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X 2  

χ l  

Fig.  6.12. 阿esh geometry uscd in an edge  cracked bimaterial  plate. 

ー 102‑

6.  ti 結 ^{一 言 ロ}

本章では， き 裂 先 端 部 に 有 限 要 素 を 配 置 し ， そ の 他 の 領 域 を 境 界 要 素 法 に よ っ て 離 散 化 す る ， 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 に ， 仮 想、き 裂 進 展 法 を 組 み 込 む 方法に よ っ て ， 接 着 層 内 に き 裂 を 有 す る 中 央 き 裂 仮 と ス カ ー フ 継 ぎ 手 の 解 析 を 行なった. ま た ， 本 手 法 に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 に Ml積 分 法 の 考 え 方 を 取 り 入 れ る こ

と に よ っ て 解 析 を 行 う Matosら [4Jの 方 法 を 適 用 す る こ と に よ り 異 極 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の モ ー ド 分 離 を 可 能 と し ， 中 央 界 面 き 裂 が 引 張 り を 受 け る 場 合 と 片 側 界 面 き 裂 が 曲 げ を 受 け る 場 合 に つ い て 解 析 し た . 得 ら れ た 結 論 は ， 下 記 の と お り で あ る .

( 1 )  中 央 き 裂 を 持 つ 接 着 構 造 物 の 解 析 結 果 よ り ， 本 手 法 が 接 着 権 造 物 に 対 し て も 適 用 可 能 で あ る こ と が わ か る .

( 2 )  接 着 剤 層 内 に き 裂 を 有 す る ス カ ー フ 継 ぎ 手 に 対 す る 解 析 結 果 よ り ， 応 力 拡 大 係 数 が 接 着 剤 層 の 厚 さ に よ っ て 変 化 す る ば か り で な く ， モ ー ド 1， モ ー ド E の 応 力 拡 大 係 数 の 比 が 複 雑 に 変 動 す る こ と が わ か っ た . こ の こ と よ り ， 文 献 [1 

J 

の よ う に ， 材 料 試 験 等 に お い て ， 接 着 剤 単 体 中 の き 裂 に 対 す る 解 析 結 果 よ り 求 め た モ ー ド 1， モ ー ド Eの 応 力 拡 大 係 数 の 比 を 接 着 剤 層 内 の き 裂 に 適 用 す る こ と は で き ず ， 与 え ら れ た 接 着 構 造 に 対 し て 解 析 を 行 な い ， そ の 比 を 決 定 し な け れ ば な

ら な い こ と が わ か る .

( 3 )  中 央 界 面 き 裂 の 解 析 結 果 よ り ， 本 手 法 に よ っ て モ ー ド 分 離 を 含 め た 精 度 の 良 い 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 が 行 え る こ と が わ か る . この際，

仮想、き裂進展法としては， き 裂 先 端 に 接 す る 有 限 要 素 を 変 形 せ ず に 一 つ 外 側 の 要 素 の 形 状 を 変 形 し て き 裂 を 進 展 さ せ る 必 要 が あ る .

‑103  ‑

【第 6章 記 号 表 】

ヲ : エ ネ ル ギ 解 法 率

K1  :  応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド 1)  Ko  : 応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド 11) 

F1  :  無 次 元 化 さ れ た 応 力 鉱 大 係 数 ( モ ー ド 1)  F日 :  無 次 元 化 さ れ た 応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド 11) 

F  f  : 

無 次 元 化 さ れ た 応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド 1) の 参 照 解

F 5  : 

無 次 元 化 さ れ た 応 力 拡 大 係 数 ( モ ー ド 11) の 参 照 解

β  :  エ ネ ル ギ ー 解 法 率 と 異 種 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 を 関 係 づ け る 係 数 α  :  異 種 材 に 関 す る 定 数(bielastic constant) 

