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幾何学序論１

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Academic year: 2021

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(1)

幾何学序論１ K.Ichihara

集合族

集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合

幾何学序論１

市原一裕

2014

年

5

月

12

日（月）

2

限

1 / 6

(2)

幾何学序論１ K.Ichihara

集合族

集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合

小テスト

1.

全体集合

X

の部分集合

Y

について，

Y

cの定義を書き なさい．

2.

集合

A = { a }

に対して，

2

Aを列挙法であらわしな さい．

3.

集合

A

，

B

，

C

に対して，

(A ∩ B) ∪ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

を証明しなさい．

4.

集合

A

，

B

，

C

に対して，

A × (B ∪ C) ⊃ (A × B) ∪ (A × C)

を証明しなさい．

(3)

幾何学序論１ K.Ichihara

集合族

集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合

集合族とは

定義

1.6.1

【集合族（

family of sets)

】

ある集合

Λ

の各要素

λ ∈ Λ

に対応して，集合

A

λが与えら れているとき，この集合の集まり

{ A

λ

}

λ∈Λを，

Λ

を添字集

合（

index set

）とする集合族という．

注意

1.6.1

集合族と添字集合は，なんの関係もない．添字集合は単に ラベルをつけるだけのもの．

確認：以下では，全体集合

U

を一つ定めてあって，

{ A

λ

}

λ∈Λは，集合

Λ

を添字集合とする部分集合族をあ らわす．

3 / 6

(4)

幾何学序論１ K.Ichihara

集合族

集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合

集合族の和集合・共通部分

定義

1.6.2

【集合族の和集合】

集合族

{A

λ

}

λ∈Λの和集合とは

∪

λ∈Λ

A

λ

:= { x ∈ U | ∃ λ ∈ Λ s.t. x ∈ A

λ

}

例

1.6.1

Λ = { 1, 2 }

のとき，

∪

λ∈Λ

A

λ

= A

1

∪ A

2

一般には，

Λ

は自然数とは限らないので，このように列挙 するような書き方はできない．

定義

1.6.3

【集合族の共通部分】

集合族

{ A

λ

}

λ∈Λの共通部分とは

∩ A

λ

:= { x ∈ U | ∀ λ ∈ Λ, x ∈ A

λ

}

(5)

幾何学序論１ K.Ichihara

集合族

集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合

集合族の和集合・共通部分の性質

定理

1.6.1

全体集合

U

の部分集合族

{ A

λ

}

λ∈Λと

U

の部分集合

B

に対 して，以下が成り立つ．

1.

( ∪

λ∈Λ

A

λ

)

∪ B = ∪

λ∈Λ

(A

λ

∪ B)

2.

( ∩

λ∈Λ

A

λ

)

∩ B = ∩

λ∈Λ

(A

λ

∩ B)

3.

( ∩

λ∈Λ

A

λ

)

∪ B = ∩

λ∈Λ

(A

λ

∪ B)

4.

( ∪

λ∈Λ

A

λ

)

∩ B = ∪

λ∈Λ

(A

λ

∩ B)

5 / 6

(6)

幾何学序論１ K.Ichihara

集合族

集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合

集合族の補集合

定理

1.6.2

全体集合

U

の部分集合族

{ A

λ

}

λ∈Λに対して，次が成り 立つ．

1.

( ∪

λ∈Λ

A

λ

)

c

= ∩

λ∈Λ

(A

λ

)

c

2.

( ∩

λ∈Λ

A

λ

)

c

= ∪

λ∈Λ

(A

λ

)

c

参照

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