幾何学序論１

(1)

幾何学序論１ K.Ichihara

有理数とは

有理数の集合の構成有理数の定義約分有理数の演算逆数有理数の除法有理数の集合の濃度

練習問題

幾何学序論１

市原一裕

2014

^年

6

^月

30

^日（月）

2

^限

(2)

有理数とは

練習問題

小テスト

1. ^商集合 ( N × N )/ _∼ ^で Z ^{を定義したとき，}

− 5 ^{の定義を書きなさい．}

2. 商集合 ( N × N )/ _∼ で Z ^{を定義したとき，}

∀ x ∈ Z ^に対して x × 0 = 0 ^{を示しなさい．}

3. 商集合 ( N × N )/ _∼ で Z ^{を定義したとき，}

− 5 < 0 を証明しなさい．

(3)

有理数とは

練習問題

有理数の定義

定義

3.4.1

【

Q

，有理数（

rational number

）】

直積集合

Z × ( Z − { 0 } )

^{を考える．}

ここで，

(m, n) ∼ (m

⁰

, n

⁰

) ⇔ mn

⁰

= m

⁰

n

で定義される関係を考えると，これは同値関係になる．

そこで，商集合

Z × ( Z − { 0 } )/

_∼^を考え，

この集合を有理数の集合

Q

^{と定義し，}

その各要素を 有理数 と定義する．

(4)

有理数とは

練習問題

注意

3.4.1

分母に

0

が来ないようにするため，

Z × Z

^{ではなく，}

Z × ( Z − { 0 } )

^{を考える．}

注意

3.4.2 Q

^の「

Q

^」は，

Quotient

^{（商）の頭文字．}

注意

3.4.3

また公理的に定義することも可能（標数

0

の素体として）．

ここでの構成は，一般に，環から商体を作る構成法．

(5)

有理数とは

練習問題

約分

注意

3.4.3

【約分】

Q = Z × (Z − {0})/

_∼^{の要素で，}

その代表元が

(m, n)

^のものを^m_n ^で表す．

このとき，任意の

k ∈ Z − { 0 }

に対して，次が成り立つ．

m n = km

kn

つまり，

(m, n)

を代表元とする同値類と，

(km, kn)

を代表元とする同値類は等しい．

注意

3.4.5 n ∈ Z

^{に対して，}

(n, 1)

を代表元とする同値類

（つまり，

Q = Z × ( Z − { 0 } )/

_∼^{の要素）を}

n

^で表し，

整数

n ∈ Z

^{と同一視する．}

この同一視によって，

Q

^{の部分集合}

{

ⁿ₁

∈ Q | n ∈ Z}

^と整数の集合

Z

との間に全単射を作ることができる．

(6)

有理数とは

練習問題

有理数の演算

定義

3.4.2

【有理数の演算】

(a, b)

^{を代表元とする同値類}

x ∈ Q

^と，

(c, d)

y ∈ Q

^{に対して，}

x + y := (ad + bc, bd)

^{を代表元とする同値類}

x × y := (ac, bd)

^{を代表元とする同値類} と定義する．また，

x − y := x + (−y)

^{と定義する．}

(7)

有理数とは

練習問題

有理数の演算の性質

注意

3.4.6

これらの演算の定義については，整数の演算のように，

well-defined

であることを示しておく必要がある．

注意

3.4.7

有理数の大小関係も，整数のときと同様に定義する．

注意

3.4.8

これらの演算について，交換律や分配律など，

これまで使って来たような性質は，きちんと証明できる．

(8)

有理数とは

練習問題

有理数の逆数

定理

3.4.2

【有理数の逆数】

a

b

,

^c_d

∈ Q

^{について，}^a_b

×

_d^c

= 1

^ならば ^c_d

=

^b_a^{が成り立つ．}

注意

3.4.9

言い換えると，

(a, b)

x ∈ Q

^と，

(c, d)

y ∈ Q

^{に対して，}

x × y = 1

^ならば，

y

^は

(b, a)

^{を代表元としてもつ．}

さらに言い換えると，

x × y = 1

ならば，

(c, d) ∼ (b, a)

となる．

(9)

有理数とは

練習問題

有理数の除法

定義

3.4.3

【有理数の除法】

x, y ∈ Q

^{に対して，商}

x ÷ y

を「

x = y × z

をみたす要素

z

」として定義する．

注意

3.4.10

次の定理により，このような

x ÷ y

^{は必ず存在して，ただ} 一つである．

定理

3.4.2 Q = Z × ( Z − { 0 } )/

_∼の元 ^a_b と_d^cについて，次が成立．

a b ÷ c

d = a b × d

c

(10)

有理数とは

練習問題

有理数の集合の濃度

定理

3.4.3

自然数の集合

N

^{と有理数の集合}

Q

^{は対等である．}

つまり，全単射

N → Q

^{が存在する．}

また言い換えると，

Q

^{は可算集合である．}

(11)

有理数とは

練習問題

練習問題

練習問題

3.4.1

直積集合

Z × ( Z − { 0 } )

^{において，}

(m, n) ∼ (m

⁰

, n

⁰

) ⇔ mn

⁰

= m

⁰

n

で定義される関係は同値関係になることを示しなさい．

練習問題

3.4.2 Q = Z × ( Z − { 0 } )/

_∼の元として，

m n = km

kn

^{が成り立つこ} とを示しなさい．

練習問題

3.4.3

定義

3.4.2

^{で定義した有理数}

x

^と

y

^の積

xy

^が，

x

^と

y

^の代表元によらずに決まることを示しなさい．

幾何学序論１