ ン を 行 う と い う 意 味 で あ り ， 材 料 固 有 の 性 質 を 数 値 計 算 に よ っ て 求 め る と い う こ と で は な い )， 数 値 計 算 に よる解 析 手 法 は ， 大 が か り な 測 定 装 置 を 必 要 と し な い 手 軽 さ だ け で な く ， 実 験 で は 測 定 が 困 難 な 内 部 の ひ ず み を 算 出 で き る な ど 実 験 に は な い 利 点 、 を も っ て い る. さ ら に ， 現 実 の 構 造 物 を 設 計 す る 場 合 に ， 実 物 の 破 壊 試 験 を 行 う こ と が 不 可 能 な 場 合 は ， 破 壊 を 防 止 す る 設 計 の た め の 唯 一 の 方 法 で あ り ， 今 日 の 破 壊 力 学 で は 数 値 解 析 が 実 験 と 並 ぶ 大 き な 住 と な っ て い る.
こ の 中 で も 育 限 要 素 法 の 利 用 は め ざ ま し く ， 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 手 法 も 鹿 々 考 案 さ れ て い る . 代 表 的 な も の と し て は ， き 裂 先 端 付 近 の 変 位 や 応 力 か ら 直 接 応 力 鉱 大 係 数 を 求 め る 直 接 法 や ， き 裂 が 進 展 す る 際 の エ ネ ル ギ ー 解 欣 唱 を 求 め ， エ ネ ル ギ ー 解 放 容 と 応 力 拡 大 係 敬 の 関 係 か ら 応 力 鉱 大 係 数 を 求 め る エ ネ ル ギ 一 法 な
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どがある. エ ネ ルギ一 法は， 直援法 に比べ て 手 法 が栂 維になる欠点があるが，
解 析 精 度 の 点 で優 れ て い る た め ， 簡 便 に エ ネ ル ギ 一法を 適 用す る た め の さ まざま な 方 法 が 考 え出 さ れ て 盛 ん に 利 用 さ れ て い る. こ の エ ネ ル ギ 一法 の 中 で も， 仮 想、き裂進展法[2][3]と J積 分 法[1]は 特 に 良 く 用 い られ て い る方 法 で あ る.
境 界 要 素 法 は， 近 年 有 限 要 素 法 と 並 ぶ 数 値 解 析 手法として急速に 発 展した方法 で，特 に 線 形問 題 へ の 適 用 で は ， 境 界 の み の 要 素 分 割 で 解 析 が行えること から， 有 限 要 素 法と 比 べ て 要 素 分 割 の 労 力 軽 減 や ， 解 析 精 度 の 向 上 な どの利点を有 して いる. き 裂 問 題 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 に も 盛 ん に 利 用 さ れ て い る が ， その手 法 は直接法 によ る も の が 主 流 で あ る [5]. 一方，エネルギ一法は， 有限要 素 法にお ける仮想、き裂進展法の よ う な 洗 練 さ れ た 方 法 が 考 案 さ れ て い な い た め ， き 裂 進 展 前 後 の 2回 の 応 力 解 析 を 必 要 と す る 点 な ど 手 法 の 複 雑 さ が 解 決 さ れ て お ら ず ， 研 究 例 は 少 な い の が 現 状 で あ る [6]. 著 者 も 以 前 の 研 究 で，境 界 要 素法解 析 に エ ネ
ル ギ 一 法 を 適 用 し て 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 を 行 い ， 一 定 の 成 果 を 上 げ た が こ の よ う な 欠点を 完 全 に 克 服 す る に は 至 ら な か っ た [7][8] [9J. しかしながら， エ ネ ル ギ 一 法 は ， 要 素 分 割 の 精 組 に よ り 解 析 値 が 影 響 さ れ に く い な ど ， 解 析 精 度 の 点 で 直 接 法 に 対 し て 利 点 を 有 し て お り ， 境 界 要 素法に つ い て も エ ネ ル ギ 一 法 に よ る 簡 便 な 解 析 手 法 が 用 意 さ れ る こ と は 有 益 で あ る と 考 え ら れ る .
一方 ， 近 年 航 空 機 な ど の 構 造 物 に お い て 接着剤 が 頻 繁 に 使 用 さ れ る よ う に な っ た こ と や ， 複 合 材 料 の 利 用 ， 電 子 デ ノイイ ス に お け る 接 合 面 の 高 い 信 頼 性 の 要 求 な ど に よ り ， 異 種 材 界 面 の 強 度 評 価 の 必 要 性 が 増 大 し て お り ， 異 種 材 界 面 に 存 在 す る き 裂 に 対 し て の 破 壊 力 学 的 評 価 は ， こ の よ う な 接 合 物 の 強 度 に 対 し て 重 要 な 意 味 を も っ と 思 わ れ る . 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 手 法 の 開 発 や ， 破 壊 基 準 の 決 定 な ど 破 壊 力 学 的 評 価 の た め の 最 も 基 礎 的 な 技 術 の 確 立 が 望 ま れ て い
る.
1. 2 本 論 文 の 目 的
本 論 文 に お け る 研 究 は ， 次 に 示 す よ う に 大 き く 分 け て 二 つ の 目 的 を も っ て い る .
( 1 ) 境 界 要 素 法 に よ る エ ネ ル ギ 一 法 を 用 い た 応 力 拡 大 係 数 の 簡 便 で 精 度 の 良 い 解 析 手 法 を 開 発 す る .
( 2 ) そ の 応 力 拡 大 係 数 の 定 義 や 性 質 に つ い て ま だ 明 確 と な って い な い 異 思 材 界面き裂について， そ の 定 義 や 性 質 に つ い て 考 察 を 行 い ， 境 界 要 素 法 を 用 い た 解 析 手法を 開 発 し ， 異 檀 材 界 面 き 裂 の 破 壊 基 準 の 検 討 を 行 う .
