幾何学序論１

(1)

幾何学序論１ K.Ichihara

集合の演算

演算とは和集合と共通部分補集合差集合

幾何学序論１

市原一裕

2014^年4^月21^{日（月）２限}

(2)

集合の演算

小テスト

1. ^集合A^とB^{について，}A)B^{であることの定義を書} きなさい．

2. 集合{^p_q |p, q∈Z , −1≤p≤2 , 2≤q≤4}^を列挙法で表しなさい．

3. A={2x²|x∈R}^とB ={x∈R|x≥ −1}^{について，}

A(Bを示しなさい．

(3)

集合の演算

演算とは

演算（えんざん）

いくつかの与えられたものから，一定の法則を適用して，

他のものを作り出す操作のこと．

以下，1^つの集合U^{を固定して}

（U を全体集合（Universal set）として），

その部分集合について考える．

つまり，{x| · · · }^{と書いたら}{x|x∈U,· · · }^のこと．

(4)

集合の演算

和集合とは

定義 1.3.1【和集合（Union）， ∪（cup，カップ）】

２つの集合AとBについて，

A∪B :={x|x∈A ^または x∈B} をA^とB^{の和集合という．}

注意 1.3.1 （:=について）

X :=Y ^{という記号で「}X^をY で定義する」という意味．

(5)

集合の演算

和集合の性質

定理 1.3.1

任意の２つの集合A^とBについて次が成り立つ．

(1)A∪A=A (2)A∪ ∅=A (3)A∪B =B∪A

(4)A⊂A∪BかつB ⊂A∪B

(6)

集合の演算

共通部分とは

定義 1.3.2【共通部分（intersection），∩（キャップ，cap）】２つの集合AとBについて，

A∩B :={x|x∈A かつ x∈B} をAとBの共通部分という．

注意 1.3.2

共通部分のことを，積集合（product set）ともいう．

(7)

集合の演算

共通部分の性質

定理 1.3.2

任意の２つの集合A^とBについて次が成り立つ．

(1)A∩A=A (2)A∩ ∅=∅ (3)A∩B =B∩A

(4)A⊃A∩BかつB ⊃A∩B

(8)

集合の演算

和集合と共通部分

定理 1.3.3

集合A，B，Cについて以下が成り立つ．

1. ^「A⊂C^かつB ⊂C^」ならばA∪B ⊂C 2. ^「C⊂A^かつC ⊂B^」ならばC⊂A∩B

定理 1.3.4

集合A，B，Cについて以下が成り立つ．

1. (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 2. (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 3. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) 4. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

(9)

集合の演算

補集合とは

定義 1.3.3【補集合（complement）】

全体集合U^{の部分集合}A^{に対して，}

A^c:={x∈U |x /∈A}^をAの補集合という．

（c はcomplementの頭文字）

注意 1.3.3

高校ではA¯を使っていたと思うが，ここではA^cにする．

¯は，他のときにも使うので（例えば，共役複素数）．

(10)

集合の演算

補集合の性質

定理 1.3.5

全体集合U^{の部分集合}A^{について，}

(1)A∪A^c=U (2)A∩A^c=∅ (3) (A^c)^c=A (4)BがA∪B=UとA∩B =∅^をみたす⇒B =A^c

定理 1.3.6

全体集合Uの部分集合AとBについて，

(1) A⊂B⇔A^c⊃B^c (2) 【ド・モルガンの定理】

(A∪B)^c=A^c∩B^c (A∩B)^c=A^c∪B^c

(11)

集合の演算

差集合とは

定義 1.3.4【差集合（diﬀerence set）】

２つの集合AとBについて，

A−B:={x|x∈A, x /∈B} ^をAとBの差集合という．

A−B=A∩B^c=A−(A∩B)^{ともかける．}

注意 1.3.4

A\B^{と書くこともある．}

注意 1.3.5

(12)

集合の演算

差集合の性質

定理 1.3.7

２つの集合A^とB^{について，}

(A∪B)−(A∩B) = (A−B)∪(B−A)

注意 1.3.6

(A∪B)−(A∩B)のことを，

AとBの対称差（たいしょうさ，symmetric diﬀerence）ともいう．A4B^{であらわしたりする．}