し 」 同

廿斗

﹁l

﹁

L ι

ト→

 

T4 

﹁ ﹁

0 . 6  

ハ﹀

ハ ﹀ 5

w  

o w  

1 . 0  

Fig.  3.10  Variation  of  the nondimensional stress  intensity  factors FI  and FII wi th R/W for  a center  arc  crack  in  a plate under  uniform uniaxial tension. 

‑ 43 ‑

( h )  二申In方 向 の 引^t援 り を う け る 場 合

同慌の円弧き裂が， F i g.  3.  11に 示 す よ う に二軸 方 向 の 引 恨 何 毛 を 受 け る 場 合 の 解 析 結 果 を 示 す. 前 と 同 慌 に き 裂 の 開 き 角 α=π/ぺで， き 裂 の 大 き さ を R

ノ

W=O.1"""'0.  8と な る よ う に 変 化 さ せ て 解 析 を 行 っ た . 解析結果は，

EQ. (3.4 ) に し た が っ て FI，F日 の 形 で 無 次 元 化 し た Fig. 3.12に 解 析 結 果 を 示す. ここで， ・，・印 は 無 限 仮 中 の 円 弧 き 裂 が 二 軸 方 向 の 引 張 り を 受 け る 場 合 の 解 析 解 か ら 求 め た 結 果 で あ り， そ の 他

( 0

，口 ) は 本 解 析 結 果 を 示 す . こ の解析解は， S i hら[4]に よ っ て 次 式 の よ う に 求 め ら れ て い る . 応 力 拡 大 係 数 を EQ. (3.4) に 従 っ て 無 次 元 化 し た と き ，

F f = cos (α/2) ，  _F~

= 

^siη(α/2 )  nu  ‑ ^{勺i r︑ ︑ ︐} l︐ ︐ ︑

本解析結果は， R/Wが 小 さ く な る に つ れ て な め ら か に 無 限 仮 中 の き 裂 の 解 析 解 に 近 づ い て お りJ X2軸 方 向 の 引 張 り の 場 合 同 搬 に 妥 当 な も の と 考 え ら れ る .

こ れ ら の 解 析 値 をR/W=Qで 無 限 仮 の 解 を と お る R/Wの3次 の 他 項 式 と し て 最 小 二 乗 法 に よ り 近 似 式 を 求 め る と 次 式 が 得 ら れ た .

ξ=R/W 

FI 

= 

0.9239+0.0560f‑0.0077f2+0.2145f3  Fo 

= 

0.3827+0.0508f +0.0267f2+0.2297f3 

( O.  0豆f~ 0.8に お い て 解 析 値 と 近 似 式 の 誤 差 は:!:0.3%以 内 ) (3.8) 

国

国

σ 。

σ 。 ^{/~ X  2} 

H=2.0W 

a =π / 4  

w  、 ^J

σ 。

σ 。

Flg.  3.11  A center arc crack in  a plate  under  unL['orm  bLaxLal  tcnslon. 

‑45  ‑

一一一寸

AI l‑

‑

AI

t‑

‑

1 . 0   0 . 9  

0.8 

同

L ι  

ト‑l

し 」 o . プ

0 . 6   0 . 5   0.4  0 . 3  

0 . 0  

干1

14

﹁ ﹁

5 w  

o 町 ^{1 . 0}  

Fig.  3.12  Varlation  of  the  nondimensional  stress  intensity  factors  FI  and  FII wi th R/W for  a center  arc  crack  in  a plate under  uniform biaxial  tension 

‑H  ‑

3.  4 結 ^{一 言口}

本章では， き 裂 先 端 部 に 育 限 要 素 を 配 置 し ， そ の 他 の 領 域 を 境 界 要 素法で 離 散 化 し ， 有 限 要 素 領 域 に 仮 怨 き 裂 進 展 法 を 適 用 し て 応 力 広 大 係 数 を 求 め る と い う解 析手法を 混 合 モ ー ド き 裂 問 題 に 適 用 し た . 得 ら れ た 結 論 は 次 の と お り で あ る .

( 1 )  中 央 傾 斜 き 裂 の よ う な 直 線 の 混 合 モ ー ド き 裂 の 場 合 ， き 裂 先 端 部 に か な り 大 き な 有 限 要 素 を 配 置 す る こ と が 可 能 で あ る . 本 論 文 で の 結 果 で は ， き 裂 先 端 に 配 置 す る 有 限 要 素 の 代 表 寸 法 fが， き 裂 の 代 表 長 さ Gに 対 し て l/σ=O.  4と な る よ う な 大 き な 有 限 要 素 を 配 置 し て も 解 の 精 度 の 変 化 は ほ と ん ど な か っ た .