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1. 3 ~治文の慨~
本 論 文 で は 第 I部 ( 第 21市 第，t章 ) に お い て ， 崎 県 要 素 法 と 有 限 定 素 法 の 結 合併法に仮，但き裂進展法を組み込む方法ーを同案し， そ の 実 用 性 に つ い て の 検 討 を 行 っ て い る . 仮主!き裂jJf展法は，ほぼ l回 の 応 力 解 析 で エ ネ ル ギ 一 法 に 基 づ い た 制 度 の 良 い 応 力 拡 大 係 数 を 求 め る こ と が で き る 長 所 を 有 し て お り ， こ れ を 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 と 結 び つ け る こ と に よ っ て，仮:tl=!、き裂進展法の長 所 と ， 境 界 の み の 少 な い 自 由 度 の 離 散 化 に よ っ て 体 系 を 解 析 で き る 境 界 要 素 法 の 長 所 を 共 に 生 か す こ と を 可 能 と し た .
第 日 部 ( 第 5章 第 9章 ) で は ， 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 意 義 と 解 析 手 法 に つ い て 論 じ る と と も に ， 界 面 き 裂 の 破 忠 実 験 結 果 を 示 す. 異 極 材 界 面 に 存 在 す る き 裂 に 対 し て も 均 質 体 と 同 じ よ う な 応 力 拡 大 係 数 が 定 義 さ れ て い る が ， そ の 物 理 的 な 意 味 は 疑 問 な 点 が 多 く ， こ の 応 力 拡 大 係 数 を 用 い て 有 効 に 界 面 き 裂 の 破 壊 現 象 を 説 明 し た 研 究 も 見 あ た ら な い. 本 論 文 に お い て は ， 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 意 味 を 明 確 に す る た め に ， 第 5章 に お い て 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 定 義 と 意 味 に つ い て 考 察 を 行 い ， 6....̲ 8章 に お い て 境 界 要 素 法 を 用 い た 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 方 法 を 提 案 し ， 9章 に お い て 実 際 に 破 壊 試 験 を 行 っ て 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 を 用 い た 界 面 き 裂 の 破 壊 基 準 を 検 討 す る.
こ こ で 論 ず る 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 は，異 種 材 に あ た る 材 料 と し て 同 種 の 材 料 を 選 択 した と き に は 均 質 体 の 応 力 拡 大 係 数 に 全 く一 致 す る も の で あ り， 6 ....̲ 8章 の 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 手 法 に つ い て の 提 案 は ， 第 I部 の 境 界 要 素 法 で の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 手 法 の 開 発 と い う 研 究 を 発 展 さ せ た 側 面 を 同 時 に
も つ も の で あ る.
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以 F にみ;論文の情 IJ文と侭~のw!安を示す.
第 l章. 研究の慨~と目的
‑ 本 論 文 の 研 究 の 位 置 付 け ， 目 的 ， 怠 義 と 論 文 の 慨 要 に つ い て 説 明 す る .
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l部 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に よ る 応 力 拡 大 係 数 の 解 析第 2章. 二次 元
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ー モ ー ド 問題 へ の 適 用 [10][11]・境界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 を 用 い て ， 仮 想 、 き 裂 進 展 法 に よ り き 裂 問 題 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 を 行 う 方 法 を 提 案 し ， こ れ を 二 次 元 出 ー モ ー ド 問 題
(モード 1) に 適 用 し て 精 度 の 良 い 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 が 行 え る こ と を 示 す.
第 3章. 二次 元 混 合 モ ー ド 問 題 へ の 適 用[11][12J
応 力 拡 大 係 数 に は ， き 裂 へ の 荷 重 の 作 用 の 仕 方 に よ っ て ， モ ー ド 1‑‑‑‑‑モー ド 田 の 三 つ の モ ー ド が 存 在 す る . 二 次 元 問 題 の 場 合 ， し ば し ば モ ー ド Iと モ ー ドEの 応 力 拡 大 係 数 が 同 時 に 存 在 す る 混 合 モ ー ド 状 態 と な る が ， 第 2章 で 示 し た 通 常 の 仮 想 、 き 裂 進 展 法 で は ， 各 モ ー ド の 応 力 拡 大 係 数 に 分 離 す る こ と が で き な い . そ こ で ， 本 章 で は ， 石 川 が 提 案 し た 方 法 [13
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に よ っ て モ ー ド 1， I1の応力拡大係 数 の 分 離 を 行 う 方 法 を 試 み ， モ ー ド 1， I 1 の 応 力 拡 大 係 数 の モ ー ド 分 離 が 精 度 良く 行 え る こ と を 示 し た .
第 4章. 軸 対 称 問 題 へ の 適 用[14J[15]
実 在 の 構 造 物 の 中 に は ， 軸 対 称 体 と し て 扱 え る 形 状 を し た も の も 多 い . 本 章 で は ， 軸 対 称 、 の 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 プ ロ グ ラ ム を 作 成 し ， こ れ に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 適 用 し ， 二 次 元 問 題 と 同 保 ， 軸 対 称 問 題 に 対 し て も 本 手 法 が 有 効 に 適 用 で き る こ と を 示 す と と も に ， 円 管 の 内 ・ 外 壁 に 周 形 き 裂 を 有 す る 場 合 に つ い て ， 適 用 範 囲 の 広 い 実 用 上 有 用 な 応 力 拡 大 係 数 の 近 似 式 を 示 し た .
第 H部 境 界 要 素 法 に よ る 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 と 破 場 基 準
第 5章. 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 意 義 に つ い て
異 極 材 界 面 き 裂 に 対 し て も 均 質 体 の 場 合 と 同 僚 な 応 力 拡 大 係 数 が 定 義 さ れ ている. しかしながら， そ の 定 義 に は 複 数 の 異 な っ た 定 義 が 存 在 し ， ま た そ の 物 理 的 な 意 味 に つ い て も 明 確 な 説 明 が な さ れ て い な い . そ こ で ， 本章 で は ， 異 尽 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 に つ い て の 考 察 を 行 い ， 本 論 文 で 取 り 扱 う 異 極 材 界
!lliき裂の定義およびその意味について著者の考えを述べる.
