幾何学序論１

(1)

幾何学序論１ K.Ichihara

差集合直積集合

直積集合とは直積集合の性質

冪集合冪集合とは練習問題

幾何学序論１

市原一裕

2015

年

4

月

27

日（月）２限

(2)

小テスト

1.

全体集合

A

の部分集合

B

に対して，

B

^cの定義をかきなさい．

2.

全体集合

U

の部分集合

X

に対して，

U ⊂ X ∪ X

^cを示しなさい．

3.

集合

U

の部分集合

A

，

B

，

C

について，

(A ∩ B) ∪ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

を示しなさい．

(3)

差集合とは

定義 1.3.4【差集合（diﬀerence set）】

２つの集合

A

と

B

について，

A − B := { x | x ∈ A, x / ∈ B }

を

A

と

B

の差集合という．

A − B = A ∩ B

^c

= A − (A ∩ B )

ともかける．

注意 1.3.5

A \ B

と書くこともある．

注意 1.3.6

(4)

差集合の性質

定理 1.3.7

２つの集合

A

と

B

について，

(A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A)

注意 1.3.7

(A ∪ B) − (A ∩ B )

のことを，

A

と

B

の対称差（たいしょうさ，

symmetric diﬀerence

）ともいう．

A △ B

であらわしたりする．

(5)

直積集合とは

定義 1.3.5【直積集合（direct product）】

２つの集合

A

と

B

に対して，

A

の要素

x

と

B

の要素

y

の組

(x, y)

全体の集合を，

A

と

B

の直積集合といい，

A × B

とかく．

注意 1.3.8

最初に「発見」したのは，ルネ・デカルト（

1637

年）．

（なので

Cartesian product

とも呼ばれる）．いわゆる座標．

注意 1.3.9

▶ 組

(x

₁

, y

₁

)

と

(x

₂

, y

₂

)

に対して，

(6)

直積集合の性質

定理 1.3.8

1.

集合

A

に対して，

A × ∅ = ∅ × A = ∅ 2.

集合

A

，

B

，

C

に対して，

· (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)

· (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) 3. A ⊂ X

，

B ⊂ Y

のとき，

(X × Y ) − (A × B) = ((X − A) × Y ) ∪ (X × (Y − B))

(7)

冪集合（べきしゅうごう）とは

定義 1.3.6【冪集合（べきしゅうごう，power set）】

集合

A

の部分集合の集合を

A

の冪集合（べきしゅうごう）

といい，

2

^Aであらわす．

注意 1.3.10

冪集合の記号はいろいろある．

P(A)

とか

P(A)

とか．

定理 1.3.9（冪集合の要素の個数）

要素が

m

個の集合

A

に対して，その冪集合は

2

^m個の要素

(8)

練習問題練習問題 1.3.4

２つの集合

A

と

B

について，

(A ∪ B) − (A ∩ B ) = (A − B) ∪ (B − A)

を証明しなさい．

（

Hint:

定義

1.3.4

と定理

1.3.6

と定理

1.3.4

を使う．）

練習問題 1.3.5

集合

A

，

B

，

C

に対して，

(A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C)

を証明しなさい．

練習問題 1.3.6

集合

A = {1, 3, 5}

に対して，

2

^Aを列挙法であらわしなさい．

練習問題 1.3.7

空集合

∅

^{に対して，}

2

^∅と

2

²^∅を列挙法であらわしなさい．

幾何学序論１

幾何学序論１

2015

4

27

小テスト

1.

A

B

B

2.

U

X

U ⊂ X ∪ X

3.

U

A

B

C

(A ∩ B) ∪ C ⊂ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

差集合とは

定義 1.3.4【 差集合（diﬀerence set）】

A

B

A − B := { x | x ∈ A, x / ∈ B }

A

B

A − B = A ∩ B

= A − (A ∩ B )

注意 1.3.5

A \ B

注意 1.3.6

差集合の性質

定理 1.3.7

A

B

(A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A)

注意 1.3.7

(A ∪ B) − (A ∩ B )

A

B

symmetric diﬀerence

A △ B

直積集合とは

定義 1.3.5【 直積集合（direct product）】

A

B

A

x

B

y

(x, y)

A

B

A × B

注意 1.3.8

1637

Cartesian product

注意 1.3.9

(x

, y

)

(x

, y

)

直積集合の性質

定理 1.3.8

1.

A

A × ∅ = ∅ × A = ∅ 2.

A

B

C

· (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C)

· (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C) 3. A ⊂ X

B ⊂ Y

(X × Y ) − (A × B) = ((X − A) × Y ) ∪ (X × (Y − B))

冪集合（べきしゅうごう）とは

定義 1.3.6【 冪集合（べきしゅうごう，power set）】

A

定義 1.3.4【差集合（diﬀerence set）】

定義 1.3.5【直積集合（direct product）】

定義 1.3.6【冪集合（べきしゅうごう，power set）】

練習問題練習問題 1.3.4