( 2 )  中 央 円 弧 形 き 裂 の よ う な 曲 線 き 裂 の 場 合 ， き 裂 先 端 の ほ ぼ 直 線 と 見 な せ る 小 さ な 部 分 に 有 限 要 素 を 配 置 す る 必 要 が あ る .

( 3 )  境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 適 用 す る 方 法 に よ っ て ， 混 合 モ ー ド き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 を 1% 以 内 の 高 い 精 度 で 求 め る こ と が で きる.

( 4 )  中 央 円 弧 形 き 裂 付 き 有 限 平 板 が 一 軸 お よ び 二 軸 の 引 張 り を 受 け る 場 合 の ， き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 最 小 二 乗 近 似 式 を 作 成 し た .

J己リ&.】

Uに 対 応 す る 座 悼のXl申111に 対 休 な点、で の変 位ベク トル 均 質{本 中 の き 裂 近 傍 に お け る 変 位 の モ ー ドI成分

均 質 体 中 の き 裂 近 { 芳 に お け る 変 位 の モ ー ド 日 成 分

【

m3

‑(;t 変 位ベク ト ル

u= : u 1 ・U.:2} 

u = lLL1'.  U2 

1‑ )"  ，，1¥ 

U'= i Ll:. u.'2i  u¹={ul. LL~}

エ ネ ル ギ 解 法 率

エ ネ ル ギ ー 解 放 事 ヲ の モ ー ド I成 分 エ ネ ル ギ ー 解 放 率 ヲ の モ ー ド 日 成 分 有 限 要 素 法 の 要 素 の 剛 性 マ ト リ yクス 有 限 要 素 法 の 要 素 の 節 点 変 位 マ ト リ ックス

有 限 要 素 法 の 要 素 の 節 点 変 位 マ ト リ yク ス の モ ー ド I成 分 有 限 要 素 法 の 要 素 の 節 点 変 位 マ ト リ yク ス の モ ー ド 日 成 分 i=l. N^p  :  き 裂 先 端 に 配 置 し たNF個 の 有 限 要 素 の 番 号

仮 想、き 裂 進 展 量

き 裂 寸 法 を 代 表 す る 長 さ. ヲ

ヲ ヲ

k

..dG  Ui 

u l  

u; E 

片 側 が 外 部 に 開 口 し た き 裂 の 場 合 き 裂 全 長 を 示 す .

KI  : 応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド 1)  Kn  :  応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド II) 

FI  :  無 次 元 化 さ れ た 応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド 1)  Fn  :  無 次 元 化 さ れ た 応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド II) 

F 

T  :  無 次 元 化 さ れ た 応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド 1) の 参 照 解 F 

i  : 

無 次 元 化 さ れ た 応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド II) の 参 照 解 E  : 縦 弾 性 係 数

ポ ア ソ ン 比 作 用 分 布 荷 重

き 裂 の 傾 斜 角

き 裂 先 端 に 配 置 す る 有 限 要 素 の 代 表 寸 法

き 裂 を も っ 構 造 体 の 代 表 寸 法 ， 本 章 で は 板 幅 の 1/2 円 弧 き 裂 の き 裂 の 開 き 角

円 弧 き 裂 の 円 弧 の 半 径

円 弧 き 裂 に お け る き 裂 の 代 表 寸 法 ， 円 弧 き 裂 の 半 長 に 相 当 す る

=R/W.  円 弧 き 裂 の 仮 幅 に 対 す る 相 対 的 な 大 き さ を 示 す 埋 没 き 裂 の 場 合 き 裂 半 長 ，

。

σ 。

α 

Rご

W  α  R  ν 

8 

‑48 

【 ヨ

13 I't ; 1s=巧之I~jk】

[1]  Ish[kawa， 11.，  ¥ifinitc elcmcnt  an凡Iys[sof strcss [ntcns[ty  fぇclors for comb[ned tens[le and  shcar 10九d[ngby  only a v[rlual  crack extcnsion.， Int.  J.  f/・，1C l . ， 1 6 ( 1 9 8 0 )， R 2 ~ 3 

[2 ]  北 川 . 結 城.有 限 阪 中 の 任 怠 形 状 き 裂 の て 手 向 ウ 惚 に よ る 解 析 (第 l報，併 析 法 の 開 成 と そ の 適 用 可 能 性 )， ~/J， n‑376(1977)， 435~

[3]  Atluri， S.  N.， Kobayash[， A.  S.  and  Nakagak[， ~.. An  assumcd  d[splacement  hybrid  finite clcmcnt  modcl for linear  fracture  mechanics..  /nt. J.  f/・Jct.， 11(1975)， 257 