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第6r;t.. 境界史ょが;と {í 限盟主{}~の *ii0 解法による 県l而 き 裂 の 応)J肱 大 係 数 の 解 析
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1部 で 論 じ た 結 合 解 法 に よ る 解 析 方 法 を ，t
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守 材 中 の き 裂 お よ び7 4
限 付 界 而 き 裂 の 応 力J広 大 係 数 の 解 析 に 週 間 し た 7 l D t 材 界 面 き 裂 の 応 力t1大係数は，単 純 な 作 用 何 屯 下 で も 混 合 モ ー ド 状 態 と な る . しかしながら， こ の モ ー ド 分 離 を 第3章 で 示 し た 均 質 体1f 1 の き 裂 に 対 す る モ ー ド 分 離 方 法 で 分 離 す る こ と は 不 可 能 で あ る た め ， 重 ね 合 わ せ 法 [1 6 ] に よ り モ ー ド 分 雌 を 行 う . この方法により，
見 極 材 界 面 き 裂 の 応 力J広 大 係 数 に つ い て も ， 結 合 解 法 に よ っ て 精 度 良 く 解 析 が 行 え る こ と を 示 す.
第 7̲r;t. 境 界 要 素 法 に よ る 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 [1 7] (仮想、き裂進展法の適用)
・ ・ ・ 第2章 第4章 お よ び 第 6章 で 用 い た 手 法 を 一 歩 進 め ， 仮 想 的 な 有 限 要 素 を 想 定 す る と い う 考 え 方 を 用 い て ， 通 常 の 境 界 要 素 法 の 応 力 解 析 結 果 に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 適 用 す る 方 法 を 促 案 す る. こ の 方 法 を 用 い る こ と に よ り ， 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 プ ロ グ ラ ム を 用 意 し な け れ ば な ら な い と い う 以 前 の 方 法 の 欠 点 を 克 服 し ， 通 常 の 境 界 要 素 法 汎 用 プ ロ グ ラ ム の 解 析 結 果 を 本 手 法 の ポ ス ト プ ロ セ yサ で 処 理 す る こ と に よ り 応 力 鉱 大 係 数 の 解 析 が 行 え る . 本 章 で も ， 前 章 同 様 重 ね 合 わ せ の 方 法 に よ っ て 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の モ ー ド 分 離 を 行 い ， 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 ( 当 然 ， 均 質 体 の 混 合 モ ー ド 問 題 を 含 む ) が 精 度 良 く 行 え る こ と を 示 す .
第 8章. 境 界 要 素 法 に よ る 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 [18] ( 径 路 積 分 法 の 適 用 )
・境界 要 素 法 に よ る 解 析 で は ， 境 界 上 の 変 位 や 表 面 力 の 解 析 精 度 を 確 保 す る こ と は 比 較 的 容 易 で あ る の に 対 し て ( き 裂 の 先 端 の 様 な 応 力 の 特 異 性 を 持 つ 部 分 は 別 で あ る )， 境界 に 近 い 領 域 内 部 の 変 位 や 応 力 の 値 を 求 め る 際 に は， 強 い 特異 性 を 持 っ た 関 数 の 積 分 が 必 要 と な り 解 析 精 度 を 保 つ こ と が 困 難 に な る . そこで，
著 者 は ， 適 応 的 自 動 積 分 法 を こ の 特 異 積 分 に 適 用 す る こ と に よ り ， 境 界 近 傍 の 内 点 、 の 解 析 精 度 を 向 上 さ せ た . さらに， こ の 適 応 的 自 動 積 分 法 を J積 分 法 に 適 用 す る プ ロ グ ラ ム を 開 発 し ， こ れ に よ っ て 極 め て 高 い 精 度 で 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 が 行 え る こ と を 示 す . 異 樫 材 界 面 き 裂 に 対 し て は， 重 ね 合 わ せ の 原 理 を 用 い て ，
J積分 法 を 改 良したMl積分 法 [1 g]を 用 い て 解 析 を 行 っ た .
第 9章. 界 面 き 裂 の 破 壊 基 準
・界 面 に き 裂 を も っ ア ル ミ ニ ウ ム ーエポキシ樹脂， ア ク リ ル 樹 脂 ー エ ポ キ シ 樹 脂 よ り な る 二 相 接 合 情 造 物 を 作 成 し ， 引 張 り 試 験 機 に よ っ て 静 的 破 壊 試 験 を 行 った. こ の 結 果 に つ い て ， 第 8章 の 方 法 に よ っ て 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 を 解 析し， 静 的 破 壊 時 の 臨 界 応 力
J
広 大 係 数 を 求 め ， 異 極 材 界 面 き 裂 に 対 す る 静 的 破 壊 基 唱 に つ い て 検 討 し た . 均質(本中のき裂に対しては， モ ー ド 1， IIの 混 合 モ ーtu
ド 状 態 の き 裂 に 対 し て モ ー ド Iの 応 力 拡 大 係 数 ( K1)が よ り 支 配 的 に 働 き ， モー ドHの 応 力 拡 大 係 数 (K日 ) の 増 加 に と も な っ て 徐 々 にKIが 減 少 す る と さ れ て い るが， 実 極 材 界 面 き 裂 に 対 し て は そ の よ う な 実 験 結 果 は 報 告 さ れ て お ら ず ， む し ろ エ ネ ル ギ ー 解 放 率 ヲ (=β(KI2+ Ka2);β は 係 数 ) に よ っ て 支 配 さ れ る と す る 研 究 結 果 が わ ず か に あ る だ け で あ る [20][21]. 本 研 究 結 果 で は ， 両 岳 で 材 料 定 数 ( 縦 部 性 係 数 ) の 差 が 小 さ い ア ク リ ル 樹 脂 ー エ ポ キ シ樹 脂 接合 体 に つ い て は ， ヲ に よ っ て 支 配 さ れ る 傾 向 に あ り ， 材 料 定 数 の 差 が 大 き い ア ル ミ ニ ウ ム ーエ ポ キ
シ 樹 脂 度 合 体 に つ い て は ， KIが よ り支 配 的 で あ る と の 結 果 が 得 ら れ た .
