幾何学序論講義

(1)

幾何学序論講義

佃修一

2017 年 3 月 2 日

(2)

(3)

i

凡例

• N：自然数全体 Z：整数全体 Q：有理数全体 R：実数全体 C：複素数全体

, 必要 , , 通常加法, 乗法, 距離

（C^を除 ^{）順序を与} .

• Rⁿ ^距離 ^位相 , , 距離定

.

• A⇔

defB , 左辺Aを右辺B 定義を意味 .

• A⇒B , A 成立 B 成立を意味 .（2011年度 2014 年度）数学序論講義使方意味違注意 . 数学序論

「A ⇒B 真」を, 講義 A⇒B 表 .

(4)

文字

大文字小文字読英語綴

A α alpha

B β beta

Γ γ gamma

∆ δ delta

E ϵ, ε , epsilon

Z ζ zeta

H η , eta

Θ θ, ϑ , theta

I ι iota

K κ kappa

Λ λ lambda

M µ mu

N ν nu

Ξ ξ , xi

Ο ο omicron

Π π, ϖ pi

P ρ, ϱ rho

Σ σ, ς sigma

T τ tau

Υ υ , upsilon

Φ ϕ, φ phi

X χ chi

Ψ ψ psi

Ω ω omega

(注) 読日本数学一般的思を示 , 他読方を人

思 .

(5)

iii

第 1 章

集合

1.1 論理式

数学序論学ん論理式を復習 . 定義 1.1.1.

1. ^二 ^命題p, q , ^真偽 ^一致 ^論理同値 , p ≡ q

書 .

2. 同変数を持二述語 P, Q , 変数値を代入 , 真偽

一致論理同値 , P ≡Q 書 .

1.1.1 命題論理結合子

与一二命題新命題を作を考 . 際, 出来命題真偽命題真偽定作 . 以下1 真を, 0 偽を

.

一命題p 真偽応真偽を定方法次 2² = 4通 . (0) p 真偽

p (0) (1) (2) (3)

1 0 0 1 1

0 0 1 0 1

表1.1

偽, (3) p 真偽真, (2) p 同新名前を意味

(1) .

(8)

定義 1.1.2. 次真理表真偽定命題¬pをp 否定(negation) . p ¬p

1 0

0 1

, ¬p p 真偽, p 偽真 .

¬p 普通「p 」読 .

二命題p, q 真偽応真偽を定方法次 2⁴ = 16通 . p q (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 0 1 0 1 0 1 0 1

p q (15) (14) (13) (12) (11) (10) (9) (8)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 1 1 0 0

0 0 1 0 1 0 1 0 1 0

表1.2

下段 (n) 上段 (15−n) 互他否定下段考 . (15)

常真, (12) p ^{真偽同} , (10) q ^{真偽同} , (11) (13) p, q^を入

（2行目 3行目を入）移合 , 新名前を意味 (14), (11),(9),(8) ４ .

定義 1.1.3. 次真理表を考 .

p q (14) (11) (9) (8)

1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0

0 0 0 1 1 0

1. (14) 真偽定命題をp∨q 書 , p q 論理和(disjunction)

んん

選言 .

(9)

1.1 論理式 3 p∨q 普通「p q」読 .

2. (8) 真偽定命題をp∧q 書 , p q 論理積(conjunction)

んん

連言 .

p∧q 普通「p q」読 .

3. (11) ^真偽 ^定 ^命題をp → q ^書 . ^記号→ ^含意^ん (implication)^等

.

p→q 普通「p q」読 .

（ (13) q→p .^）

4. (9) 真偽定命題をp↔q 書 .

p↔q 普通「p q 同値」読 .

記号¬, ∨, ∧, →, ↔^{を論理結合子}(logical connective) .

注意! . 今年度使教科書[6] 2014年度数学序論講義含意を記号「⇒」を用 , 講義「→」を用 .

講義「p⇒q」を「p→q 真」, , p 成立 q 成立意味使 .

注意 . 上「意味 (14), (11),(9),(8) ４」書

1. 実際他名前 . 例 (7) 否定論理積, NAND等

, p|q 記号 .

2. 互無関係 , 例 p ↔ q ∧ →^を使 (p →

q)∧(q →p) .

実 NAND を用表1.1, 1.2 出を全 .

例 ¬p≡p|p, p∧q ≡(p|q)|(p|q) 具合. 定義 1.1.4. 0 1 ^集合を[2] ^書 :

[2] :={0,1}.

定義 1.1.2, 1.1.3 真理表を見 , ∨,∧,→,↔ ^集合 [2]上（足算掛算

）二項演算(binary operation)を, ¬ ^単項演算 (unary operation)を定

見 . 0∨1 = 1 ¬0 = 1 具合.

p∨q p∧q p→q p↔q

p\q 0 1 p\q 0 1 p\q 0 1 p\q 0 1

0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0

1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1

(10)

明 p→qを除 p q 関対称 . 定理 1.1.5. p, q, rを命題 . 次成立 .