[4J  Sih， G.  C.， Paris， P.  C. and Erdogan， F.， Crack‑t[p.  stress‑ intensity  factors  for plane extens[on  and  plate bending  problems..  J.  A fJ fJ  / . .1/ e c 17 " 8 4 (1 9 6 2)， 3 0 6 

‑ 49  ‑

第 4 章

境界要素法と有限要素法の結合解法による応力拡大係数解析 ( 軸 対 称 3 ^{裂 問 題 l こ対する適用)}

‑50 ‑

:ニプ2

第2， 3，主において， き 裂 先 端 に の み 有 限 要 素 を 配 し ， そ の 他 の 領 域 を 境 ! 斥 要 素 法 に よ っ て 離 散 化 す る 結 合 解 法 に 仮 怨 き 裂 進 展 法 を 組 み 込 む 万 法 を ほ 案 し ， こ れ に よ っ て， 境 界 要 素 法 の 入 力の 労 力を 軽 減で き る と い う 特 質 と 仮 足 ! き 裂 進 展 法 の 特 質 の 両 方を 生 か す こ と が 可 能 で あ る こ と を 二 次 元 平 面 問 題 を 例 に 示 し た。

実 際 の 椛 造 物 の 中 に は， 軸 対 称 体 と し て 取 り 扱 え る も の も 少 な く な い . そこ で ， 本 章 に お い て は境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結合 解 法 に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 適 用 す る 方 法 を 軸 対 称 問 題に 適 用 し た 結 果 を 示 す。

鮪 4 

事由対称 解 析 方 法

ま ず ， 軸 対 称 問 題 に 対 す る 境 界 要 素 法 の 基 礎 式 に つ い て 説 明 す る . 問 題 の 境 界 要 素 法の 基 礎 式 は 次 式 の 様 に 与 え ら れ る。

4.  2 

2

πf r 

^{p;j (P. Q) Uj (Q)γ (Q) d} 

^r 

) 1i ‑

an

官

︐ ︐ ︐

︑

+ 

2

πf r 

^{u;J (P. Q) Pj (Q)γ (Q) d} 

^r 

Cij (P) U j (P) 

‑I B

‑/  

守fM

mHM 

.. ︐︐ 

VF I 

m μ  

Z 

r 

。

P 

にムコ

Y 

Definition of axisymmetric  coordinate  system 

r 

i g. 4.  1 

‑51 

ここで1IJ I  p.は 崎 県 上 の 点 、 で の 変 位 お よ び 長!日}]を γは対体申111か うQ点、ま での 距 離 を示す. またI U;; (P. Q) I Pi: (P. Q) ま;I'~IU ^，('I 休 問 題のJJ¥転向午[1 ]  でありFi g， 4， 1に 示 す よ う にIP点、に j方 向

r n

^{位ITUI('I体 何'Hが 作 用 す ると きの}

Q}互において 生 じ る j 方 向 の 変 位 お よ び 何

u i

を示す CiJはP}~，i，が間以内部に ある と き ， 次 式 の 慌 に な る .

Ci， = ~ ¹ (i=j) 

I 0 ( i^学j) 

) n

︐ ︐

M 

e n‑

︐︐

︑ ︑

また， P点 が 境 界 上 に あ る と き， C^ijは 境 界 形 状 に よ っ て 決 ま る 係 数 で あ る . 通 常 の 二 次 元 問 題 や 三 次 元 問 題 に お い て は ， 間JI体 変 位 条 件 を 用 い て こ れ を 求 め る こ と が で き る が ， 軸 対 祢 問 題 に お い て は γ方 向 に 剛 体 移 動 す る こ と が で き な いた め ， 次 の よ う な 方 法 を 用 い てCυ を 決 定 し た[2]. 

まずZ方 向 の 成 分 C;2 (i 

=

γ. z)  に つ い て は ， 岡JI体 変 位 条 件 に よ り 次 式 の よ う に 決 定 す る こ と が で き る.