第 10章. 総 括 結 論
・本 論 文 全 体 を 総 括 し， ど の よ う な 結 論 が 得 ら れ た か に つ い て ま と め る .
【第 l章 参身文献】
[ 1 J 岡村 . 線 形 破 壊 力学入門. ( 1 9 7 6 ). 1.
J g
風館[2J Parks. D. ~.. A stiffness derivative finite element techniQue for determination of crack tip stress intensity factors.. /nt. J.
f r ，9C t . . 1 0 ( 1 9 7 1). 4 8 5
[3J Hellen. 1. K.. On the method of virtual crack extensions. ρ/t. J. Nu.er. Vθtllods [ρ，cn.E? 9(1975).187
[4J Rice. 1. R.. A path independent integral and the approximate analysis of strain concentration by notches and cracks. J. App/. Jlecll.. 35(1968). 379
[5J Cruse. T. A.. An improved boundary‑integral eQuation method for three‑dimensional elastic stress analysis. COlputers aρd
Structures. 4(1974). 741.
[6J Tan. C. L. and Fenner. R. T.. Elastic fracture mechanics analysis by the boundary integral eQuation method. froc. R. Soc. toρd. . A‑369(1979). 243
宇[7 ] 宮 崎 ， 池 田 . 金 子 . 宗 像 ， エ ネ ル ギ一法 を 用 い た 境 界 要 素 法 に よ る 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 (二次 元 き 裂 問 題 に 対 す る 適 用 )• /IJ i~. 53‑492. A (1 987) . 1590
宇[8J 宮 崎 . 池 田 . 宗 像 . エ ネ ル ギ 一 法 を 用 い た 境 界 要 素 法 に よ る 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 ( 軸 対 称 、 き 裂 問 題 に 対 す る 適 用 ).えがオダ工学実務. 61‑5(1988).
669
キ[9] Miyazaki. N.. Ikeda. 1. and Munakata. T.. COlputers aβd Structures. 33‑3(1989). 867
キ[10] 宮 崎 ， 池 田 ， 宗 像 . 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に よ る 応 力 拡 大 係 数 解 析 ( 二 次 元 き 裂 問 題 に 対 す る 適 用 )• III~首. 55‑509. A(1989). 101. キ[11] Miyazaki. N.. Ikeda. 1.. Munakata. T.. Stress intensity factor
analysis by combination of boundary element and finite element methods. [n，~ng fract. Vecll.. 36‑1(1990). 61
本[1 2] 宮 崎 ， 池 田 ， 宗 像 . 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に よ る 応 力 拡 大 係 数 解 析 ( 混 合 モ ー ド き 裂 問 題 に 対 す る 適 用 )•
1 1 1
i~. 5 5 ‑5 1 3 . A ( 1 9 8 9 ) . 1180.[13] Ishikawa. 11.. A finite element analysis of stress intensity factors for combined tensile and shear loading by only a virtual crack extension.. /nt. J. fract.. 16(1980). R243
キ[1 4 ] 宮崎 ， 池 田 ， 伊 東 ， 宗 像 ， 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に よ る 応 力 拡 大 係 数 解 析 ( 軸 対 称 問 題 に 対 す る 適 用 )•
1 1 1 / : .
57‑534. A(1991).373
n nu
キ[15] MiY3Z3ki， N.， Ikcda， T.， Mun3kat3， T.， Strcss intcnsity f3ctor analysis by combination of boundary clemcnt and finite element methods ( Application to axisymmctric crack problcms)， 8ound8ry
t/θIcnls J//， 1(1990)， 255， Computational Mcchanics Public凡tions [16J Matos， P. P.
L .
， Mcmceking，R . M .
， Charalambides， P.G .
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キ[1 7] 宮 崎 ， 池 田 ， 祖 回 . 宗 像.境 界 要 素 法 に よ る 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 解 析 ， (第 l報 仮 想 、 き 裂 進 展 法 の 適 用 ) ， ~ぷ， 57‑541， A(1991)， 2063 キ[18] 宮 崎 . 池 田 . 祖 国 ， 宗 像 . 境 界 要 素 法 に よ る 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 解 析 .
(第2報 径 路 積 分 法 の 適 用 ) ， /;f
/ 1
， 57‑5 44 ， A ( 1 9 9 1) ， 掲 載 予 定 . [19] Yau， J. F. and Wang， S. S.， An analysis of interface cracksbetween dissimilar isotropic materials using conservation integrals in elasticity.， tng刀g f I・JC l. ，Vθcl7.， 20‑3(1984)， 423 [20] 佐 藤 ， 結 城 ， 吉 岡 ， I Cマノ yケ ー ジ の 界 面 き 裂 の 評 価， l1J !if 学会ぷ原点t~z護，
NO.900‑14， A(1990)， 75.