1.（交換法則, commutative law） (i) p∨q ≡q∨p.

(ii) p∧q ≡q∧p.

2.（結合法則, associative law） (i) p∨(q∨r)≡(p∨q)∨r.

(ii) p∧(q∧r)≡(p∧q)∧r.

3.^{（分配法則}, distributive law^） (i) p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r).

(ii) p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r).

4. ¬(¬p)≡p.

5. (i) p∨(¬p)≡1.

(ii) p∧(¬p)≡0.

6.（・法則, de Morgan’s law）

(i) ¬(p∨q)≡(¬p)∧(¬q).

(ii) ¬(p∧q)≡(¬p)∨(¬q).

定理 1.1.6. p, qを命題 . 次成立 . 1. p→q ≡(¬p)∨q.

2. p→q ≡(¬q)→(¬p).

3. ¬(p→q)≡p∧(¬q).

証明. 真理表を書分 .

, 定理 1.1.5.6 , 4を使 , 一方を示他方分 .

定理 1.1.6.2, 3 , 定理 1.1.5 定理 1.1.6.1 を使示 .

注意! . 間違人 , p→q 否定 p∧(¬q) , p→(¬q) . 注意 . 分 → ^可換 (p → q ̸≡ q → p), 結合的

(p →(q→r)̸≡(p→q)→r). 定理 1.1.5 定理 1.1.6.1を使 →^を含 ^式を変形 .

注意 . p, q, r∈[2] ={0,1} ^定理 1.1.5 ^定理1.1.6 ^式 ≡^を= 成立 .

(11)

1.1 論理式 5

1.1.2 述語量化子

「x 偶数」等変数xを含文 , x 値を代入真偽判定

を述語(predicate) . ^定理 1.1.5, ^定理 1.1.6 ^述語 ^対 ^同

様成立 .

定理 1.1.7. p, q, rを述語 . 次成立 . 1.（交換法則）

(i) p∨q ≡q∨p.

(ii) p∧q ≡q∧p.

2.（結合法則）

(i) p∨(q∨r)≡(p∨q)∨r.

(ii) p∧(q∧r)≡(p∧q)∧r.

3.（分配法則）

(i) p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r).

(ii) p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r).

4. ¬(¬p)≡p.

5. (i) p∨(¬p)≡1.

(ii) p∧(¬p)≡0.

6.^（ ^・ (de Morgan) ^法則）

(i) ¬(p∨q)≡(¬p)∧(¬q).

(ii) ¬(p∧q)≡(¬p)∨(¬q).

定理 1.1.8. p, qを述語 . 次成立 . 1. p→q ≡(¬p)∨q.

2. p→q ≡(¬q)→(¬p).

3. ¬(p→q)≡p∧(¬q).

述語変数値を代入命題 , 述語命題を作別方法 . 変数

x 関述語P(x) 対 , x 代入 P(a) 真 a 量, 個数を

考 .

例 1.1.9. x∈ {1,2,3,4,5} ^関 ^述語P(x) =「x 偶数」対以下文章を考 .

(12)

1. P(x) 真 x∈ {1,2,3,4,5} 1個 . 2. P(x) 真 x∈ {1,2,3,4,5} 2個 .

3. P(x) 真 x∈ {1,2,3,4,5} ^全 .

4. P(x) 真 x∈ {1,2,3,4,5} .

5. P(x) 真 x∈ {1,2,3,4,5} ^少 1個 .

P(x) 真 x ∈ {1,2,3,4,5}, 1,2,3,4,5 偶数 2,4 ２個

1, 3, 4 偽, 2, 5 真 . 文章全命題 .

述語P(x) 対 , 真 x 量を指定命題を作 . ^指定 ^量 ^{最基本的} ^{「全」「無」} . ^実際数学使際「無」否定「（少 1個）」方

使 . 「全」「」記号用意 . 定義 1.1.10. P(x)を変数x 関述語 .

1.「全 x 対 P(x) 真」命題を

∀x:P(x)

表 , 普通「任意 x 対 , P(x) 成立」「任意 x 対 , P(x)」読 .

2.「P(x) 真 x 少 1個」命題を

∃x:P(x)

表 , 普通「 x 存在 , P(x) 成立」「 x 存在 , P(x)」読 .

注意 . 述語真変数量を指定記号を量化子(quantifier) . ∀ ^{全称量化子}^ん (universal quantifier), ^全称記号 ^呼 . ∃

ん

存在量化子(existential quantifier), 存在記号呼 . 定義 1.1.11. P(x), Q(x)を変数x 関述語 .

1. ∀x:P(x)→Q(x) 命題を

∀x(P(x)) :Q(x)

書 . を「P(x) 成立任意 x 対 , Q(x)」等読 .

