境界要 素法 に よる波動場 の柱体周 りの流 況 お よび波 力の解析
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(2) 867. 境界要素法 による波動場 の柱体周 りの流況 および波力 の解析 の 渦 点 に よ る速 度 ポ テ ンシ ャル で あ り,ГAkた お よびFBK(k =1〜M)は. 反 時 計 回 り を正 とす る循 環 ,(xAk,yAk)よ. (9). び. (xBx,yBk)は 放 出 され た渦 点 の位 置 を表 す. 境 界 条 件 は柱 体 表 面 ∂〓お よび 無 限 遠 ∂Cに お い て,そ れ ぞ れ 次 式 で与 え られ る.. (2)積. 分 方程 式 の 離 散 化. 図‑2に. 示 す よ う に,柱 体. 壁 面 をN分 割 す る.せ ん 断速 度 の 大 き さ を 表 す γ(ξ)は各. (6). (∂〓上). 分 割 要 素 上 で は一 定 値 γj(j= 1〜N)と. (7). (∂C上). し,iを. 分割要 素上. の 中 点 とす る と,式(8)お. よ. こ こに,nは 柱 体 壁 面 上 に お い て,壁 面 上 に立 て た 内 向 き. び 式(9)は. 単 位 法 線 ベ ク トル で あ る.. 式 の よ う に離 散 化 さ れ る.. 式(2)を. 式(7)に. 選 点iに 対 して 次. 図‑2離. 散化 の概念 図. 代 入 す る と,無 限 遠 に お い て は,式. (7)は 自動 的 に満 た さ れ る た め,式(6)に. 式(2)を. 代入. す る こ と に よ り,次 の γ(ξ)に関 す る積 分 方 程 式 が 得 られ る.. (10). (11) この 式(10)お よ び 式(11)で 与 え られ るN個. (8) こ こに,nxは. 法 線 ベ ク トルnのx成. に 関 す るN+1個. 分 で あ り,剥 離 点 か. ら放 出 さ れ た 渦 点 の 循 環ГAkお よ びГBkは,循. 環 の時 間. の連 立 方程 式 を 最 小 二 乗 法 を用 い て 解. く こ と に よ り,N個. 変 化 率 が 柱 体 の 剥 離 断 面 を通 過 す る渦 度 フ ラ ッ ク ス の総 和 に 等 しい こ とか ら求 め られ る(Sarpkaya,1975).ま. よ り,式(2)の. よ びyBkは,移. た,. 動前 の渦点. の位 置 にお け る水 粒 子 速 度 にキ ザ ミ時 間 を掛 け る こ と に よ り求 め られ る.な お,式(8)は. 未 知 量 γ(ξ)を 含 む速度. の未 知 量 γjを一意 に求 め る こ とが で. き る.こ れ を,式(4)に ま っ て い る 式(3)の. 渦 点 の 移 動 位 置xAk,yAk,xBkお. (3)解. 代 入 して φBを算 定 し,す で に定 φwと 式(5)の. φvを 加 え る こ と に. Φ を決 定 す る こ とが で き る.. 析 結 果 お よび 考 察. 解 析 例 と して,図‑3に,波 6cmの. の 未 知 数 γj. 動 場 に設 置 され た 対 角 線 長. 正 四 角 柱 周 りの 水 平 方 向水 粒 子 速 度 の ベ ク トル. ポ テ ン シ ャ ル φBのノ イ マ ン条 件 で あ る た め,φBを 一 意. 図 を示 す.計 算 条 件 は,h=45cmお. 的 に定 め る た め に は,γ(ξ)に 関 す る ひ とつ の付 加 条 件 が. し,波 の位 相 は周 期 をTと す る と,角 柱 中 心 軸 上 に波 峰. よ びzp=‑9cmと. 必 要 とな る.本 論 で は この 付 加 条 件 と して 次 式 に示 す ケ. お よ び 波 谷 が 来 る と きが,そ. ル ビ ン の循 環 定 理 を用 い る.. 0.75で あ る.角 柱 壁 面 上 の 要 素 分 割 数 はN=128と. 図‑3速. 図‑4速. 度 ベ ク トル 図(本. 度 ベ ク トル 図(特. 解 析 法,KC=8.0,T=1.5sec). 異 点 分 布 法,KC=8.0,T=1.5sec). れ ぞ れt/T=0.25お. よび し,時.
