ん/

i  ^X  l=4.0(m m) 

/  ( d )  

い~--ーヂ-~ ( c )  

1 0   1 0 ‑ ¹ 

Xl=4.2  ( m f n )  

門ノι

ハ U i

‑ ‑ 1 m  

3 m  

o{ ‑

んY 司 ノ

1500 

1000 

500 

ω

ト

Z

一

O

止

ZO

一ト︿コ﹂︿>凶比()区U∞三コ

Z

Fig.  8.8 The  amount  of  integration  points  used  for  analyzing  the  displacement  and stress of  an  internal  point (χ1 =4. 2mm) 

F i g.  8.  5より， Case  1の場合， ( 

a  ) 

の 通 常 の Legendre‑Gauss積 分 で は す ぐに精度が低下するが，

(b ) 

の サ ブ エ レ メ ン ト 分 割 法 に よ っ て か な り 近 接 し た 点 ま で 精 度 の 低 下 が 生 じ ず ， (c)  (d)  の 二 重 指 数 関 数 積 分 と Newton‑Cotes積 分 に よ る 適 応 的 自 動 積 分 で は ， 非 常 に 境 界 に 近 い 点 で も 精 度 の 低 下 が な い こ と が わかる. また， F i g.  8. 6よ り (c)  (d) では， X2座 標 の 減 少 に 伴 っ て 次 第 に 総 積 分 評 価 点 数 が 増 え て い る が ， 適 応 的 自 動 積 分 の 方 が 二 重 指 数 関 数 積 分 よ り 積 分 点 の 増 加 が 滑 ら か で あ る こ と が わ か る .

次に， F i g.  8. 7より， Case  2の 場 合 に は ， サ プ エ レ メ ン ト 分 割 法 の 精 度 が 低 下 し ， 二 重 指 数 関 数 積 分 も Case 1に 比 較 す る と 格 段 に 境 界 か ら 遠 方 で 精 度 の 低 下 が 生 じ る . さらに Fi g.  8.  8よ り ， 二 重 指 数 関 数 積 分 の 総 積 分 点 数 はX2座 標 の 減 少 に 伴 っ て 極 端 に 増 加 し て い る こ と が わ か る . こ れ は ， 二 重 指 数 関 数 積 分 が ， 積 分 区 間 の 端 部 に 特 異 点 が あ る と き に は 有 効 で あ る が ， わ ず か で も 端 部 か ら は ず れ た 点 に 特 異 性 を も っ 関 数 に 対 し て は 非 常 に 効 率 が 悪く な る 性 質 を も つ た め であり， こ れ を 任 意 の 内 点 の 計 算 に 用 い る た め に は 特 異 点 を 検 出 し て 領 域 を 分 割 す る な ど の 工 夫 が 必 要 と 思 わ れ る . こ れ に 対 し て ， 適 応 的 自 動 積 分 法 で は ， Case  1の 場 合 と ほ ぼ 同 様 の 結 果 が 得 ら れ た . ま た ， 応 力 の 精 度 に つ い て も 同 械 の 傾 向 が 見 ら れ た .

以 上 の こ と よ り ， 適 応 的 自 動 積 分 で は ， 算 す る こ と が で き ， 境 界 要 素 法 に お い て ， 特 異 積 分 の 処 理 に 適 し た 積 分 手 法 と 考 え る .

境 界 に 近 接 し た 内 点 の 値 を 精 度 よ く 計 境 界 に 近 接 し た 内 点 の 計 算 を 行 う 際 の

135  ‑

8.  3  均 質 体 中 の き 裂 の 応 力 肱 大 係 数 の 解 析

8.  3.  1  適 応 的 自 動 積 分 法 に よ る 径 路 積 分 法

J積 分 あ る い は ， 次 節 で 述 べ る Ml積 分 の 径 路 積 分 に つ い て も 適 応 的自動積分 を 適 用 し た . 例えば， F i g. 8. 9に 示 す よ う な き 裂 の 径 路 積 分 の 場 合 ， 積 分径路 上 の 座 標 点 ① ⑦ を 指 定 す る こ と に よ っ て ， 各 点 の 聞 を 適 応 的 自 動 積 分 に よ って積 分 す る . こ れ に よ っ て ， わ ず か な 径 路 積 分 の た め の デ ー タ を 入 力 す る だ け で ， 希 望 す る 精 度 の 径 路 積 分 が 行 え る J積 分 の 式 は ， 次 の よ う に 示 さ れ る .

s d u

一 χ

﹃ぴ 二ぴ

T η 

γ 

F

︐ 

•• ••

︐

J 

ヲ 一 一

一 一

7J 

(8.  6) 

こ こ で ，

J

はJ積 分 値 ， ヲ は エ ネ ル ギ ー 解 放 率 ， 5はJ積 分 径 路 ，CWは ひ ず み エ ネルギ密度関数， η1は， 5上 で の 外 向 き 法 線 ベ ク ト ル のχ l方 向 成 分，TiはS上 に 作 用 す る 表 面 力 ベ ク ト ル，Uiは 変 位 で あ る .