(13)

1.1 論理式 7 2. ∃x:P(x)∧Q(x) 命題を

∃x(P(x)) :Q(x)

書 . ^を「P(x) ^成 ^立 x ^存在 , Q(x)」等読 .

注意 . 変数二以上述語同様を繰返命題を作

, 記法次規約 . 例 P(x, y) 変数x, y 関述語

,

∀y:P(x, y) 変数x 関述語 ,

∀x : (∀y :P(x, y)) 命題 . 命題を

∀x,∀y :P(x, y) ∀x∀y:P(x, y) 等書 .

量化子∀, ∃ ^順番 ^{次成} ^立 .

定理 1.1.12. P(x, y)を変数x, y 関述語 . 次成立 . 1. ∀x,∀y :P(x, y)≡ ∀y,∀x :P(x, y).

2. ∃x,∃y :P(x, y)≡ ∃y,∃x :P(x, y).

証明. 意味を考明 .

注意! . 一般 ∀x,∃y:P(x, y)̸≡ ∃y,∀x:P(x, y) . 量化子∀, ∃^を含 ^{命題否定} ^{次成} ^立 .

定理 1.1.13. P(x), Q(x)を変数x 関述語 . 次成立 . 1. ¬(

∀x:P(x))

≡ ∃x:¬P(x).

2. ¬(

∃x:P(x))

≡ ∀x:¬P(x).

3. ¬(

∀x(P(x)) :Q(x))

≡ ∃x(P(x)) :¬Q(x).

4. ¬(

∃x(P(x)) :Q(x))

≡ ∀x(P(x)) :¬Q(x).

証明. 1, 2 意味を考明 . 3 意味を考分思 , 少形式的 ,

(14)

¬(

∀x(P(x)) :Q(x))

=¬(

∀x:P(x)→Q(x))

≡ ∃x:¬(

P(x)→Q(x))

≡ ∃x:P(x)∧ ¬Q(x)

≡ ∃x(P(x)) :¬Q(x).

4 同様.

量化子 ∀, ∃ ^{論理結合子} ∨, ∧, → ^関係 ^{数学序論} (http:

//www.math.u-ryukyu.ac.jp/~tsukuda/lecturenotes/joron-note.html, §12)

少 , 後使 , 注意必要を挙

.

定理 1.1.14. P(x), Q(x)を変数x 関述語, rを命題（変数xを含述語） . 次成立 .

1. ∀x:r∨Q(x)≡r∨(∀x:Q(x)).

2. ∃x:r∧Q(x)≡r∧(∃x:Q(x)).

3. ∀x(P(x)) :r∨Q(x)≡r∨(∀x(P(x)) :Q(x)).

4. ∃x(P(x)) :r∧Q(x)≡r∧(∃x(P(x)) :Q(x)).

5. ∀x:P(x)∧Q(x)≡(∀x:P(x))∧(∀x:Q(x)).

6. ∃x:P(x)∨Q(x)≡(∃x:P(x))∨(∃x:Q(x)).

証明. 1, 2 ^意味を考 , r ^真偽 ^場合分 ^両辺 ^真偽を比 ^等

. 3 同様考 ,

p→(r∨q)≡(¬p)∨(r∨q)≡r∨((¬p)∨q)≡r∨(p→q) 注意 1^を使

∀x(P(x)) :r∨Q(x) =∀x:P(x)→(r∨Q(x))

≡ ∀x:r∨(P(x)→Q(x))

≡r∨(∀x:P(x)→Q(x))

=r∨(∀x(P(x)) :Q(x)).

4 同様少 . 5,6 意味を考 , 両辺真偽を比等

.

注意! . 上 5,6 ∀ ∃^を入 ^一般 ^正 .

(15)

1.2 集合 9

1.2 集合

集合記法等復習 (Russell’s paradox)を紹介

. 定義 1.2.1.

1. 我々思考対象条件集を集合(set) .

2. S を集合 , S を構成個々をS

ん

元要素(element) .

• x S 元を,「x S 属」,「x S 含」,「S

xを含」等 , x∈S S ∋x 表 .

• ¬(x∈S) , x S 元を, 「x S 属

」,「x S 含」,「S xを含」等 , x̸∈S S ̸∋x 表 .

定義 1.2.2. A, B を集合 .

1. A B 部分集合(subset) ⇔

defA 任意元x 対 , x∈B .

論理式を使書 , ∀x : x ∈ A → x ∈B (別書方を ∀x ∈A :x ∈

B) 真 .

, A ⊂B B⊃A 表 .

2. 集合A 集合B 等 ⇔

defA ⊂B B ⊂A .

, A =B 書 . 定義 1.2.3. 集合表方.

1.

ん

外延的(extensional)記法

集合元を列挙 , を括弧{} .

元無限個場合, 有限個全を列挙出来場合, 誤解を生無 . . . を使 .

2.