Ej(j=1.2)  : 材 料 j の 縦 弾 性 係 数 μj (j=1. 2)  :  材 料 j の せ ん 断 弾 性 係 数

ν^j (j=1. 2)  :  材 料 j の ポ ア ソ ン 比

U(I)  解 析 対 象 ( 状 態 1) の 変 位 ベ ク ト ル

U (2)  • 解 析 対 象 に 重 ね 合 わ せ る 系 ( 状 態2) の 変 位 ベ ク ト ル

U (1+2)  状 態 1と2の 系 を 重 ね 合 わ せ る こ と に よ っ て 得 ら れ た 系 の 変 位 ベ ク トノレ

σ (1)  • 解 析 対 象 ( 状 態 1) の 応 力 テ ン ソ ル

ぴ(2) • 解 析 対 象 に 重 ね 合 わ せ る 系 ( 状 態2) の 応 力 テ ン ソ ル

σ(1 +2)  • 状 態1と2の 系 を 重 ね 合 わ せ る こ と に よ っ て 得 ら れ た 系 の 応 力 テ ン ソノレ

K_j(I)  (j=I. II)  解 析 対 象 ( 状 態1) の き 裂 の 応 力 拡 大 係 数

K j (2)  (j 

= 

^{1.  II)}  解 析 対 象 に 重 ね 合 わ せ る 系 ( 状 態2) の き 裂 の 応 力 拡 大 係 数

K j ( 1 +2) (j 

= 

1. II)  _{状 態} 1と2の 系 を 重 ね 合 わ せ る こ と に よ っ て 得 ら れ た 系 の き 裂 の 応 力 拡 大 係 数

ヲ

(1) • 解 析 対 象 ( 状 態 1) の エ ネ ル ギ ー 解 放 率

ヲ

(2) • 解 析 対 象 に 重 ね 合 わ せ る 系 ( 状 態 2) の エ ネ ル ギ ー 解 放 率

ヲ

(1+2)  状 態 lと2の 系 を 重 ね 合 わ せ る こ と に よ っ て 得 ら れ た 系 の エ ネ ル ギ ー 解 放 率

M1  :  =2β{K 1 ( 1) K 1 (2) 

+ 

^{K 0 ( 1) K 0 (2) }} 

ki  :  有 限 要 素 法 の 要 素 の 剛 性 マ ト リ yクス Ui  :  有 限 要 素 法 の 要 素 の 節 点 変 位 マ ト リ ^yクス

i=l. NF  :  き 裂 先 端 に 配 置 し た N f'個の有限要素の番号 4α  :  仮想、き裂進展量

α  : 

き 裂 寸 法 を 代 表 す る 長 さ . 埋 没 き 裂 の 場 合 き 裂 半 長 ， 片 側 が 外 部 に 関 口 し た き 裂 の 場 合 き 裂 全 長 を 示 す .

き 裂 先 端 に 配 置 す る 有 限 要 素 の 代 表 寸 法

w 

き 裂 を も っ 構 造 体 の 代 表 寸 法

一 104‑

σ 。

作 用 分 布 荷 重

h  : 接 着 剤 層 の 厚 み を 代 表 す る 寸 法 ( 各 体 系 図 を 参 照 さ れ た い )

r  .  縦 弾 性 係 数 の 比 ( 接 着 斉IJ層 中 の き 裂 の 解 析 で は r= E 

2 / 

E 

1

， 異 種 材 界 面き裂の解析では r=E l/ E~ としていることに注意)

f且 :  き 裂 を 代 表 す る 任 意 の 長 さ

M  : 

曲 げ モ ー メ ン ト

(=σoW2/6 ) 

‑ 105 ‑

【第61主 参考文献】

[1]  sascom， W. D.  and  Oroshnik， 1.，  Effcct  of  bond  angle  on  mixed‑mode  a d h e s i v c f r a c t u r e， J.  IItl t e r i (j  / S c i.， 1 3 ( 1 9 78)， 1 4 11 

[2]  Yau， 1.  F.， Wang， S.  S.  and  Corten !l. T.， A mixed‑mode  crack 

analysis  of  isotropic  solids  using  conservation  laws  of  elasticity.， 

J.  app/. Jlecl7.，  0‑2(1980)， 335 

[3]  Yau， J. F. and  Wang， S. S.， An  analysis  of  interface cracks  between dissimilar  isotropic  materials  using  conservation  integrals  in  elastici ty.， Engn.e fl・3ct.Jlecl7.，  20‑3(1984)， 423  [4]  Matos， P. P.  L.， Mcmeeking， R.  M.， Charalambides， P.  G. and  Drory， 

M.  D.， A method  for  calculating  stress  intensities  in  bimaterial  fracture， Int.  J.  fl・act.^， 40(1989)， 235. 

[5]  Sun， C. T.， and  Jih， C.  1.，  On  strain  energy  release  rates  for  interfacial  cracks  in  bi‑material  media， Engng fl・act. lIecl7.，  28‑1(1987)， 13. 

[6]  結 城 ・ 曹 ， 異 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 境 界 要 素 解 析^， l1J i~， 5 5 ‑5 1 0 ，  A(1989)， 340. 

[7]  Lee， K.  Y.  and  Choi， H.  J.， Boundary  element  analysis  of  stress  intensity  factors  for  bimaterial  interface  cracks， Engng  fl・ac t.  lIecl7.，  29‑4(1988)， 461. 

