幾何学序論１

(1)

幾何学序論１ K.Ichihara

前回の補足整数とは

整数の集合の構成 0 負の数整数の演算と大小関係

整数の演算整数の大小関係

補足練習問題

幾何学序論１

市原一裕

2014

^年

6

^月

23

^日（月）

2

^限

(2)

補足練習問題

小テスト

1.

集合

S

上に同値関係

R : S × S → { 0, 1 }

が定義されているとき，元

x ∈ S

を代表元とする同値類の定義を書きなさい．

2. R(a, b) = {

1 a

と

b

は

4

で割ったときの余りが等しい

0

そうでない

で決まる写像

R : N × N → { 0, 1 }

が，自然数の集合

N

上の同値関係になることを示しなさい．

3.

上で与えられた

R

が同値関係になるとして，

f (n) := cos(nπ)

で決まる写像

f : N → R

には，

誘導写像が存在することを示しなさい．

(3)

補足練習問題

前回の補足（１）

【関係（

relation

），同値関係（

equivalence relation

）】

集合

X

に対して，写像

R : X × X → { 0, 1 }

^を，

X

^{上の関係という．}

集合

X

^上の関係

R : X × X → { 0, 1 }

^{が以下の条件をみた} すとき，その関係を

X

における同値関係という．

1. ∀ x ∈ X, R(x, x) = 1

2. ∀ x, y ∈ X, R(x, y) = R(y, x)

3. ∀x, y, z ∈ X, R(x, y) = 1

^かつ

R(y, z) = 1

^ならば

R(x, z) = 1

(4)

補足練習問題

前回の補足（２）

自然数の大小関係，和・積

自然数の集合

N

に対して，集合と写像（だけ）を用いて，

大小関係（順序） と，和と積の演算が定義できる．

残念ながら，ここでは詳しいことは省略．

これまで直感的に理解して来たような性質が，

自然に成り立つような定義になっているので，

計算などではこれまで通りに使って良いことにする．

注意

3.2.4

演算（

operation

）：正確には二項演算（

binary operation

）．

集合

X

上の二項演算とは，写像

X × X → X

のこと．

(5)

補足練習問題

整数の集合

【整数の集合

Z

（

integer

）】

自然数の対の集合

{(a, b) | a ∈ N, b ∈ N}

つまり，直積集合

N × N

^{を考える．}

ここで，

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = c + b

で定義される関係を考えると，これは同値関係になる．

商集合

( N × N )/

_∼を整数の集合

Z

^と定義．

Z

^{の各要素を}^整数 ^と定義．

(6)

補足練習問題

整数の実体は．．．

注意

3.3.1

この定義では，

Z

^{の要素である整数は，}

商集合の要素なので同値類であることに注意．

つまり，

N × N

^{の部分集合．}

例えば，

{ (1, 2), (3, 4), · · · } ∈ Z

注意

3.3.2

記号

Z

^{の由来：ドイツ語}

Zahlen

^{（「数」）}

(7)

補足練習問題

0

定義

3.3.2

【

0

（ゼロ，零）】

同値類

{ (1, 1), (2, 2), · · · }

^{で表される}

Z

^の要素

（つまり，整数）を，

0

と定義する．

注意

3.3.3

0

の発見：ブラーマグプタ（インド），

628

年

(8)

補足練習問題

負の数

定義

3.3.3

【負の数】

n, m ∈ N

^{とするとき，}

(n, m)

を代表元とする

Z

^の要素

（つまり，整数）について，

I

n > m

^{のとき，代表元として}

(N + 1, 1)

^{がとれる．}

このとき，その同値類を

N

で表し，

N ∈ N

^{と同一視．}

I

n < m

^{のとき，代表元として}

(1, L + 1)

^{がとれる．}

このとき，その同値類を

− L

で表す．

また，

x := {(n, m), · · · } ∈ Z

で表される整数に対して，

{ (m, n), · · · } ∈ Z

^{で表される整数を}

− x

^で表す．

(9)

補足練習問題

整数の演算

定義

3.3.4【整数の演算】

x, y ∈ Z

^{に対して，}

x

^が

(a, b)

を代表元とする同値類で，

y

^が

(c, d)

を代表元とする同値類のとき，

x + y := (a + c, b + d)

^{を代表元とする同値類}

x × y := (ac + bd, ad + bc)

を代表元とする同値類と定義する．また，

x − y := x + ( − y)

と定義する．

注意

3.3.4

これらの演算の定義については，

well-defined

であること を示しておく必要あり．

定理

3.3.1 ∀ x ∈ Z

^{に対して，}

x − x = 0

^{が成り立つ．}

(10)

補足練習問題

整数の大小関係

定義

3.3.5【整数の大小関係】

x, y ∈ Z

^{に対して，}

x − y ∈ N

^のとき，

x > y

^{と定義する．}

x − y = 0

のとき，

x = y

と定義する．

y − x ∈ N

^のとき，

x < y

^{と定義する．}

定理

3.3.2 x, y ∈ Z

^{に対して，}

x > y

^か

x = y

^か

x < y

のいずれかが必ず成り立つ．

(11)

補足練習問題

補足

整数の集合

Z

^{と和の演算}

+

^を組

(Z, +)

^{にして考えると群に} なり，さらに，整数の集合

Z

^{と和の演算}

+

^{と積の演算}

×

^を組

( Z , +, × )

にして考えると環になる（より正確には可換環）．

詳しくは代数学序論で学んでください．

(12)

補足練習問題

練習問題 練習問題

3.3.1 N × N

^{において，}

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = c + b

^{で定義され} る関係を考えると，これは同値関係になることを示しなさい．

練習問題

3.3.2

定義

3.3.4

で定義した整数

x

と

y

の和

x + y

が，

x

と

y

の代表元によらずに決まることを示しなさい．

練習問題

3.3.3

定義

3.3.4

に基づいて，

∀ x ∈ Z

^{に対して，}

x − x = 0

が成り立つことを証明しなさい．

練習問題

3.3.4