ん

内延的(intensional)記法

何某条件を全体集合を表方法. P(x)^を変数x ^関 ^述語 . P(x) 真 x 集合を{x P(x)} ^表 . 変数 x 値集合 U 制限 , P(x) 真

x ( x ∈ U) ^集合を {x∈U P(x)} ^表 . ,

{x∈U P(x)}={x x∈U ∧P(x)} .

(16)

注意 . P(x)≡Q(x) , {x P(x)} ={x Q(x)} . 実際, P(x)≡Q(x) ,

a∈ {x P(x)} ⇔P(a) 真

⇔Q(a) ^真

⇔a∈ {x Q(x)}

例 1.2.4. n∈N ^対 n 小非負整数全体集合を[n] 書 :

[n] ={0,1, . . . , n−1}={i∈Z 0≤i < n}. [n] n個元を持集合 . 例

[1] ={0} [2] ={0,1} [3] ={0,1,2}

具合. n= 0 場合記号を使 . [0] ={i∈Z 0≤i <0}=∅.

例 1.2.5 ( , Russell’s paradox). 次集合 S ={X X ̸∈X}

を考 . 集合X , X 自身 X 元集

S . 例 N̸∈N N∈S . , S S ∈S S ̸∈S

成立？

S ∈ S , S 定方 S ̸∈ S . S ̸∈ S , S 定方

S ∈ S . S S 元 , S 元

.

集合構成法を素朴考困 .

現在困難を回避公理的集合論(axiomatic set theory) 集

合を多 . ^中 Zermelo-Fraenkel ^{公理系＋選択公理}(ZFC)

公理系（集合を）一般的用 . （ , 他色々

立場, 方法 .）ZFC 集合論本必載 , [2] 等短

解説 . ^普通 ^数学を ^分 ^を意識 ^必要 ^無 ,

機会少 . 講義素朴立場集合を , 選択公理

少 .

(17)

1.3 集合演算 11

1.3 集合演算

数学序論学ん集合演算を思出 .

定義 1.3.1. 1. A, Bを集合 , A, B 少一方属要素を全部

集をA B 合併集合（和集合(union) , 結） , A∪B

表 .

A∪B={x x∈A∨x∈B}.

2. A B ^両方 ^属 ^{要素を全部集} ^をA B ^{共通集合（} ^積, ^交 (intersection)） , A∩B 表 .

A∩B={x x∈A∧x∈B}. A∩B =∅ , A B ^互 ^素(disjoint) .

3. A 属 , B 属要素全体をA B を引差集合(diﬀerence)

, A−B A\B 表 .

A−B={x x∈A∧x̸∈B}.

4. 集合X を固定 , X 部分集合考 , X −A を A

（X 関）補集合(complement) A^c .

A^c ={x∈X x̸∈A}={x∈X ¬(x∈A)}. X を普遍集合(universal set) 全体集合 .

定理 1.1.7 次分 .

定理 1.3.2. A, B, C を集合 . 次成立 . 1.（交換法則, commutative law）

(i) A∪B=B∪A.

(ii) A∩B=B∩A.

2.（結合法則, associative law） (i) A∪(B∪C) = (A∪B)∪C.

(ii) A∩(B∩C) = (A∩B)∩C.

(18)

3.（分配法則, distributive law）

(i) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

(ii) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C).

証明. 3.(i)を示 .

A∩(B∪C) ={x x∈A∧x ∈B∪C}

={x x∈A∧(x ∈B∨x∈C)}

={x (x∈A∧x ∈B)∨(x∈A∧x∈C)}

={x (x∈A∩B)∨(x∈A∩C)}

= (A∩B)∪(A∩C).

他同様 . ん, 下補題 1.3.5等を使 , 左辺右辺含 , 右辺左辺

含を示 .

定理 1.3.3. X^{を全体集合}, A, B ⊂X . ^{次成} ^立 . 1. (A^c)^c =A.

2. (i) A∪A^c =X. (ii) A∩A^c =∅.

3.（・法則, de Morgan’s law）

(i) (A∪B)^c =A^c∩B^c. (ii) (A∩B)^c =A^c∪B^c.

証明. 2.(i)を示 .

A∪A^c ={x∈X x∈A∨x∈A^c}

={x∈X x∈A∨ ¬(x∈A)} x ∈A∨ ¬(x∈A) 常真

=X.

他同様 .

定理 1.3.4. A, B, C^を集合 . ^次 ^{成立} . 1. A−(B∩C) = (A−B)∪(A−C).