Ciz (P) 

=  ‑

2

「 イ

^{PJ(P Q ) uz(Q)γ (Q) dr  ( 4. 3)} 

っさに， γ方 向 成 分 C;γ (i=r. z)  に つ い て は ， 等 温 膨 張 の 熱 伸 び を 拘 束 す る こ と に よ り 生 じ る 応 力 が ー 憾 で あ る 条 件 を 用 い て 決 定 し た. すなわち，

L'J

T

の 等 温 膨 張 を 拘 束 し た と き に 生 じ る 応 力 は ， T一νA

一

2α一一E一1

一 一

σ 

σ  一 一

σ

け =0 ( 4.  4) 

ここで，

E

はヤング率， νはポアソン比， αは 線 膨 張 係 数 で あ る . こ の と き 、 境 界 上 で の 表 面 力 お よ び 変 位 は 、 次 の よ う に な る 。

︑ ︐ BE'k︐

E ''

f﹄Jηη 

rf lf

l︿1ll︑

T一UV

A 一

2α

一 一

E一1i

︑1 一 一

lrllJk

ny ny  

rlEl︿l﹄t︑ ^( 4， 5) 

︑ ︐

aE l

h_﹀

lf t

p t'

γ z  

tr ι tt

︿E

t‑

α 

A  T  ‑︑ 一 一

︑llir‑‑EJ

u u  

r‑

‑ a‑

4︑

a la ‑︑ (4. 6) 

ここで， (ηηηz) は 境 界 上 で の 外 向 き 単 位 法 線 ベ ク ト ル で あ る . Eq.  (4.6)をEq.(4.1)に 代 入 す れ ば 次 式 を 得 る .

︐ ︑ ︑

B︐

︐ ︐

FhJu 

an

‑

'' t ︑

円u.

nHU 

r t  

︐G 

︑ ︐

/Q 

Y 

︑

a

fl

‑‑Jar

Q Q   y z  

rillミ1﹄l

ik

‑‑l﹄h

ll JZ ZE Jl

γ z  

p p  

v'

'v

e‑

︐ザ︐e v

ρ. Da  

F﹁tlili‑‑L

﹁‑

fl

Ej

 

π つω

︑︑J'P 

7M  

︑₁

11

︑rillJ 2 2  

''

' 4  

c c  

r 'I 1

﹄ 1 1

︐ ︑

IE

E tt︑

︑lir‑‑J 一 一

γ2 

c c  

ri‑‑4︑1

r 

p 

11︑

r 

^{iUr;  Urn} 

^{i η}

^r 

^{1 γ}

^(Q) E 

+ 

27[1 '‑'̲  --' ~， ~ ._'(

J  r  l u z ;  u z ; J  

.!ηzJ (1 ‑2ν) 

) 

司tf‑

SA

吋 ・

︐︐

︑

qJU r︑JV

よって， E(j. (1.3)， E(j.  (1.7)に よ ってC:}の 全 て のは分を決 定 す る こ と が で き る E (j. (，¥. 1)を 境 坪 安 素 を 用いて 離 散 化 す る こ と によ り 次 式 の よ う な述立一次}jft'l 

式 を 得 る.

H UB = G P3  FI︐︑ HI A‑ ^nMU  ⁾ 

ここで， H， Gは 係 数 マ ト リ ッ ク ス ， UB， PBは 境 界 「 上 で のiiii点変 位ベク トル，

節 点 表 面 力ベ ク ト ル を そ れ ぞ れ 表 す.

E q (，1. 8) を用 いて， 2章 の二次 元 問 題 の 場 合 と同様 に 境 界 要 素法 と 有 限 要 素 法を 結 合 する こ と に よ っ て 系 全 体 の有限 要 素 法の 平衡 方 程 式

K U = F   _(1. 9) 

を得る. こ こ で，Kは 剛 性 マ ト リ yクス，

u

は 節点変 位 ベ ク ト ル， Fは節点 荷重ベ ク ト ル で あ る.

Eq. (4.9)を 解 く こ と に よ り 系 全 体 の 節 点 変 位 を 求 め ， や は り 第2章 の 二次 元 問題 の場合と 同 様 に き 裂 先 端 の 有 限 要 素 に 仮 想 き 裂 進 展法を 適 用 す る こ と に よ ってき 裂 のエ ネ ル ギ 解 放 率ヲが 得 ら れ る . す な わ ち ，

u k一GA一4 u l一2

M m Z

山

伊ゲ ( 4. 10) 

こ こ で，Uiは 有 限 要 素 の 節 点 変 位，kiは 要 素 の 剛 性 マ ト リ ^yクス ， .Ll aは 仮 想、き裂進展量で あ り， i 

= 

^{l.........N F} は き 裂 先 端 部 に 配 置 さ れ た 有 限 要 素 に ついて の 和 を と る こ と を 示 し て い る.

ま た ， 軸 対 称 問 題 の き 裂 先 端 で は 平 面 ひ ず み 状 態 が 成 り 立 つ た め ， 応 力 拡 大 係 数 は 次 式 で 求 め ら れる.

ドキュメント内 境界要素法による応力拡大係数の解析(界面き裂への 適用) (ページ 50-60)