(3) 868. 海. 岸. 工. 学. 論. 文. 集. 第41巻(1994). 間 ス テ ップ 間 隔 は,放 出 渦 点 数 が 流 況 に応 じた適 当 な個 数 に な る よ う に,Δt/T=0.1/KCを =UmaxT/D(Umaxは. (13). 用 い た.た だ し,KC. 入 射 波 の 最 大 水 粒 子速 度)で あ る.ま. で 与 え られ る.こ こ に,pは. 柱 体 壁 面 に作 用 す る圧 力 で. た,放 出 した 渦 点 に は粘 性 に よ る渦 の 減 衰 拡 散 効 果 を考. あ る.式(12)に. 慮 した粘 性 渦 モ デ ル(坂 田 ら,1983)を. ヌー イ の定 理 を適 用 す る と,Fのx方. 適 用 し た.な お,. 図 中 の 矢 印 の 向 き は水 粒 子 速 度 の 方 向 を示 し,矢 印 の 長. 方 向 力Fyは. 式(13)を 代 入 し,非 回 転 場 にお け るベ ル. 複 素 表 示(巽,1982)を. 向 力 瓦 お よ びy 用 い て,. さ は,各 点 の水 粒 子 速 度 を入 射 波 の 水 粒 子 速 度 の 角柱 中. (14). 心 で の値 に よっ て 基 準 化 した もの で あ る. 図‑3はKC=8.0,周. 期T=1.5sの. 場 合 で あ るが,波. 峰 側 の位 相 お よび 波 谷 側 の 位 相 時 に,そ れ ぞ れ 角 柱 前 面 お よ び背 面 に 明瞭 な 一 対 の 渦 対 が 形 成 され て い る. 次 に参 考 の た め,図‑4に. した 場 合 の 特 異 点 分 布 法(石 田 ・北 山,1992)に. な るた め,流. 体 場 にお け る複 素 速 度 ポ テ ン シ ャルfに. 関 して. とな り,式(14)右. は式(15)を 用 い. よ る正 場 合 は従. 来 の 実 験 結 果 で は,柱 体 背 後 に対 称 な渦 対 が十 分 成 長 す る領 域 で あ るが,図‑4の. 虚 数 単 位 で あ り,ρ は 流 体 の 密. 流速 の 平 方 和 を表 す.ま た,dzはdz=dx‑idy. で あ る.さ ら に,柱 体 壁 面 上 で はdψ=0と. 壁 面 上 の 渦 点 個 数 を128と. 四 角 柱 周 りの速 度 ベ ク トル 図 を示 す.KC=8の. と表 され る.こ こ に,iは 度,q2は. 特 異 点 分 布 法 で は,図‑3の. (15) 辺 第1項. お よ び第2項. て そ れ ぞ れ 次 式 の よ う に変 形 さ れ る.. 本. 解 析 法 に よ る結 果 に比 べ,渦 対 の 成 長 が や や 不 十 分 な よ. (16). うに 思 わ れ る.剥 離 点 か ら放 出 す る渦 点 の循 環 は剥 離 点 に お け る境 界 層 外 縁 流 速 か ら決 定 す るが,特 異 点 分 布 法 の場 合 に は,壁 面 上 に配 置 す る 渦 点 個 数 を いか に増 加 さ. (17). せ よ う と も,渦 点 間 の 中点 以 外 で は柱 体 内 外 へ の流 体 の 出入 りが生 じ るた め,剥 離 点 か ら放 出 す る渦 点 の循 環 が. 以 上 よ り,柱 体 に作 用 す る流 体 力 は次 式 で与 え られ る.. 適 切 に算 定 さ れ な い 危 険 性 が あ る.こ れ に対 し,本 解 析. (18). 法 で は,柱 体 壁 面 上 の 法 線 方 向速 度 は 積 分 方 程 式 の離 散 化 時 に お け る柱 体 壁 面 の 分 割 個 数 に比 例 して,全 壁 面 上. 式(18)は 非 定 常 流 に拡 張 した ブ ラ ジ ウ ス の公 式 で あ る.. で の 法 線 方 向速 度 が 一 様 にゼ ロへ 収 束 す るた め,特 異 点 分 布 法 に比 べ て壁 面 境 界 条 件 の 計 算 精 度 が 向 上 し,よ. り. 妥 当 と思 わ れ る結 果 が 得 られ た と考 え られ る.. 3.波. 次 に,式(18)を. 流 体 場 の 複 素 速 度 ポ テ ン シ ャ ルfは. (19). 力 お よび 波 力係 数 の解 析 で あ り,そ. (1)波. れ ぞ れ,. 力 式 お よ び 波 力係 数. 著 者 ら(石 1992;石. 用 い て 波動 場 に設 置 さ れた 任 意 断 面 を. 有 す る柱 体 に作 用 す る波 力 を誘 導 す る.