⑤ 

Ev a  n ‑ ‑ w  

向調

U

割目且

nE LV

 

S 

④  χ] 

③ 

Fig.  8.9  Adaptive  automatic  integration  for  j‑integral 

また， こ の 場 合 の 適 応 的 自 動 積 分 に は ， Legendre‑Gaussの 4点 積 分 を 用 い ， 内 点 の 特 異 積 分 の 場 合 同 様 ， 汎 用 の サ ブ ル ー チ ン を 作 成 し て 使 用 し た Legendre

‑Gauss積分を用いたのは， Newton‑Cotes積 分 で は ， 要 素 の 端 に 積 分 点 が あ る た め ， 解 析 精 度 の 確 保 が よ り 困 難 な 境 界 上 の 応 力 値 を 必 要 と す る こ と と ， 積 分 が 特 異 積 分 と な ら ず 比 較 的 低 い 適 応 分 割 で 積 分 精 度 が 確 保 で き る 場 合 に は ， Legendre‑

Gauss積 分 の 方 が 計 算 時 間 の 点 で 有 利 で あ る こ と が 経 験 的 に 認 め ら れ た か ら で あ る.

8.  3.  2 解 析 結 果

適 応 的 自 動 積 分 法 に よ る 境 界 要 素 法 で の J積 分 解 析 の 有 効 性 を 調 べ る た め に ， Fig. 8.10に 示 す よ う な ， 中 央 き 裂 を も っ 矩 形 板 が 一 様 引 張 り 荷 重

σ

。を 受 け る 場 合 に つ い て 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 を 行 っ た . 解 析 は ， 相 対 的 な き 裂 長 さ σ/W

= 0.5の 場 合 に つ い て J積 分 値 の 目 的 精 度 を ε=1.0X10‑^Zと し て 解 析 を 行 っ fこ

σ 。

^爪

^X2

W  =  1 0 ( m m )  

σ 。 =

~， 807(MPa)

E=1.11  X 1 1 1 1 1 1 P d )   ν=  0

^， j 

区 ￨ _α  [ 。

P  1  a  n  e S  t  r  e  s  s 

区 ^w  w  ^χ1 

σ 。

Fig， 8.10  A centrally cracked rectan郡llarplate. 

ー 137 ‑

結果は， FI 

= 

K，/ (σ

。 、 ^I

n:

a 

) の 形 で 無 次 元 化 し ， 石 田 の 解 [6 

J

を 参 照 解 と し て 比 較 し た . 解 析 に お け る 境 界 要 素 は 二 次 要 素 を 用 い ， き裂端境界要素として，

7.  3節 に 示 し た 応 力 と 変 位 の 両 方 の き 裂 先 端 特 異 性 を 表 す A型 と ， 変 位 の み の 特 異 性 を 表 す B型 の 二 つ の き 裂 端 特 異 境 界 要 素 を 用 い て 解 析 を 行 い 比 較 し た .

まず， J積 分 径 路 の 選 び 方 と 応 力 拡 大 係 数 の 解 析 精 度 の 関 係 を 調 べ る た め に ， Fig.  8.11上 部 に 示 す よ う な 要 素 分 割 で 点 線 の よ う な 積 分 径 路 を と り ， き 裂 先 端 か ら 積 分 径 路 ま で の 代 表 距 離γを 変 化 さ せ て 解 析 を 行 っ た . 同 図 に 積 分 径 路 ま で の 代 表 距 離γと 石 田 の 解 を 基 準 と し た 解 析 値 の 誤 差 の 関 係 を 示 す .

これより， A型 の き 裂 端 特 異 境 界 要 素 を 用 い た 場 合 に は ， き 裂 先 端 の 境 界 要 素 の 長 さ よ り γが 小 さ い と き に 解 析 精 度 が 低 下 す る が ， B型 の き 裂 端 特 異 境 界 要 素 を用いた場合には， き 裂 先 端 の き わ め て 近 く に 積 分 径 路 を 設 定 し て も 解 析 精 度 は 低 下 し な い こ と が わ か る .

ま た ， 要 素 分 割 を 組 く し た 場 合 の 解 析 精 度 を 調 べ る た め に Fig. 8.12に 示 す よ う な 粗 い 要 素 分 割 に お い て ， 積 分 径 路 Path1 ‑‑‑‑ Path  3でJ積 分 解 析 を 行 っ た 結 果 を Table8.1に 示 す. こ の 表 で 通 常 分 割(Usual Mesh)として示したものは，

Fig. 8.11の 要 素 分 割 で Fig.8.12と 同 じ 位 置 に 積 分 径 路 を と っ て 解 析 し た 結 果 で あ る Table8.1よ り ， 要 素 分 割 を 粗 く し た 例 で も 応 力 拡 大 係 数 はO.5%以内 の 高 い 精 度 で 求 め ら れ て い る こ と が わ か る .

X2 

L 

e  p 

P I a  i  h ‑ J ‑ 4 1 

1 

1 a l   h

^・

2 ‑i

ulh14=11j 

φ : Y l ; i   j φ 

(!?  A;;

^晶一

;; ; lAl 

u 1 ̲ 1 人 ̲ f " ¥'‑"、̲/‑、~ IT¥ ^J I ~ 、，、I"+^.J‑ ̲̲ 

Fig.  8.12  A coarse  boundary element mesh for a centrally cracked  r e c t a n g u 1 a r p 1 a t e ( 

a 

/ W  = O. 5) . 

‑138 ‑

ドキュメント内 境界要素法による応力拡大係数の解析(界面き裂への 適用) (ページ 141-146)