2. A−(B∪C) = (A−B)∩(A−C).

3. A−(B−C) = (A−B)∪(A∩C).

(19)

1.3 集合演算 13 証明. 1.

x∈A−(B∩C)⇔x∈A∧x̸∈B∩C x ∈(A−B)∪(A−C)⇔x∈A−B∨x∈A−C .

x∈A∧x ̸∈B∩C ≡x∈A∧ ¬(x ∈B∩C)

≡x∈A∧ ¬(x ∈B∧x∈C)

≡x∈A∧(¬x ∈B∨ ¬x∈C)

≡x∈A∧(x ̸∈B∨x̸∈C)

≡(x∈A∧x ̸∈B)∨(x∈A∧x ̸∈C)

≡x∈A−B∨x∈A−C

x∈A−(B∩C)⇔x∈(A−B)∪(A−C) 2. ^同様.

3.

x∈A∧x ̸∈B−C ≡x∈A∧ ¬(x ∈B−C)

≡x∈A∧ ¬(x ∈B∧x̸∈C)

≡x∈A∧(¬x ∈B∨ ¬x̸∈C)

≡x∈A∧(x ̸∈B∨x∈C)

≡(x∈A∧x ̸∈B)∨(x∈A∧x∈C)

≡x∈A−B∨x∈A∩C

注意 . 講義記号 ⇔ ^左辺 ^右辺 ^同値 ^を表 . , 左辺成立右辺成立 , 右辺成立左辺成立 . 言換

「左辺↔^右辺」 ^命題 ^真 .

次補題集合包含関係を考基本的 , 以降使 . 証明定義ん明 . ^（ ^論理式 ^変形 ^証明 ^結構面倒

. .）

補題 1.3.5. A, B, C を集合 . 次成立 . 1. A⊂B B⊂C ⇒A ⊂C.

(20)

2. A ⊂C B⊂C ⇒A∪B⊂C.

3. A ⊃C B⊃C ⇒A∩B⊃C.

問 1. 上 2, 3 逆成立を示 .

問 2. ∪,∩,−, ^c 間関係を表（定理 1.3.2, 1.3.4等）「公式」を作 , を証明 .

問題集 . 4(1), 6, 7(1)(2)(3)(4)

定義 1.3.6. X を集合 . X 部分集合全を要素持集合をX 冪（

）集合(power set) P(X) ^表 .

P(X) ={A A ⊂X}. 定義明次成立 .

定理 1.3.7. 1. A ⊂X ⇔A∈ P(X).

2. ∅ ∈ P(X).

3. X ∈ P(X).

例 1.3.8. 1. P([2]) =P({0,1}) ={∅,{0},{1},{0,1}}. 2. P([1]) =P({0}) ={∅,{0}}.

3. P(∅) ={∅}. 右辺空集合 . 空集合元を一持集合 . 問 3. P([3])を求 .

定義 1.3.9. 二対象a, b 対 , を順並括弧 (a, b)をa

b

ん

順序対(ordered pair) .

二順序対 (a, b),(a^′, b^′) , a = a^′ b = b^′ ^等 ,

(a, b) = (a^′, b^′) 書 .

注意 . 二対象集合{a, b} , {a, b} ={b, a} . 一方, 順序対場合, a ̸=b , (a, b)̸= (b, a) .

注意 . 集合論 a b 順序対を(a, b) :={{a},{a, b}} ^定義 ^多 .

定義 1.3.10. X, Y を集合 . 次与集合X ×Y をX Y 積

(Cartesian product) . 積を直積多 .

X×Y :={(x, y) x∈X∧y ∈Y}.

X =Y , X×X をX² 書多 .

(21)

1.3 集合演算 15 例 1.3.11.

[3]×[4] ={0,1,2} × {0,1,2,3}={

(0,0),(1,0),(2,0), (0,1),(1,1),(2,1), (0,2),(1,2),(2,2), (0,3),(1,3),(2,3)}

例 1.3.12. X× ∅ =∅ =∅ ×X. 実際, y ∈ ∅ y 無 , x ∈X ∧y ∈ ∅ ^常偽.

三以上集合積考 .

定義 1.3.13. n∈N , X1, X2, . . . , Xn を集合 .

(X1×X2)×X3を,X1×X2×X3 書 . , X1×X2×X3 元 , ((x1, x2), x3) 書 , (x₁, x₂, x₃) 書 .

一般 , 帰納的

X₁× · · · ×X_n := (X₁× · · · ×X_n₋₁)×X_n 定 . , X₁ × · · · ×X_n 元 (x₁, x₂. . . , x_n) 書 . X1 =· · ·=Xn =X , X| × · · · ×{z X}

n個

をXⁿ 書多 . 問 4. I = [0,1]⊂R, S¹ ={

(x, y)∈R² x²+y² = 1}

. ^次を適当 ^図示 .

1. I×I.

2. S¹×I.

3. S¹×S¹. 4. N×N.

注意 . R² ^をGauss平面C ^同一視（(x, y)∈R² x+yi∈C^{を同一視）} S¹ ⊂C 見 , S¹ ={z ∈C |z|= 1} .

問題集 . 13, 14

(22)

1.4 関係写像

1.4.1 関係

定義 1.4.1. X, Y を集合 .

