幾何学序論１ K.Ichihara
集合族
集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合
幾何学序論１
練習問題市原一裕
2015
年5
月11
日（月）2
限1 / 7
幾何学序論１ K.Ichihara
集合族
集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合
練習問題
小テスト
1.
集合X
1と集合X
2に対して，差集合X
1− X
2の 定義を書きなさい．2.
集合N = { 3 }
に対して，冪集合2
N を列挙法であ らわしなさい．3.
集合X，Y
，Zに対して，X × (Y ∪ Z) ⊂ (X × Y ) ∪ (X × Z)
を示しなさい．幾何学序論１ K.Ichihara
集合族
集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合
練習問題
集合族とは
定義
1.6.1【集合族（family of sets)】
ある集合
Λ
の各要素λ ∈ Λ
に対応して，集合A
λが与えら れているとき，この集合の集まり{ A
λ}
λ∈Λを，Λ
を添字集合（
index set
）とする集合族という．注意
1.6.1
集合族と添字集合は，なんの関係もない．添字集合は単に ラベルをつけるだけのもの．
確認：以下では，全体集合
U
を一つ定めてあって，{ A
λ}
λ∈Λは，集合Λ
を添字集合とする部分集合族をあらわす．
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集合族
集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合
練習問題
集合族の和集合・共通部分
定義
1.6.2【集合族の和集合】
集合族
{A
λ}
λ∈Λの和集合とは∪
λ∈Λ
A
λ:= { x ∈ U | ∃ λ ∈ Λ s.t. x ∈ A
λ}
例
1.6.1
Λ = { 1, 2 }
のとき，∪
λ∈Λ
A
λ= A
1∪ A
2一般には，
Λ
は自然数とは限らないので，このように列挙 するような書き方はできない．定義
1.6.3【集合族の共通部分】
集合族
{ A
λ}
λ∈Λの共通部分とは∩ A
λ:= { x ∈ U | ∀ λ ∈ Λ, x ∈ A
λ}
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集合族
集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合
練習問題
集合族の和集合・共通部分の性質
定理
1.6.1
全体集合
U
の部分集合族{ A
λ}
λ∈ΛとU
の部分集合B
に対 して，以下が成り立つ．1.
( ∪
λ∈Λ
A
λ)
∪ B = ∪
λ∈Λ
(A
λ∪ B)
2.
( ∩
λ∈Λ
A
λ)
∩ B = ∩
λ∈Λ
(A
λ∩ B)
3.
( ∩
λ∈Λ
A
λ)
∪ B = ∩
λ∈Λ
(A
λ∪ B)
4.
( ∪
λ∈Λ
A
λ)
∩ B = ∪
λ∈Λ
(A
λ∩ B)
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集合族
集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合
練習問題
集合族の補集合
定理
1.6.2
全体集合
U
の部分集合族{ A
λ}
λ∈Λに対して，次が成り 立つ．1.
( ∪
λ∈Λ
A
λ)
c= ∩
λ∈Λ
(A
λ)
c2.
( ∩
λ∈Λ
A
λ)
c= ∪
λ∈Λ
(A
λ)
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集合族
集合族とは 集合族の和集合・共通部分 集合族の補集合
練習問題
練習問題 練習問題
1.4.1
n∈Nに対して，An:=
[
−1 n,1
n ]
⊂Rとするとき，
∪
n∈N
An⊂[−1,1] =A1を証明しなさい．
練習問題
1.4.2
n∈Nに対して，An:=
(
−1 n,1
]
⊂Rとするとき，
∩
n∈N
An⊃[0,1]を証明しなさい．
練習問題
1.4.3
全体集合U の部分集合族{Aλ}λ∈ΛとU の部分集合Bに対して，
次を証明しなさい．
(∩
λ∈Λ
Aλ
)
∩B= ∩
λ∈Λ
(Aλ∩B)
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