[8]  Ishikawa， H.， A finite  element  analysis  of  stress  intensity  factors  for  combined  tensile  and  shear  loading  by  only  a virtual  crack  extension.， Iρt.  J.  fract.， 16(1980)， R243 

[9]  Malyshev， B.  M.  and  Salganik， R. L.，  The  strength  of  adhesive  joints  using  the  theory  of  cracks， Int.  J.  fl・act..， 1(1965)， 114.  [10]  結 城 . 曹 . 松 本 ， 木 須 ， Hetenyiの 基 本 解 を 用 い た 効 率 的 境 界 要 素 弾 性 解 析 ，

II~首， 53‑492， A(1987)， 1581. 

[ 11 ] 石田， き 裂 の 弾 性 解 析 と 応 力 拡 大 係 数 ， (1976)， 145， 培 風 館 .

‑ 106  ‑

第 7 章

境界要素法による界耐裂の応力拡大係数解析 ( 仮 想 8 裂進展法の適用)

ー 107 ‑

7.  1 緒 ^{一 言口}

第6章において， き 裂 先 端 の み に 有 限 要 素 を 用 い ， そ の 他 の 部 分 を 境 界 要 素 に よ っ て 離 散 化 す る 境 界 要 素 法 と 有 限 要 素 法 の 結 合 解 法 を 用 い て こ れ に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 組 み 込 む 方 法 を ， 異 母 材 界 面 き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 に 利 用 す る 方 法 に つ い て 提 案 検 討 し た .

本 章 で は こ の 方 法 を 発 展 さ せ， 結合 解 法 を 用 い る 代 わ り に き 裂 先 端 に 仮 想 的 な 有 限 要 素 を 想 定 し ， こ れ に 仮 想 、 き 裂 進 展 法 を 適 用 す る 方 法 を 提 案 し ， こ れ に よ っ て 界 面 き 裂 を 含 む 混 合 モ ー ド き 裂 の 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 が 行 え る こ と を 示 す .

7.  2 解 析 方 法

通 常 の 有 限 要 素 解 析 に 仮 想 き 裂 進 展 法 を 適 用 す る 場 合 に は ， F i g.  7. 1の 左 側 に 示 す よ う に ， 有 限 要 素 解 析 に よ っ て 得 ら れ た 節 点 変 位 デ ー タ を 仮 想 き 裂 進 展 法 の た め の ポ ス ト プ ロ セ ッ サ に受 け 渡 し， ポ ス ト プ ロ セ ッ サ は 仮 想、き 裂 進 展 方 の 式 (Eq. (2.19). Eq.  (3.2). Eq. (4.10). Eq.  (6.6)など ) に 従 っ て，エ ネ ル ギ 解 放 率 ヲ を 計 算 す る .

Post  Processor 

(Virtual  Crack  Extension  Method) 

Energy  Release  Rate 

Fig.  7.1 Process of  energy release rate analysis by  using  virtual  crack  extension method. 

‑ 108  ‑

同HHρしvm川 円ド

L uv︐ レ

山 一

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i 

r t u a I 

Finite  Element 

Fig. 7.2  Concept  of  virtual  fini te  elements  around  the  crack  tip. 

こ れ に 対 し て ， 本 手 法 で は Fi g.  7.  2に示すように， き 裂 先 端 を 囲 む よ う に 点 線 で 示 す よ う な 有 限 要 素 を 仮 定 し ， こ の 仮 想 的 有 限 要 素 の 節 点 変 位 を 境 界 要 素 法 に よ っ て 解 析 し た . さ ら に こ の 節 点 変 位 を Fi g.  7. 1の 右 側 に 示 す よ う に ， 有 限 要 素 法 の 場 合 と 同 じ ポ ス ト プ ロ セ ッ サ で 処 理 す る こ と に よ っ て エ ネ ル ギ 解 放 率 を求めた.

この仮想的有限要素は， あ く ま で 仮 想 的 に 配 置 す る も の で あ り ， 実 際 の 応 力 解 析 は 境 界 要 素 法 の み で 行 な い ， 仮 想 的 有 限 要 素 の 節 点 変 位 は 境 界 要 素 法 に よ る 解 析 の 境 界 の 変 位 お よ び 内 点 の 変 位 と し て 求 め た .