R X Y ^間 ^二項関係(binary relation)

def⇔ R X ×Y 部分集合 .

, (x, y)∈R , xRy 書 .

誤解生二項関係を単関係(relation) .

例 1.4.2. X =Y =R . 1.

∆ ={(x, x) x∈R} ⊂R² , x∆y⇔x=y.

2.

L={

(x, y)∈R² x ≤y}

⊂R² , xLy ⇔x≤y.

3.

Γ ={(x,2x+ 1) x∈R} ⊂R² , xΓy⇔y = 2x+ 1.

1.4.2 写像

例 1.4.2 最後 Γ , 関数f(x) = 2x+ 1 . 一般関数与

を作 ,逆分関数分 . 意味 ,

を考関数を考同 . 集合論的 , 方関数

本体考 . （ , 大抵人考物事

分 , 今 X 各元 y 元を一

対応規則思 .）定義 1.4.3. X, Y を集合 .

f X Y ^写像(map)

(23)

1.4 関係写像 17

⇔def





1. f X Y 間関係 .

2. 任意 x ∈ X 対 , y ∈ Y 一存在 ,

(x, y)∈f .

f X Y 写像を, f: X →Y X −→^f Y 等表 , X をf

定義域(domain) 始域, source等 . Y 名前を少

, 終域, codomain, target等 .

f をX ×Y 部分集合思 , 部分集合を写像 f (graph) . 同記号を使 f: X →Y をΓf 等書 .

, (x, y)∈ Γf , y ^をf(x) ^書 , x f ^像(image) ^：

y =f(x)⇔

def(x, y)∈Γ_f. 明 Γ_f ={(x, y)∈X×Y y =f(x)} . 注意 . f をX Y 写像 . 定義 , (x, y),(x, y^′) ∈Γ_f y =y^′

. , 例1.4.2.2 L 写像 . 残二写像 .

定義 1.4.4. f, g: X →Y を写像 . 任意 x∈X 対 f(x) =g(x) , 写像f g 等 f =g 書 .

注意 . f =g⇔Γf = Γg .

例 1.4.5. 写像f, g: {0,1} →R^をf(x) =x, g(x) =x² 定 , f =g . 例 1.4.6. X を集合 .

1. 空集合∅ X 写像一存在 .

X ̸=∅ , X ∅ ^{写像存在} . 2. 1点集合[1] ={0}^を考 .

X [1] 写像一存在 .

[1] X 写像を定 , X 元を一指定同 . ん, {0} ^特有 ^性質 , 元個数１個集合全対成立 . 元個数１個集合を（ん）1元集合 (singleton) .

0∈[1]^をx ∈X [1] X ^写像をx: [1]→X ^書 .

3. X を集合, X ̸=∅ . 写像s: X → P(X)をs(x) = {x} ^定 . をsingleton map .

X =∅ , ^必要 , ^一 ^存在 ^写像∅ → P(∅)^をsingleton map 考 .

（s 単射 .）

(24)

定義 1.4.7. f: X → Y, g: Y → Z を写像 . (g◦f)(x) = g(f(x)) 定写像g◦f: X → Z を f g 合成(composition) 合成写像

(composite map) . g◦f をgf 略記 .

定義 1.4.8. 1. f: X → Y, g: Y → Z, h: X → Z を写像 . h = gf

次図式可換(commutative) , 可換図式(commutative

diagram) ：

X

f

h //Z

Y

g

??

.

2. fi: X →Yi, gi: Yi →Z（i= 1,2）を写像 . g1f1 =g2f2 次図式可換(commutative) , ^可換図式(commutative diagram)

：

X ^f¹ //

f2

Y₁

g₁

Y₂ _g

2 //Z.

例 1.4.9. 写像f: X →Y , y₀ ∈Y 存在 , 任意 x∈X 対 , f(x) =y₀ , （y0 値を）定値写像(constant map) .

写像f: X → Y ^定値写像 , y0 ∈Y ^存在 , ^次 ^図式 ^可換同値：

X

f //Y

[1]

y0

??

.

例 , c∈R , f(x) =c 定義定数関数f: R→R , c 値を

定値写像 .

注意 . 任意 x, x^′ ∈ X 対 f(x) = f(x^′) 定値写像流儀 .

二定義 X =Y =∅ ^{場合（} ^）異 .

定義 1.4.10. 集合X 各要素を自身 X X 写像をX 恒等写像

(identity map) . 恒等写像をid_X 1_X 記号表多 .

idX: X →X, idX(x) =x.

(25)

1.4 関係写像 19 恒等写像対角線集合(diagonal set) ：

Γid_X ={(x, x) x∈X} ⊂X×X.

命題 1.4.11. f: X →Y, g: Y →Z, h: Z →W を写像 . 次成立 . 1. h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

2. f ◦idX =f = idY ◦f. 証明. 明 .