本 研 究 に お い て,. 田 ・北 山,. 田 ・斎 藤,1992). (20). は波 動 場 に 設 置 され た 任 意 断 面 形 状 を有 す る柱 体 に作. (21). 用 す る 波力 を 算 定 す る波 力 式 をす で に誘 導 して い る が,本 論 で は,以 下 に述 べ る流 体 力 の定 義 に基 づ き,. 図‑5流. 体力 の概 念図. 別 途 に波 力 式 を誘 導 す る. 図‑5に. 柱 体 に作 用 す る流 体 力 の概 念 図 を示 す が,図. 中 にお い てFは. (22) で与 え られ る.こ こに,式 中fwは. 柱 体 に作 用 す る流 体 力 で あ り,tは. 壁面. 微小振幅波理論 に よる. 入 射 波 の み の 複 素 速 度 ポ テ ン シ ャル,fvは. 剥離渦 のみ に. よ る複 素 速 度 ポ テ ン シ ャル で あ る.ま た,ん. は柱 体 が 設. 上 の 表 面 応 力 ベ ク トル を示 す.柱 体 に作 用 す る流 体 力F. 置 さ れ た こ と に よ っ て生 じる擾 乱 速 度 に よ る複 素 速 度 ポ. を微 小 領 域 認 に作 用 す るtの 周 積 分 に よ り. テ ン シ ャル を,柱 体 壁 面 の分 割 個 数1V,分 割 要 素 長Lj(j =1. (12) で定 義 す るが,非 粘 性 流 体 の場 合tは,. ,N)お. よび 分 割 要 素 中点zj(f=1,N)を. 用 いて離散 的. な 渦 点 に 置 き直 した 複 素 速 度 ポ テ ン シ ャル で あ る.式 (18)右 辺 第1項. は,式(20),式(21)お. よび 式(22)の 複 素.
(4) 869. 境界要素法 による波動場 の柱体周 りの流況 および波力の解析 速 度 ポ テ ン シ ャル を用 い,こ れ ら に留 数 定 理 を適 用 す る. (27). こ とに よ り次 式 の よ うに変 形 さ れ る. こ こで,対 数 に 関 す る周 積 分 に対 して,. (28) (23) とな る リー マ ン面 を仮 定 し,さ ら に,剥 離 点 か ら放 出 さ こ こ に,Wは 速 度uお られ る.さ. 入 射 波 の複 素 速 度 で あ り,入 射 波 のx方. よ びy方. 向 速 度vを. ら に,式(23)の. 用 い てW=u‑ivで. 右 辺 は,k番. 向. れ た渦 点 に関 し て,新 た に 生 成 され る渦 点 の み が柱 体 内. 与 え. の領 域〓 に存 在 し,か つ放 出 後 は領 域 〓外 に移 動 す る と仮. 目 に放 出 され た. 定 す る と,式(27)は. 剥 離 渦 の位 置 にお け る水 粒 子 の複 素 速 度. (29) (24) とな る.な お,こ れ らの 仮 定 はM番 お い て,剥 離 点 か ら放 出 さ れ た1か. 目の 時 間 ス テ ップ に らM‑1番. 員 の渦 点 に. ケ ル ビ ン の循 環 定 理 を援 用 し て循 環 の 時 間 変 化 を無 視. (25). し,M‑番. 員の 渦 点 の み に循 環 の 時 間 変 化 を考 慮 す る こ と. (石田 ・北 山,1992)と を用 い て,次 式 の よ う に変 形 さ れ る(稲 室,1986).. 等 価 で あ る.. 以 上 よ りM番 目 の計 算 ス テ ップ にお け る波 力 式 は. (26) また,式(18)右. 辺 第2項. は 式(20),式(21)お. よ び式(22). (30). の 複 素 速 度 ポ テ ン シ ャ ル を 用 い て 次 の よ う に変 形 さ れ と誘 導 され,波. る.. の 進 行 方 向 波 力Fxは. 式(30)の 実 部 を と. り,次 式 とな る.. (31) モ リ ソ ン公 式 の抗 力 係 数CDお. よ び 慣 性 係 数CMの. 算. 定 は,そ れ らに関 す る連 立 方 程 式 か ら,各 時 間 ス テ ップ ご との 値 を求 め る 方 法 を用 い た(石. 図‑6波. 力 お よ び波 力 係 数 の位 相 変 化 (本 解 析 法,KC=6.0,T=1.0s). 図‑7波. 力 お よ び波 力 係 数 の位 相 変 化 (実 験 結 果,KC=6.0,T=1.0s). 図‑8波. 田 ・北 山,1992).. 力 お よび 波 力 係 数 の位 相 変 化 (特異 点分 布 法,KC=6.0,T= 1.0s).