[21] Muluville， D. R. and Mast， P. W.， Strain energy release rate for interfacial cracks between dissimilar media.， tngng fl・act. iecl7.，
r︑υ
F︑
i u
rhJV
•
︑︑
︐ ︐
︐
戸hHvn︐l n吋ω
‑EEゐ
︐︑ ︐ ︐
nnu
( 数 字 の 前 に * 印 を 記 し た も の は 著 者 自 身 に よ り 行 わ れ た 研 究 で あ る )
‑ 9 ‑
第 I 部
境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に よ る
応 力 拡 大 係 数 解 析
‑10 ‑
第 2 章
境界要素法と有限要素法の結合解法による応力拡大係数解析 ( 二 次 元 単 一 モ ー ド 3 裂問題に対する適用)
1i 1i
2. 1
m
，‑J ，(
反fJ.!さ 裂 進 展 法[1][2]は ， 有 限 定 素 法 を 用 い て き 裂li¥j}起 の 応 力 拡 大 係 数 を 求 め る た め の 肝 析 手 法 で あ る. この方法は， エ ネ ル ギ 一 法 の 一 極 で あ る が ， き 裂 進 展エ ネ ル ギ ー を一 回 の応 力 解 析 で 算 出 で き ， 解 の 精 度 が 良 く ， か っ 仮 想 き 裂 進 展 畳の大きさに解のft'J 1支が :~3 響されにくいなどの優れた特徴を備えているため， 宵 限 要 素 法 に よ る 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 に お い て は 広 く 用 い ら れ て い る 手 法 で あ る .
一 方， 境 界 要 素 法 も 有 限 要 素 法 と 並 ん で 椛 造 物 の 応 力 解 析 に 盛 ん に 利 用 さ れ る よ う に な っ て き て お り ， 応 力J広 大 係 数 の 解 析 に も よ く 用 い ら れ て い る . 特 に 線 形 弾 性問 題 に お い て は ， 境 界 の み の 分 割 で 解 析 が 行 え ， 計 算 時 間 や 解 析 精 度の 点 で も 有 限 要 素 法 よ り 優 れ て い る な ど 利 点 が 多 い . 境 界 要 素 法 に よ る 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 手 法 と し て は ， 変 位 ・ 応 力 の 外 挿 法[3] や こ れ を 改 良 し た 接 続 外 挿 法[4]
な ど が 用 い ら れ る こ と が 多 く ， エ ネ ル ギ 一 法 は き 裂 進 展 前 後 の 二 回 の 解 析 が 必 要 で あ る 点 や 混 合 モー ド 問 題 へ の 適 用 が 困 難 で あ る な ど の 為 に 余 り 用 い ら れ て い な い. し か し な が ら ， 変 位 ・応 力 外 挿 法 は ， 高 い 精 度 を 得 る た め に は き 裂 先 端 付 近 の 十 分 な 要 素 分 割 が 必 要 で あ る な ど ， 非 常 に 簡 便 な 方 法 な が ら 解 析 精 度 の 点 で は 必 ず し も 優 れ た 方 法 と は い え な い .
し た が っ て ， 簡 便 な 方 法 と し て こ れ ら の 方 法 が 位 置 づ け ら れ る な ら ば ， や や 複 雑 で 計 算 時 間 も 長 く な る が 精 度 と 信 頼 性 の 高 い 方 法 で あ る エ ネ ル ギ 一 法 に よ る 境 界 要 素 法 を 用 い た 解 析 方 法 が 確 立 さ れ る こ と は 無 駄 で は な い と 思 わ れ る . 特に，
計 算 機 の 急 速 な 発 展 に よ り ， 二 次 元 弾 性 問 題 の 場 合 ， ワ ー ク ス テ ー シ ョ ン 等 に よ っ て 解 析 し で も 計 算 時 間 は 十 分 に 短 く ， 計 算 時 間 の 短 縮 は も は や あ ま り 重 要 で は な く な り つ つ あ る.
本 論 文 で は ， 有 限 要 素 法 に お い て 広 く 用 い ら れ て い る 仮 想 き 裂 進 展 法 を 境 界 要 素 法 に 組 み 込 む こ と を 考 え る. こ の た め に ， 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法を用いて， き 裂 先 端 の み に 有 限 要 素 を 配 置 し ， そ の 他 の 部 分 を 境 界 要 素 法 に よ って離散化し， き 裂 先 端 の 有 限 要 素 に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 組 み 込 む こ と に よ っ て 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 を 行 う 方 法 を 提 案 す る . 本 章 に お い て は ， こ の 方 法 に お い て き裂端要素寸法， き 裂 進 展 量 が 解 の 精 度 に お よ ぼ す 影 響 等 の 基 礎 的 な 問 題 の 検 討 を 二 次 元 単 一 モー ド き 裂 問 題 に 対 し て 行 う. 応 力 拡 大 係 数 の 定 義 に つ い て は ， 巻 末 の 付 録 [A. 1 ]を 参 照 さ れ た い.
η/u
'hE
目 ・
2. 2 解 析 方 法 2. 2. 1 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法
F i g. 2. 1に 本 法 の 慨 念 図 を 示 す . す な わ ち ， 解 析 領 域Qを 境 界 要 素 で 離 散 化 す る 領 域QBと 有 限 要 素 で 離 散 化 す る 領 域Ql'に分割する. このとき， Q BとQ 'l が 接 す る 内 部 境界 を
r
lと し ， 全 体 領 域Qの 境 界 「 の う ち QBの 境 界 の一部 を 構 成 す る 部 分 をr
B， 領 域Ql'の境界の一部を構成する部分をr
l'とする. すなわち，領 域QBは「目と
r
lで 固 ま れ ， 領 域Ql'はr
Pとr
lで 囲 ま れ て い る こ と と な る . ま た ， 領 域Q1"は， き 裂 先 端0を 囲 む よ う に 配 置 す る も の と す る .境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 方 法 と し て は ， 境 界 要 素 法 で 離 散 化 し た Q日の方 程 式 系 を 有 限 要 素 法 型 の 方 程 式 に 変 換 す る 等 価 有 限 要 素 法 と ， 有 限 要 素 法 で 離 散 化 し た Q l ' の 方 程 式 系 を 境 界 要 素 法 型 の 方 程 式 に 変 換 す る 等 価 境 界 要 素 法 の 二 つ が 考 え ら れ る [5J[6]. 本 手 法 で は ， 前 者 の 等 価 有 限 要 素 法 に よ る 結 合 解 法 を 用 い
た.
