幾何学序論１

幾何学序論１ K.Ichihara

写像とは

写像の定義 写像の用語 写像の相等 恒等写像，包含写像，制限

幾何学序論１

市原一裕

2014^年5^月19^日（月）2^限

幾何学序論１ K.Ichihara

写像とは

写像の定義 写像の用語 写像の相等 恒等写像，包含写像，制限 写像

小テスト

1. 集合族 ∪ { A

}

に対し，

λ∈Λ

A

の定義を書きなさい．

2. λ ∈ R ^{に対して，} A

:=

[

− 1 λ , 1

λ ]

⊂ R ^と するとき， ∩

λ∈R

A

を求めなさい．

3. 全体集合 U の部分集合族 { A

}

と U の 部分集合 B に対して，次を証明しなさい．

( ∪

∈

A

)

∩ B ⊂ ∪

∈

(A

∩ B)

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写像の定義

定義

2.1.1

map

集合

X

Y

X

Y

注意

2.1.1

狭い意味では「ある要素からある要素を対応させるルール

（法則）」のこと．一般には明確なルールはなくても良い

（対応関係さえはっきりしていれば）（ディリクレの定義）

【写像の表し方】

f : X → Y

f

写像

f

x

f (x)

x 7→ f (x)

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写像の用語

定義

2.1.2

source

target

写像

f : X → Y

X

f

Y

f

定義

2.1.3

domain

range

写像

f : X → Y

f

x ∈ X

f

x ∈ X

f (x)

f

定義

2.1.4【関数（function）】

終域が数の集合（たとえば，R^とかC^{とか）である写像を} 関数という．

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写像の相等

定義

2.1.5

２つの写像

f : X → Y

g : X

→ Y

X = X

Y = Y

∀ x ∈ X

f (x) = g(x)

f

g

例

2.1.2

f (x) = x

− 1

f :

→

g(x) = x

− 1

g :

→

なぜなら，

f

g

関数をあらわす式だけをみないこと． 式は関数ではない ．

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恒等写像，包含写像，制限写像

定義

2.1.6

identity map

集合

X

id

: X → X

∀ x ∈ X

id

(x) = x

つまり，なにも動かさない写像のこと．

定義

2.1.6

inclusion map

X

Y

X

Y

包含写像

i

: X → Y

∀x ∈ X

i

(x) = x

定義

2.1.7

restriction map

写像

f : X → Y

X

A

f

A

A 3 a 7→ f(a)

A → Y

f |