異 種 材 界 面 き 裂 の 場 合 ， 荷 重 条 件 が 単 一 モ ー ド で あ っ て も 応 力 拡 大 係 数 は ， 混 合 モ ー ド 状 態 と な り ， モ ー ド 分 離 が 必 要 と な る こ と は 第6章 に 述 べ た と お り で あ る. 本 章 の 手 法 に お い て も ， 第 6章 と 同 様 に Yau and  Wang  ‑ Matos  [lJ [2J [3J  の 重 ね 合 わ せ の 原 理 を 用 い た 仮 想 き 裂 進 展 法 を 用 い る こ と に よ っ て 解 析 を 行 っ た .

す な わ ち ， 仮 想 的 に 配 置 し た き 裂 先 端 の 有 限 要 素 に 対 し て ， Eq. (6.7)‑‑

Eq. (6.9)を 適 用 す る こ と に よ っ て ， 異 極 材 界 面 き 裂 の 各 モ ー ド の 応 力 拡 大 係 数 を 求めた.

7.  3 解 析 結 果

7.  3.  1  均 質 体 中 の き 裂 の 応 力 砿 大 係 数 解 析

仮 想 有 限 要 素 を 用 い た 境 界 要 素 法 で の 仮 想 、 き 裂 進 展 法 の 有 効 性 を 調 べ る た め に ， F i g.  7.  3に 示 す よ う な ， 中 央 き 裂 を も っ 矩 形 板 が 一 棟 引 張 り 荷 重

σ

。を 受 け る 場 合 に つ い て 解 析 し た.

解 析 は ， 板 幅 に 対 す る 相 対 的 な き 裂 長 さ

a/W

が O.5の 場 合 に つ い て 解 析 を 行 い，結果は， FI = K，/ (σ。イ 五 五 ) の 形 で 無 次 元 化 し ， 石 田 の 解[4]を参照解と

し て 解 析 結 果 の 精 度 を 評 価 し た .

まず，仮想、き裂進屡の方法として， F i g.  7.  4の Type 1 の よ う に き 裂 先 端 に 接 す る 仮 想 有 限 要 素 の み を 変 形 さ せ て き 裂 を 進 展 さ せ る 方 法 と ， Type 2の よ う に き 裂 先 端 の 仮 想 有 限 要 素 は 変 形 さ せ ず に 一 つ 外 側 の 有 限 要 素 を 変 形 さ せ る こ と に よ

っ て き 裂 を 進 展 さ せ る 二 種 類 の 方 法 を 比 較 し た .

また， き 裂 先 端 付 近 の 要 素 分 割 の 粗 さ と 解 析 精 度 の 関 係 を 調 べ る た め に ， F i g  7.  4に お け る 仮 想 有 限 要 素 の 代 表 長 fを l/a=0.5，0.2，0.1，0.05と な る よ

う に 変 化 さ せ て 解 析 を 行 っ た . 例として， F i g.  7.  5にl/a=0.5お よ びO.2  の 場 合 の 要 素 分 割 図 を 示 す .

解 析 に お け る 境 界 要 素 は ， 二 次 要 素 を 用 い ， き 裂 先 端 の き 裂 端 境 界 要 素 と し て ， F i g.  7. 6に 示 す よ う に き 裂 先 端 の 境 界 要 素 の 中 間 節 点 を き 裂 先 端 側 に1/4移 動 さ せることによって， き 裂 先 端 か ら の 距 離 を γと す る と き に き 裂 関 口 変 位 が イ

7

に 比 例 す る 特 性 を 精 度 良く 内 挿 す る き裂 端 特 異 境 界 要 素 ( 以 後 ， A型 特 異 要 素 と 呼 ぶ)と， これに加えて， リ ガ メ ン ト 側 の 境 界 要 素 の 表 面 力 の 内 挿 関 数 に 次 式 の よ う な 係 数 を 乗 じ て ， 応 力 の

1/

イ

7

の 特 異 性 も 表 し た き 裂 端 特 異 境 界 要 素

[ 5 ]

(以 後，

B

型 特 異 要 素 と 呼 ぶ ) の 二 つ の き 裂 端 特 異 境 界 要 素 を 用 勺 て 解 析 を 行 い 比 較

しTこ

κ(γ)

寸 [ l f ( 1 ーの l

^{︐ ︐ ︐ ︑ ヴl • ‑EEム ︐︑ ︑ ︐ ︐}

ここで， γは き 裂 先 端 か ら の 距 離 ， f eは き 裂 端 特 異 境 界 要 素 の 長 さ で あ る . 以 上 の よ う な 条 件 に お い て ， 解 析 を 行 っ た 結 果 を Table7.1に示す.

σ 。

Fig. 7.3 A centrally cracked  rectangular  plate  under  uniform tension. 

ドキュメント内 境界要素法による応力拡大係数の解析(界面き裂への 適用) (ページ 108-118)