領 域QBに 対 し て は 次 の よ う な 境 界 要 素 法 の 方 程 式 が 成 り 立 つ [7 ] .
c
(p) u (P)+ I
p t (P. Q) u (Q) d( r
B+r
，) Jr s + r
，= j
「Bf
E︐ ︐ ︑ nJ白 • ‑EA E 'l︑こ こ でu，pは 変 位 ベ ク ト ル お よ び 表 面 力 ベ ク ト ル を 示 す . 点Pは，領域内部，
境界上， あ る い は 領 域 外 部 の 任 意 の 点 で あ り ， 点Qは ， 積 分 操 作 を 行 う 際 に 境 界 上 を 領 域 を 取 り 囲 む よ う に 一 周 す る 境 界 上 の 点 で あ る . また， u:r.
( P . Q)
pt (P， Q) は ， 境 界 要 素 法 の 二 次 元 線 形 弾 性 体 の 基 本 解 で あ り， P点 に 単 位 荷 重 ベ ク ト ル が 作 用 す る と き のQ点 に お い て 生 じ る 変 位 ベ ク ト ル お よ び 表 面 力 ベ ク
ト ル を 示 す
c
は ， 点Pが 領 域 内 部 に あ る と き に は 単 位 マ ト リ ッ ク ス と な り ， 境 界 上 に あ る と き に は そ の 点 に お け る 境 界 の 形 状 に よ っ て 決 ま る 係 数 マ ト リ ッ クスである. 境 界 上 の 変 位 お よ び 表 面 力 を 離 散 化 しEq.(2.1) を 基 に 系 全 体 の 境 界 要 素 法 の 方 程 式 を 作 成 す る こ と に よ り ， 次 式 の よ う な マ ト リ yク ス 方 程 式 が 得 ら れる. こ の 離 散 化 の 方 法 お よ び 基 本 解 等 の 取 扱 い に つ い て は ， 境 界 要 素 法 に 関 す る 入 門 書 等 ( 例 え ば 文 献[6J[7])を 参 照 さ れ た い .
︑ill︑
fi ll sJ
B l B
p p
ril﹄
41 1l
G t︑
一 一
︑111t︑paEE‑‑EJ
B F h
uu
ri
‑‑
J︑4
11
H E︑ ( nJん nJh )
こ こ で ，H， Cは 係 数 マ ト リ ッ ク ス ， UB， PBは 境 界
r
B上 で の 節 点 変 位 ベ ク ト ル ， 節 点 表 面 力 ベ ク ト ル ，U
占，Pk
は 内 部 境 界r
l上 で の 節 点 変 位 ベ ク ト ル ， 節 点 表 面 力 ベ ク ト ル を そ れ ぞ れ 表 す Eq.(2.2)に 左 か ら C‑'を 作 用 さ せ る と 次 式 を 得 る .ηJV
4・1A
，
r
I3Fig. 2.1 Combination of boundary and finite elements in a crack problem
︑l ''
ttpf﹄llノBFB
P P
一 一
︑11﹄ ︐ ︾
f'tllJ
U U
H
G
︑︑IJ内4 u
nJ白︐︐a︑
さ ら に ， 節 点 表 面 力 ベ ク ト ル を 節 点 荷 重 ベ ク ト ル に 変 換 す る マ ト リ ックスMを Eq. (2.2)の 左 か ら 作 用 さ せ る こ と に よ り ， 次 式 の よ う な 有 限 要 素 型 の 方 程 式が得
られる [5J[6].
︑lis﹀111 1J
BlB
F F
ffflJ︑l1i︑
︑
一 一
﹄
11︑P51
} Bノ
BIB
U U
fa‑B︐4
h 'ptt︑
B K ) anuz
nfゐ(
こ こ で
KB = M C‑1 H ︑︐︐︐
F︑d‑n
tf︑ f 'u
BfB
P P
M
一 一
F F
)
︽'h u
η ι
rt︐︑
一方 ， 領 域Ql ' に 対 し て は ， 次 式 の よ う な 有 限 要 素 法 の 平 衡 方 程 式 が 得 られる.
︑I
ll
1﹀ ︐
44tiノFfムF
F F
︐FIF
一 一
U U
fllJIll
K ︑ ︑
︐fntt
η ι
(
ここ で，Kpは間IJ性 マ ト リyクス， UF， UTは 節 点 変 位 ベ ク ト ル，FF， Ftは 節点 荷重 ベ ク トルである. このう ち， Ut， Ftは ， 特 に 内 部 境界
r '
上の値を示 して一 14 ‑
いる. 内 部 境界
r '
上 で の迎合 条件 お よ び平衡 条 件 Uら= Ub= UIFら
+
F b.= 0( 2. 8) ( 2. 9) を斤J~ ¥ると，Eq. (2.1)と Eq.(2.7)は 次 式 の よ う な一 つの 宵 限 要 素 法の 苧衡 方 程 式 に ま と め ら れ る.
︑lili‑‑︑ ︐
11 11 11 J
B F
F o F
rill‑‑ど11111L
一 一
︑BEEEEEEEt︾F
E l l
J︐‑
B I F
U U U
﹁ili‑‑J
︑
til t‑ tL
rF
0 K
l B l F
K K
ミヌゴ
K o
( 2. 10)
ここで， K~ ， KkはKBの 部分 マ ト リ ッ ク ス，Kt，
K
f;はKFの 部 分 マ ト リ ッ ク ス で あ る Eq.(2.10)を 全 体 剛 性 マ ト リ ッ ク ス K， 全 体 変 位 ベ ク ト ルU，全体 節 点 荷 重 ベ ク ト ルF を 用 い て 次 式 の よ う に書 き 直 す .KU=F
︑
IJ唱Bfム 4 ll a A nソrμ︐︐z︑︑
Eq. (2.11)を 解 く こ と に よ り ， 系 全 体 の 節点 変 位 が 求 め ら れ る.
