幾何学序論１

(1)

幾何学序論１ K.Ichihara

自然数の定義

ペアノの公理

同値関係と商集合

同値関係商集合

同値類商集合と商写像写像の誘導

練習問題

幾何学序論１

市原一裕

2015年6月15日（月）2, 4限

(2)

自然数の定義

ペアノの公理

練習問題

ジュゼッペ・ペアノ

ジュゼッペ・ペアノ（Giuseppe Peano）

イタリアの数学者。トリノ大学教授。

自然数の公理系（ペアノの公理）、ペアノ曲線の考案者として知られる。（1858.8.27-1932.4.20）

(3)

自然数の定義

ペアノの公理

練習問題

ペアノの公理

定義 3.1.1【自然数（ペアノの公理, 1891）】

1. 1 は自然数である

2. 任意の自然数 aに対して、a+ が自然数を与えるような右作用演算 +が存在する

3. a,bを自然数とすると、a+ =b+ならばa=bである 4. a+ = 1を満たすような自然数 aは存在しない

5. 集合S が二条件

(i) 1は S に属する,

(ii) 自然数aがSに属するならばa+もSに属するを満たすならば、あらゆる自然数はS に属する

(4)

自然数の定義

ペアノの公理

練習問題

ペアノの公理について

注意 3.1.1

公理（axiom）：その他の命題を導きだすための前提として

導入される最も基本的な仮定

注意 3.1.2

公理 (5) は，いわゆる「数学的帰納法の原理」．

注意 3.1.3

ペアノ自身は，上の５条件を，自然数がみたすべき公理として導入した（1891）．従って，この条件をみたす集合が，

本当に存在するかどうか，は考えられていない．

後になって，実際にこれらの条件を満たす集合N^は（集合論的に）構成できることが示された（例えば，フォン・ノイマン）．

(5)

自然数の定義

ペアノの公理

練習問題

整数の定義に向けて

自然数の集合 N が定義できたので，次は整数

の集合 Z を定義したい．そのために，準備と

して，まず同値関係と商集合を学ぼう．

(6)

自然数の定義

ペアノの公理

練習問題

同値関係

定義 3.2.1【同値関係（equivalence relation）】

集合Xに対して，次の条件を満たす写像

R:X×X → {0,1}^を，Xにおける同値関係という．

1. ∀x∈X,R(x, x) = 1

2. ∀x, y∈X,R(x, y) =R(y, x)

3. ∀x, y, z∈X,R(x, y) = 1かつR(y, z) = 1ならば R(x, z) = 1

注意 3.2.1

条件(1)を反射律，条件(2)を対称律，条件(3)を推移律という．

(7)

自然数の定義

ペアノの公理

練習問題

同値関係の記号 ∼

集合Xにおける同値関係Rが与えられたとき，

R(x, y) = 1のとき，x∼y とかくことにする．

このとき，３つの条件は，以下のように書き換えられる．

1. ∀x∈X,x∼x

2. ∀x, y∈X,x∼y⇔y ∼x

3. ∀x, y, z∈X,x∼yかつy∼z⇒x∼z

(8)

自然数の定義

ペアノの公理

練習問題

同値類

定義 3.2.2【同値類（equivalence class）】

集合Xに同値関係∼^{が与えられたとき，}a∈Xに対して，

C(a) :={b∈X |b∼a} を，aを代表元とする同値類という．

注意 3.2.2

C(a)はXの部分集合である．

C(a)の代表元はaでなくても良い．

C(a)の任意の元を一つ選んだら，それを代表元として良い．

(9)

自然数の定義

ペアノの公理

練習問題

同値類の性質

定理 3.2.1

集合Xにおける同値関係∼が与えられたとき，次が成立．

1. ∀x∈X,x∈C(x) 2. x∼y⇔C(x) =C(y)

3. x∼yでない ⇔C(x)∩C(y) =∅ 4. X= ∪

a∈X

C(a)

(10)

自然数の定義

ペアノの公理

練習問題

商集合と商写像

定義 3.2.3【商集合（quotient set）】

集合Xにおける同値関係∼が与えられたとき，同値類全体の集合

{C(a)|a∈X} を，Xの∼による商集合，

または，Xを∼で割った商集合，という．

この商集合を X/_∼ であらわす．

定義 3.2.4【商写像（quotient map）】

集合Xにおける同値関係∼^{が与えられたとき，}a7→C(a) で決まる写像 X →X/_∼ を商写像という．

定理 3.2.2

集合Xにおける同値関係∼が与えられたとき，商写像 X →X/_∼は全射になる．

(11)

自然数の定義

ペアノの公理

練習問題

商集合と商写像

集合Xに同値関係∼^{が与えられたとし，}

商写像X→X/_∼をΦで表す．

定義 3.2.5【誘導写像（induced map）】

写像f :X→Y に対して，ある写像f˜:X/_∼→Y が存在して，f = ˜f◦Φと表せるとき，このf˜を誘導写像という．

定理 3.2.3

写像f :X→Y に対して誘導写像が存在する

⇔ ^「∀a, b∈Xに対して C(a) =C(b)⇒f(a) =f(b)」

(12)

自然数の定義

ペアノの公理

練習問題

練習問題 3.2.1

整数の集合Z^{において，}^「a−bは4の倍数」で決まる関係が同値関係であることを示しなさい．

練習問題 3.2.2

練習問題3.2.1ができたとして，つまり，

「a∼b⇔a−bは4の倍数」とすると∼^{は同値関係になる} と仮定して，その商集合Z/_∼をかきなさい．

練習問題 3.2.3

練習問題3.2.1ができたとして，つまり，

「a∼b⇔a−bは4の倍数」とすると∼^{は同値関係になる} と仮定して，f(n) := sin(nπ)で決まる写像f :N→R^には，誘導写像が存在することを示しなさい．