問* 5. f: X →Y, g: Y →Z, h: Z →W を写像 .

1. 合成gf Γgf 集合？

2. h(gf) = (hg)f ^を ^を用 ^説明 .

定義 1.4.12. Xを集合, A ⊂X を部分集合 .

1. A ^要素 a ∈ A^をX ^要素a ∈ X ^見 ^得 A X ^写

像を包含写像(inclusion map) . i: A → X を包含写像 i(a) =a.

, i: A →X 包含写像 , i: A ,→X 書 .

2. f: X → Y を写像 . 包含写像i: A →X f 合成f ◦iをf A 制

限(restriction) , f|A, f|A等表： f|A=f ◦i: A→Y.

定義 1.4.13. f: X →Y を写像 .

1. X 部分集合A 対 , Y 部分集合

{f(x) x∈A}={y ∈Y ∃x∈X :y=f(x)}

を, ^集合 A f ^像(image) f(A) ^表 .

2. f(X)をf 像(image) 値域(range) Imf 等書 .

3. Y 部分集合B 対 , X 部分集合

{x∈X f(x)∈B}

を f B ^逆像(inverse image) , f⁻¹(B) ^表 .

B 1 点集合 {b} , 誤解 ,

f⁻¹({b})をf⁻¹(b) 略記 .

(26)

f⁻¹(b) =f⁻¹({b})

={x∈X f(x)∈ {b}}

={x∈X f(x) =b} .

命題 1.4.14. f: X →Y を写像, A, A₁, A₂ ⊂ X, B, B₁, B₂ ⊂ Y . 次成立 .

1. f(A)⊂B ⇔A⊂f⁻¹(B).

2. (i) A1 ⊂A2 ⇒f(A1)⊂f(A2).

(ii) f(A₁∪A₂) =f(A₁)∪f(A₂).

(iii) f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2).

(iv) f(A^c)⊃f(X)∩f(A)^c.

3. (i) B₁ ⊂B₂ ⇒f⁻¹(B₁)⊂f⁻¹(B₂).

(ii) f⁻¹(B1∪B2) =f⁻¹(B1)∪f⁻¹(B2).

(iii) f⁻¹(B1∩B2) =f⁻¹(B1)∩f⁻¹(B2).

(iv) f⁻¹(B^c) =f⁻¹(B)^c.

証明. 1 定義明 . 2.(iv) 明 . 例 2.(ii) f(X) = f(A ∪A^c) =

f(A)∪f(A^c) f(X)∩f(A)^c ⊂f(A^c). 3.(iv) 定義明 . 実際 x∈f⁻¹(B^c)⇔f(x)∈B^c ⇔ ¬(f(x)∈B)

x∈f⁻¹(B)^c ⇔ ¬(

x∈f⁻¹(B))

⇔ ¬(f(x)∈B). 他練習問題.

問題集 . 16(1)(2)(3)(4)(5)(6)

定義 1.4.15. f:X →Y を写像 .

1. f X Y 全射(surjection) 上写像(onto map)

def⇔ ∀y∈Y,∃x∈X :f(x) =y.

言換 f 全射 , f(X) =Y .

2. f 単射(injection) 1 対 1(one-to-one)

def⇔ ∀x1, x2 ∈X(x1 ̸=x2) :f(x1)̸=f(x2).

3. f ^全単射(bijection)

def⇔ f 全射単射 .

X Y 全単射存在 X Y 対等 (equinumer-

(27)

1.4 関係写像 21 ous,equipotent) .

講義（少第１章間）X Y 対等 X ∼=Y 書 .

命題 1.4.16. f: X →Y を単射, A, A1, A2 ⊂X . 次成立 . 1. f(A1∩A2) =f(A1)∩f(A2).

2. f(A^c) =f(X)∩f(A)^c. 証明. 練習問題.

問題集 . 16(7)(8)

命題 1.4.17. f: X →Y, g: Y →Z ^を写像 . ^次 ^{成立} .

1. f,g ^単射 g◦f ^単射 .

2. f,g 全射 g◦f 全射 .

3. g◦f 単射 f 単射 .

4. g◦f 全射 g 全射 .

証明. 練習問題.

問 6. 上 1, 2を示 . 問題集 . 18(2)(3)

定義 1.4.18. 写像 f: X → Y 単射 , 各y ∈ f(X) 対 f(x) = y x ∈X ^一 ^存在 . x^をf⁻¹(y) ^書 f⁻¹ f(X) X ^写像

. をf 逆写像(inverse map) .

f 全単射 , f⁻¹ Y X 写像 .

命題 1.4.19. 写像f: X →Y 全単射⇔ ^写像g: Y →X 存在 , g◦f = idX, f ◦g= idY を .

証明. 問題集73(1).

問 7. fi: Xi →Yi (i = 1,2) を全単射, g1: X1 →X2, g2: Y1 →Y2 を写像 .

