幾何学序論１ K.Ichihara
集合の演算
演算とは 和集合と共通部分 補集合
幾何学序論１
練習問題市原一裕
2015年4月20日（月）２限
幾何学序論１ K.Ichihara
集合の演算
演算とは 和集合と共通部分 補集合
練習問題
小テスト
1. 集合AとBについて，B ⊊Aであることの定義を書 きなさい．
2. 集合{pq |p, q∈Z , −2≤p≤1 , 1≤q≤3}を列挙法 で表しなさい．
3. A={x2|x∈R}とB={x∈R|x >0}について，
B ⊊Aを示しなさい．
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集合の演算
演算とは 和集合と共通部分 補集合
練習問題
演算とは
演算（えんざん，operation）
いくつかの与えられたもの（要素）から，一定の法則を適 用して，他のもの（要素）を作り出す操作のこと．
以下，1つの集合Uを固定して
（U を全体集合（Universal set）として），
その部分集合について考える．
つまり，{x| · · · }と書いたら{x|x∈U,· · · }のこと．
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集合の演算
演算とは 和集合と共通部分 補集合
練習問題
和集合とは
定義 1.3.1【 和集合（Union）， ∪（cup，カップ）】
２つの集合AとBについて，
A∪B :={x|x∈A または x∈B} をAとBの和集合という．
注意 1.3.1 （:=について）
X :=Y という記号で「XをY で定義する」という意味．
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集合の演算
演算とは 和集合と共通部分 補集合
練習問題
和集合の性質
定理 1.3.1
任意の２つの集合AとBについて次が成り立つ．
(1)A∪A=A (2)A∪ ∅=A (3)A∪B =B∪A
(4)A⊂A∪BかつB ⊂A∪B
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集合の演算
演算とは 和集合と共通部分 補集合
練習問題
共通部分とは
定義 1.3.2【 共通部分（intersection），∩（キャップ，cap） 】 ２つの集合AとBについて，
A∩B :={x|x∈A かつ x∈B} をAとBの共通部分という．
注意 1.3.2
共通部分のことを，積集合（product set）ともいう．
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集合の演算
演算とは 和集合と共通部分 補集合
練習問題
共通部分の性質
定理 1.3.2
任意の２つの集合AとBについて次が成り立つ．
(1)A∩A=A (2)A∩ ∅=∅ (3)A∩B =B∩A
(4)A⊃A∩BかつB ⊃A∩B
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集合の演算
演算とは 和集合と共通部分 補集合
練習問題
和集合と共通部分
定理 1.3.3
集合A，B，Cについて以下が成り立つ．
1. 「A⊂CかつB ⊂C」ならばA∪B ⊂C 2. 「C⊂AかつC ⊂B」ならばC⊂A∩B
定理 1.3.4
集合A，B，Cについて以下が成り立つ．
1. (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 2. (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 3. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
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集合の演算
演算とは 和集合と共通部分 補集合
練習問題
補集合とは
定義 1.3.3【 補集合（complement）】
全体集合Uの部分集合Aに対して，
Ac:={x∈U |x /∈A}をAの補集合という．
（c はcomplementの頭文字）
注意 1.3.3
高校ではA¯を使っていたと思うが，ここではAcにする．
¯は，他のときにも使うので（例えば，共役複素数）．
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集合の演算
演算とは 和集合と共通部分 補集合
練習問題
補集合の性質
定理 1.3.5
全体集合Uの部分集合Aについて，
(1)A∪Ac=U (2)A∩Ac=∅ (3) (Ac)c=A (4)BがA∪B=UとA∩B =∅をみたす⇒B =Ac
定理 1.3.6
全体集合Uの部分集合AとBについて，
(1) A⊂B⇔Ac⊃Bc (2) 【ド・モルガンの定理】
(A∪B)c=Ac∩Bc (A∩B)c=Ac∪Bc
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集合の演算
演算とは 和集合と共通部分 補集合
練習問題
練習問題
練習問題 1.3.1
A∪B=B∪Aを証明しなさい．
練習問題 1.3.2
集合U の部分集合A，B，Cについて，
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) を示しなさい．
練習問題 1.3.3
全体集合Uの部分集合AとBについて，
(A∩B)c=Ac∪Bcを証明しなさい．