(5) 870. 海. 図‑9CDcの. (2)解. 岸. 変 化(T=1.5s). 工. 学. 論. 文. 図‑10CDtの. 第41巻(1994). 変 化(T=1.5s). 図‑11CMsの. 変 化(T=1.5s). CMの 算 定 に際 して,波 力 の 位 相 変 化 に お け る,本 解 析. 析 結 果 お よび 考 察. 図‑6にKC=6,周. 集. 期T=1.0sと. した 波 力 お よ び 波. 法,実 験 お よび 特 異 点 分 布 法 に よ る波 力 の値 の小 さ な差. 力 係 数 の位 相 変 化 を 示 す.図 中 に お い て,上 段 の 図 の 実. が,大. 線,破 線 お よ び一 点 鎖 線 はそ れ ぞれ,波 力,抗. 波 力 の位 相 変 化 の 算 定 が 求 め られ る こ とに な るが,特. 力お よび. き く評 価 され て し ま う可 能 性 が あ り,よ り厳 密 な に. 慣 性 力 を表 し,下 段 の 図 の 実 線 お よ び破 線 は そ れ ぞ れ,. 波 力 の 最 大値 に関 し て は,本 解 析 法 よ る波 力 の最 大 値 が. 抗 力 係 数cDお. 実 験 値 と良 く一 致 し て い る こ とか ら,流 況 解 析 に お け る. よび 慣性 係 数CMを. 表 わ す.な お,波 力 は. 式(31)に 示 し た波 力 式 に よ る理 論 波 力 で あ る.. 境 界 条 件 の計 算精 度 の向 上 が 波 力 算 定 に対 して 特 異 点 分. 波 力 か ら抗 力 お よ び慣 性 力 へ の 分 離 は,抗 力 係 数 お よ び慣 性 係 数 の 位 相 変 化 を求 め,各 位 相 にお け る これ らの 値 と入 射 波 の 水 粒 子 速 度 お よび加 速 度 をモ リ ソ ン公 式 の 抗 力 項 お よび 慣 性 力 項 に適 用 す る こ と に よ り行 っ た. 図‑6か. ら,抗 力 は波 峰 お よび 波 谷 の 位 相 で 極 値 を と. る よ う に変 化 し,慣 性 力 は静 水 面 の 位 相 で 極 値 を と る よ うに 変 化 す る こ とが わ か る. 図‑7お. よび 図‑8は. 布 法 と比 べ て,よ. り適 切 な最 大 波 力 の 算 定 を可 能 に した. も の と考 え られ る. 5.結. 論. 本 研 究 に よ り得 られ た 結 果 を以 下 に 要 約 す る. (1)波. 動 場 に設 置 され た 柱 体 周 りの 流況 の 解 析 法 を. 柱 体 壁 面 にせ ん 断速 度 と等 価 な循 環 密 度 を分 布 させ,積. それ ぞ れ,波 力 お よ び波 力 係 数 の. 分 方 程 式 を用 い て定 式 化 した.一 例 と して 角柱 周 りの 流. 位 相 変 化 に 関 す る実 験 結 果 お よび特 異 点 分 布 法 に よ る解. 況 を解 析 した 結 果,本 解 析 法 に よ り角 柱 周 りの後 流 渦 の. 析 結 果(石. 状 況 を よ く表 現 す る こ とが 可 能 と な り,ま た,特 異 点 分. 田 ・北 山.1992)で. あ る.抗 力 と慣 性 力,お. よ び,波 力 係 数 の 位 相 変 化 に つ い て は,本 解 析 法 に よ る 結 果 お よび特 異 点 分 布 法 に よ る結 果 と も,実 験 結 果 の特. 布 に比 べ,壁 面 境 界 条 件 の計 算 精 度 の向 上 が 見 られ た. (2)本. 研 究 で 提 示 した 波 力 式 に よ る波 力 の最 大 値 は. 性 を十 分 説 明 す る まで に は至 っ て い な い が,波 力 の位 相. 実 験 結 果 と ほ ぼ一 致 し,こ の 波 力 式 を抗 力 を伴 う波 力 の. 