幾何学序論１

(1)

幾何学序論１ K.Ichihara

はじめに集合

1.1集合とは集合の定義集合の表し方（記法）

集合の記号 1.2包含関係

部分集合部分集合でないとは部分集合と要素集合の相等

練習問題

幾何学序論１

市原一裕

2015

年

4

月

12

日（月）２，４限

(2)

はじめに集合

練習問題

教員情報

担当

市原一裕（いちはらかずひろ）

連絡先

研究室：

8

号館

B-218

号室

[email protected]

http://www.math.chs.nihon-u.ac.jp/~ichihara/index-j.html

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(3)

はじめに集合

練習問題

講義について

評価の方法

▶ 平常点と授業内試験で良い方をとる．

▶ 平常点は

▶

小テスト 10 回．持込用紙のみ参照可 .

▶

演習の発表点（１人１回，５点）

(4)

はじめに集合

練習問題

集合の定義

定義

1.1.1【集合（set）】

確定した，互いに区別できる対象を

1

つにまとめたもの

（岩波数学辞典より）

注意

1.1.1.

定義（

definition

）とは，

用語の意味を明確に規定する文のこと

（式を含んでもよい）．

よく

def.

とか

df

とか

df’n

などと省略される．

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(5)

はじめに集合

練習問題

集合の表し方（記法）

▶

ものを書き並べて

{ }

^{でくくる（列挙法）}

▶

「〜をみたすものの全体」という言い方

▶ {

^記号

|

^条件

}

(6)

はじめに集合

練習問題

集合の記号

集合の記号：

∈

^，

∋

^{（属する（}

belong to

）），

∈ /

^{（属さない）}

用語：要素，元（

element

）空集合（

empty set

）：

∅

^，

∅

注意

1.1.2.（記号の由来）

詳しくは，以下を参照．

Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic http://jeff560.tripod.com/set.html

よく使われる記号

N

^，

Z

^，

Q

^，

R

^，

C

厳密な定義はあとで．．．

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(7)

はじめに集合

練習問題

部分集合

定義

1.2.1【部分集合（subset）】

２つの集合

X

と

Y

について，

X

のどんな要素も

Y

の要素になっているとき，

X

は

Y

の部分集合であるという．

X ⊂ Y

，もしくは，

Y ⊃ X

であらわす．

定義

1.2.2.【真部分集合（proper subset）】

集合

X

が集合

Y

の真部分集合であるとは，

X ⊂ Y

だが

X ̸⊃ Y

であること．

⊊

^，

⊋

^{であらわす．}

(8)

はじめに集合

練習問題

部分集合でないとは注意

1.2.1. ▶

「部分集合でない」とは．．．

▶

「部分集合でない」

⇔

^{「部分集合である」}

（排反事象ではない）

▶ X ⊂ X

▶ ∅ ⊂ X

（数学的（論理的）な意味）

注意

1.2.2. A

は

B

に含まれている，つまり

A ⊂ B

のときでも，

A

は

B

の要素ではない．

（「含まれている」という言い方にだまされないこと！）

注意

1.2.3.

ひとつの集合内の部分集合達を考えるとき，それらすべてを含む集合を全体集合といったりする．

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(9)

はじめに集合

練習問題

集合の相等

定義

1.2.3.【集合の相等】

２つの集合

X

と

Y

が等しいとは，

X ⊂ Y

かつ

X ⊃ Y

が成り立つこと．

（つまり，全ての要素が等しい）

(10)

はじめに集合

練習問題

練習問題練習問題

1.2.1

次の集合を列挙法で表しなさい．

1. { n

²

| n ∈ Z , − 2 ≤ n ≤ 3 }

2. {

^p_q

| p, q ∈ Z , 1 ≤ p ≤ 3 , 1 ≤ q ≤ 4 } 3. { x | x ∈ R , x

²

+ x + 1 ≤ 0 }

練習問題

1.2.2 { 3x | x ∈ R} = R

を示しなさい．

練習問題

1.2.3 A = { 2x

²

− 1 | x ∈ R}

と

B = { x ∈ R | x > − 2 }

について，

A ⊊ B

を示しなさい．

練習問題

1.2.4 A = { n ∈ N | n

は偶数

}

と

B = { n(n + 1) | n ∈ N}

について，

A ⊋ B

を示しなさい． 10 / 11

幾何学序論１