2. 2. 2 仮 想 き 裂 進 展 法
F i g. 2. 2に 示 す よ う な 力 を 受 け る き 裂 を 有 す る 体 系 を 考 え る. こ の と き 系 全 体 の 領 域Qの ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ‑ I 1 は ， 次 式 で 示 さ れ る.
I1
= f o
'1Y d Q ‑f r f
u d f (2.12)ここで，
r
は ， 外 部 境 界，'1Yは ひ ず み エ ネ ル ギ ー 密 度 関 数 ，/ は 外 力 と し て 作 用 す る 表 面 力 ベ ク トル， uは 変 位 ベ ク ト ル を 示 す . 上 式 を 有 限 要 素 マ ト リ yクス で 示 す と 次 の よ う に な る .
H = ÷ UTK U ‑ UTF nHV ︑ ︑ J︐ ︐
‑EEA
n ' •
'u ft︑
ここで， () T は ， 転 置 を 表 す . I1をき裂長さ Gで 偏 微 分 す る と ，
a
I1a
UT J ̲ ̲ ̲ ̲ ̲， 1 __~a
K ̲̲ __~a
F一τ一一σσ =一~ぴα一 (KU-F) 2
一 一 一
U‑T‑ ‑ a = ‑ ‑ 一 一 a ‑.
U+ ‑a
UT"':::'̲a
:̲̲̲r h︐︑ nFL ‑ 1i a nヨ ︑︑ ︐ ︐ ︐
この式で， Eq. (2.11)より ，KU‑F=Oで あ る . また， き 裂 進 展 時 の エ ネ ル ギ ー 解 放宰 は， 次 の よ う に 与 え ら れ る .
H
一
Gベ ぴ
一司 ︒
一 一
伊汐 ︑'︑. p a '
F︑JVl
nFJU ︐︐E
︑
r︑υ
'IA
，
f
/
¥ 泊。
ノ~ l 勿 勿 ‑
Ql
¥ ム
‑‑‑、、
Fig. 2.2 A finite element model for a crack analysis
したがって， エ ネ ル ギ ー 解 放 率 ヲ は ，
一 一
ヲ
i 申 a K ̲̲̲ a F一一一UI~U
+
UT~2 ‑ aα 3 α
︑ ︑ J '
内h H
‑ E ' u ‑
ム
'ハ 'u t︐ ︐ ︑
で 与 え ら れ る. さらに， き 裂 の 進 展 に 伴 っ て 外 力 が 変 化 し た り ， き 裂 の 表 面 に 外 力 が 作 用 し た り す る こ と が な い 系 に お い て は ， θF/aa=O であるから， その よ う な 系 で の エ ネ ル ギ ー 解 放 率 は ， 次 式 で 示 さ れ る.
ヲ
1̲̲̲ aK
= 一 一 一UT~ ‑‑U
2 ‑ a a
︑ ︑ ︐ ︐
J
司e af
句lム
•
内J
'u
t︐ ︐ ︑
Eq. (2.17)を 要 素 の 節 点 変 位 Uiと 要 素 の 剛 性 マ ト リ ッ ク ス kiを 用 い て 次 式 の よ う に 差 分 形 で 書 き 直 す .
ヲ ー ー ヂ一 ' 一
1.
:‑U. T
一 一‑ ULlk?τ~ 2 ‑‑. Ll
σ
( ηJL l n xu ︑ ︑ ︐ ︐ ︐ここで， Nは 全 育 限 要 素 数 を 示 す Fi g. 2. 2に 示 す 全 体 領 域Qの う ち ， 微 小 き 裂 進 展4σ によって， き 裂 先 端 を 取 り 囲 む 部 分 領 域QI内 の 有 限 要 素 の み が 変 形 す
n hυ
41s&
る と す る と ， 残 り の 領 域Q1で の 剛 性 マ ト リ ック ス は 変 化 し ない. よって，
ぜーム ~H
'，~-一 、 一 ‑‑ . ， r ・‑‑‑ ~k i .
H.
v ~ 2 ‑‑， Llα ( 2. 19)
ここ で， i
=
1→N
tは 領 域Q l内 の 有 限 要 素 を示す.以 仁 の こ と は ， 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に つ い て も あ て は ま る . す なわち， 2. 2. 1項 に お け るFi g. 2. 1に お い て ， 微 小 き 裂 進 展 を 考 え る 際 に ， Q fの 有 限要 素 の み が 変 形 す る と す れ ば ， こ の き 裂 先 端 の 周 りの 育 限 要 素
i
=
1→N:;に つ い てEq.(2.19)を 適 用 す る こ と に よ り エ ネ ル ギ ー 解 放率ヲが得 ら れ る.このこ と を 次 式 に 示 す .
ヲー= ‑
タ
7 . ‑;1..::‑UTi一LJk一一‑ Ui~ 2 ‑， Ll
σ
︑︑ ︐ ︐
︐nHU
nf
iu
nJL ︐
︐ ︐ ︑ ︑
応 力拡 大 係 数Ktは エ ネ ル ギ ー 解 放 率 よ り次 式 で 求 め ら れ る.
Kt=
，jE' 亨 E' =E
E ' =E/ (
1一
ν2)(Plone Stress) ) (Plone Stroin) J
)
41A nJL
︽ソfu︐︐l︑
た だ し，
E
は 縦 弾 性 係 数 ( ヤ ン グ 率 )， νは ポ ア ソ ン 比 で あ る .2. 3 解 析 結 果 お よ び 考 察
2. 2節 に 示 し た 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 を 実 際 の き 裂 問 題 に 適 用 した. まず， き 裂 先 端 に 配 置 す る 有 限 要 素 の 大 き さ ， き 裂 進 展 量 の 大 き さ 等 の 指 針 を 得 る た め に ， 引 張 り を 受 け る 中 央 き 裂 付 き 帯 板 の 解 析 を 行 っ た 結 果 に つ い て述べ， こ の 解 析 で 得 ら れ た 指 針 に 基 づ い て コ ン パ ク ト 引 張 試 験 片 の 解 析 を 行 っ た 結 果 を 示 す.