変 化 に注 員 す る と,本 解 析 法 に よ る計 算値 は特 異 点 分 布. 算 定 式 と して 使 用 し得 る こ とが 確 認 され た.. 法 に よ る計 算 値 よ り も一 層 実 験 値 に 近 い 値 とな っ て い る. 図‑9,図‑10お と したKC数. よび 図‑11に. そ れ ぞ れ周 期 丁=1.5s. の 変 化 に伴 う波 力 係 数 の 変 化 を示 す.図‑. 9は 波 峰 の 位 相 に お け る抗 力 係 数CDcの. 変 化,図‑10は. 波 谷 の 位 相 に お け抗 力 係 数 るCDtの 変 化,図‑11は 面 の 位 相 にお け る慣 性 係 数CMSの. 静水. 変 化 を示 す.図 中,●,. ○ お よ び△ は それ ぞ れ,本 解 析 法 に よ る計 算 値,実 験 値 お よび 特 異 点 分 布 法 に よる計 算 値 を表 す. 本 研 究 で 対 象 と し たKC数4か は,概 し て,CDc,CDtお. よ びCMSと. ら10の 範 囲 に お い もにKC数. に よ らず,. ほ ぼ 一 定 の 値 を とっ て い る.し か し なが ら,CDtの 位 相 変 化 で は本 解 析 法 に よ る計 算 値 が 実 験 値 に近 い値 に な っ て い る が,逆 に,CDcの. 位 相 変 化 で は 特 異 点 分 布 法 に よ る計. 算 値 が 実験 値 に近 い値 に な っ て い る.さ らに,CMSの. 位相. 変 化 で は両 解 析 法 に よ る計 算 値 と も に実 験 値 よ り も小 さ な値 とな り,波 力 係 数 の変 化 に 関 して 本 解 析 法 お よ び特 異 点 分 布 法 の優 劣 を議 論 す る の は 困難 で あ る.CDお. よび. 参. 考. 文. 献. 石 田 啓 ・北 山 真(1992): 波 による正四角柱 の後流渦 および 波力 に関する研究, 土木学会論文集, No.456, II‑21,pp.55‑ 64. 石 田 啓 ・斎藤武久(1992): 特異点分布法 による柱体 に働 く波 力 の算定式, 海岸工 学論 文集, 第39巻, pp.741‑745. 坂 田 弘 ・足立武 司 ・稲室 隆二(1983): うず放出モ デル を用 い た は く離 を伴 う非定常 流れの一解 法, 日本機械学会論文集(B 編), 49巻, 440号, pp.801‑808. 稲室隆二(1985): 渦点法におけ る物体 に作用す る流体力 の一定 式化, 日本航空宇宙学会誌, 第33巻, 第383号, pp.728‑734. 巽 友正(1982): 流体 力学, 培風 館, pp.153‑155. 鷲津久一朗 ・鈴木真二(1975): 有限要素法 による二次元翼 の圧 力分布の解析 と空力設計, 日本 鋼構造構造協 会第11回 大会 研究会マ トリックス解析法研究発表論文 集, pp.449‑454. R. I. Lewis (1981): Surface vorticity modelling of separated flows from two-dimensional bluff bodies of arbitrary shape, J. Mech. Eng. Science, Vol. 23, No. 1, pp.1-12. Sarpkaya, T. (1975): An inviscid model of two-dimensional vortex shedding for transient and asymptotically steady separated flow over an inclined plate, J. Fluid Mech., Vol. 68, pp.109-128..
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