幾何学序論１

幾何学序論１ K.Ichihara

有理数とは

有理数の集合の構成 有理数の定義 約分 有理数の演算 逆数 有理数の除法 有理数の集合の濃度

練習問題

幾何学序論１

市原一裕

2015年6月29日（月）2, 4限

幾何学序論１ K.Ichihara

有理数とは

有理数の集合の構成 有理数の定義 約分 有理数の演算 逆数 有理数の除法 有理数の集合の濃度

練習問題

小テスト

直積集合 N × N ^の

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = c + b

で定義される同値関係による商集合として Z を定義したとして，以下の問いに答えなさい．

1. − 5 の定義を書きなさい．

2. 5 × − 1 = − 5 を示しなさい．

3. − 5 < 0 を示しなさい．

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練習問題

有理数の定義

定義 3.4.1【Q，有理数（rational number）】

直積集合Z×(Z− {0})を考える．

ここで，

(m, n)∼(m^′, n^′)⇔mn^′=m^′n

で定義される関係を考えると，これは同値関係になる．

そこで，商集合 Z×(Z− {0})/_∼を考え，

この集合を有理数の集合 Q ^{と定義し，}

その各要素を 有理数 と定義する．

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練習問題

注意

注意 3.4.1

分母に 0 が来ないようにするため，

Z×Z^{ではなく，}Z×(Z− {0})を考える．

注意 3.4.2

Qの「Q」は，Quotient （商）の頭文字．

注意 3.4.3

また公理的に定義することも可能（標数0の素体として）．

ここでの構成は，一般に，環から商体を作る構成法．

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練習問題

約分

注意 3.4.3【約分】

Q=Z×(Z− {0})/_∼の要素で，

その代表元が(m, n)のものを^m_n で表す．

このとき，任意のk∈Z− {0}に対して，次が成り立つ．

m n = km

kn

つまり，(m, n)を代表元とする同値類と，

(km, kn)を代表元とする同値類は等しい．

注意 3.4.5

n∈Z^{に対して，}(n,1)を代表元とする同値類

（つまり，Q=Z×(Z− {0})/_∼の要素）をnで表し，

整数n∈Z^{と同一視する．}

この同一視によって，Q^{の部分集合}{ⁿ₁ ∈Q|n∈Z}^と整 数の集合Zとの間に全単射を作ることができる．

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練習問題

有理数の演算

定義 3.4.2【有理数の演算】

(a, b)を代表元とする同値類x∈Q^と，

(c, d)を代表元とする同値類y∈Q^{に対して，}

x+y:= (ad+bc, bd)を代表元とする同値類

x×y:= (ac, bd)を代表元とする同値類 と定義する．また，x−y:=x+ (−y)と定義する．

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練習問題

有理数の演算の性質

注意 3.4.6

これらの演算の定義については，整数の演算のように，

well-defined であることを示しておく必要がある．

注意 3.4.7

有理数の大小関係も，整数のときと同様に定義する．

注意 3.4.8

これらの演算について，結合法則・交換法則・分配法則など，

これまで使って来たような性質は，きちんと証明できる．

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練習問題

有理数の逆数

定理 3.4.1【有理数の逆数】

a

b,^c_d ∈Qについて，^a_b ×_d^c = 1ならば ^c_d = ^b_aが成り立つ．

注意 3.4.9

言い換えると，(a, b)を代表元とする同値類x∈Q^と，

(c, d)を代表元とする同値類y∈Q^{に対して，}

x×y= 1ならば，yは(b, a)を代表元としてもつ．

さらに言い換えると，

x×y= 1ならば，(c, d)∼(b, a)となる．

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練習問題

有理数の除法

定義 3.4.3【有理数の除法】

x, y∈Q^{に対して，商}x÷yを「x=y×zをみたす要素z」 として定義する．

注意 3.4.10

次の定理により，このようなx÷yは必ず存在して，ただ 一つである．

定理 3.4.2

Q=Z×(Z− {0})/_∼の元 ^a_b と_d^cについて，次が成立．

a b ÷ c

d = a b × d

c

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練習問題

有理数の集合の濃度

定理 3.4.3

自然数の集合Nと有理数の集合Qは対等である．

つまり，全単射N→Q^{が存在する．}

また言い換えると，Q^{は可算集合である．}

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練習問題

練習問題

直積集合Z×(Z− {0})の

(m, n)∼(m^′, n^′)⇔mn^′=m^′n

で定義される同値関係による商集合としてQを定義したと して，以下の問いに答えなさい．

練習問題 3.4.1 2

3 = 4

6が成り立つことを示しなさい．

練習問題 3.4.2 2

3 ×2

5 ^{を計算しなさい．}

練習問題 3.4.3 2÷3 = 2

3 ^{を示しなさい．}