2. 3. 1 引 張 り を 受 け る 中 央 き 裂 付 き 帯 仮 の 解 析
F i g. 2. 3に 示 す 引 張 り を 受 け る 中 央 き 裂 付 き 帯 仮 の き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 を行っ た. 解析は， F i g. 2. 4の よ う に ， 系 の 対 称 性 を 考 慮 し た1/4領 域 を 離 散 化して 行い ， 境 界 要 素 と し て 3節 点二次 の ア イ ソ パ ラ メ ト リ yク 要 素 を 用いた.
き裂先端の育限要素には， Fig. 2.4(b)に 示 す よ う に 8節 点 ア イ ソ バラメト ッリy
ク 要 素を 用い， き 裂 先 端 の 応 力 の 特 異 性 を 考 慮できる 1/4中 間 節点移 動特異 要 素
マ1・EZム
[8 ][引を!日いたちのと (Mnlhod 1)，特 j~
t
il:を考慮しない通常の肖liN要素をJfiいた もの('v1nlhod2)の 両 万 を険l汁した. また， そ の 阿 }jについて，r
i g. 2. Hb)に示 す よ う に， き 裂 先端の 訂 限 要 素 の 寸 法fを 変 化 さ せて 解 析 し た.まず， き 裂 中 央 開 口 変 位 δを 上 記 の二 つ の方法で求め，同慌の!日
L W
に 対 す る Tadaら の ハ ン ド ブ ッ ク の 仙 [1 0 ]と比較した Tadaらによれば，δ= (4σJa/E' )V(ξ) (ξ=a/W)
V(ξ)
=
‑0. (J7)‑O.:)，Xiξ+0. [69ξ2+0.0Wξ3̲1. (J7[ (1/ξ) 1 og (1一ξ) ( 2. 22)で あ る Tada与 の 値をδ・とし，本 解 析 結 果 δの δ・か ら の 相 対 偏 差 (o‑or)/ot x 100 (%)を， き 裂 先 端 の 有 限 要 素 の き 裂長 さ に対 す る 相 対 寸法 L/aを 横 軸 に と っ てFi g. 2. 5に 示 し た. こ こ で，
a
はFi g. 2. 3に お け る き 裂 の半 長 で あ り， fは，F i g. 2. 4の (b) に 示 し た き 裂 先 端 の 有 限 要 素 の 代 表 長 で あ る .ま た ， 問 機 の 例 に つ い て ， 仮 想 き 裂 進 展 法 に よ っ て 無 次 元 化 応 力 拡 大 係 数 FJ (=KJ
/ σ 。 イ
na) を も と め ， 中 央 き 裂 を 有 す る 無 限 長 帯 板 に 対 す る lsidaの 解 析 値 (Ffと す る )[11 ] と の 相 対 偏 差 をFi g. 2. 6に 示 し た. なお， こ の 際 の 仮 想、き 裂 進 展 量 Llaは，Lla/a=1O‑8 とした.Fig. 2.5， Fig. 2.6より， き 裂 先 端 に 特 異 有 限 要 素 を 配 置 し た Method1の 方 法 を 用 い る と ， 解 の 精 度 が き 裂 先 端 の 有 限 要 素 寸 法 に ほ と ん ど 影 響 さ れ ず ，
L/a二0.2と い う よ う な 大 き な き 裂 先 端 要 素 を 配 置 し て も 解 の 精 度 が 全 く 低 下 し な い こ と が 解 る.
次 に ， 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 適 用 す る 際 の ， 仮 想 、 き 裂 進 展 量L1
a
の 大 き さ に つ い て 検 討 し た Fi g. 2. 7から Fig. 2.10に Mesh1から Mesh4の そ れ ぞ れ の 場 合 に お け る 仮 想 き 裂 進 展 量 Lla
を 変 え た 場 合 の 解 析 値 の 精 度 の 変 化 を 示 し た .これより， との場合でもLla/
α=
10‑4"'‑‑[0‑J 3 と い う 広 い4 α
の 範 囲 で 解 の 精 度 が 一定 と な る こ と が わ か る L lα/α
が10‑4よ り 大 き い 場 合 に 解 の 精 度 が 低 下 し ているが， こ れ は Eq.(2.19) に お け る (L1ki/L1a )の 差 分 近 似 が 成 り 立 た な く な る た め と 考 え ら れ る. また， Lla
を 極 端 に 小 さ くと る と 計 算 機 の 有 効 桁 数 を 越 えL1k iの 差 分 が 得 ら れ な く な る L1a/aが10‑1 Jよ り 小 さ い と こ ろ で 解 の 精 度 が 急 激 に 低 下 す る の は こ の た め と 思 わ れ る . なお，本 計 算 は 倍 精 度 ( l Word=64bi ts)で 行 っ た が ， 単 精 度 の 解 析 で は こ の 限 界 は10ー は よ り 大 き く な る と 考 え ら れ る .‑ 18 ‑
σO ~ X2
ロ
W W
国
σ 。
H=2.5W
a I W= 0
I5
X1
Fig. 2. 3 A centrally cracked plate under uniform tension
‑19 ‑
![Table 6 . 1 Stress intensity factor of center cracked adhesive joints Present So l . F ， [ ー ] Refer e nce S o l . F f [ ー ] Deviation [% ] O](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123deta/9787240.1870392/96.911.58.839.27.1070/table-stress-intensity-factor-cracked-adhesive-present-deviation.webp)