(28)

g₂◦f₁ =f₂◦g₁ ⇔f₂⁻¹ ◦g₂ =g₁◦f₁⁻¹: X1

f1 //

g₁

^⟳

Y1 g₂

⇔

X1 oo ^f¹⁻¹

g₁

^⟳

Y1 g₂

X₂

f2

//Y₂ X₂ oo

f₂⁻¹

Y₂. 定義 1.4.20. f:X →Y を写像 .

1. 写像r: Y →X ,r◦f = idX ををf (retraction) 左逆写像(left inverse map) . 恒等写像全単射 , f

を持 f 単射 , 全射 .

2. 写像s: Y → X f ◦s = idY ををf 切断(section) 右逆

写像(right inverse map) . f ^切断を持 f ^全射 , ^切断 ^単

射 .

注意 . f: X →Y を写像 B ⊂ Y をf(X)⊂ B 部分集合 .

f X B 写像を定 . 制限適当記号 , 習

慣を同記号 f: X →B 表 .

問 8. f: X →Y, g: Y →Z を写像 . f 全射 Img◦f = Img を示 .

問題集 . 15(1)(2)(3)(4), 17(1)(2), 18(1), 19(1)(2)(3)(4), 25,26, 73(1)(2)(3)

1.4.3 積写像

1.4.3節集合全空集合場合考 . （空集合適当

扱省略 .）

定義 1.4.21. 1. X1, X2 を集合 . i = 1,2 対 , pi(x1, x2) = xi 定写像p_i: X₁×X₂ →X_iを第i成分射影(projection) .

（厳密 p_i((x, y)) 書見普通

書 .）

2. fi: Y →Xi (i= 1,2)^を写像 . ^写像⟨f1, f2⟩: Y →X1×X2を⟨f1, f2⟩(y) = (f₁(y), f₂(y)) 定 .

3. X を集合 . 写像 ∆ = ⟨1X,1X⟩: X → X ×X を対角線写像 (diagonal

map) . ∆(x) = (x, x)∈X ×X .

(29)

1.4 関係写像 23 4. f_i: X_i → Y_i (i = 1,2) を写像 . 写像 f₁ ×f₂: X₁ ×X₂ → Y₁ ×Y₂ を

(f1×f2)(x1, x2) = (f1(x1), f2(x2)) 定 .

注意 . 1. 写像⟨f1, f2⟩: Y → X1×X2 (f1, f2) 記号書多 . 直積集合元同記号 , 混乱を ⟨⟩^を使 , 実 , 後（時間）見（命題 1.4.34） , 混同問題無 . 2. 二写像等 , 二順序対等定義 , 写像

fi, gi: Y →Xi , fi =gi (i= 1,2)⇔ ⟨f1, f2⟩=⟨g1, g2⟩ . 例 1.4.22. 1. a, b >0 , R² ^部分集合

E = {

(x, y)∈R² (x a

)2

+ (y

b )2

= 1 }

（楕円）射影p_i: R² → R ^像を考 . p₁(E) = [−a, a], p₂(E) = [−b, b]

.

2. f1: R → R ^を f1(t) = acos(t), f2: R → R ^を f2(t) = bsin(t) 定 ,

⟨f₁, f₂⟩: R→ R² ⟨f₁, f₂⟩(t) = (acos(t), bsin(t)) 写像（楕円媒介変数表示） .

3. I = [0,1]を閉区間 , 対角線写像∆ : I →I ×I 像∆(I) 正方形I×I 対角線.

4. i: S¹ ,→ R², j: I = [0,1] ,→ R^{を包含写像} . i×j: S¹ ×I → R²×R=R³ ^像

{(x, y, z)∈R³ x²+y² = 1,0≤z ≤1} .

次命題 X₁×X₂ 写像を考 , X₁ 写像 X₂ 写像組を考

本質的同を（命題 1.4.34参照）.

命題 1.4.23. fi: Y → Xi (i = 1,2), g: Y →X1×X2 を写像 . 次成立 .

1. pi◦ ⟨f1, f2⟩=fi (i= 1,2).

2. g=⟨p₁◦g, p₂◦g⟩.

(30)

写像g p_i◦g =f_i (i= 1,2)を g=⟨f₁, f₂⟩ .

f1 Y

f2

⟨f1,f2⟩ g

X₁ X₁×X₂_p

1

oo p2 // X₂

1X1×X2 =⟨p1, p2⟩ ^（定義 ^明 ^）.

証明. 1. 任意 y ∈Y 対 , (p1◦ ⟨f1, f2⟩) (y) =p1(f1(y), f2(y)) =f1(y).

2. 射影定義 , 任意 y ∈Y 対 , g(y) = (p₁g(y), p₂g(y)).

系 1.4.24. f, g: Y →X₁×X₂を写像 . p_i◦f =p_i◦g (i = 1,2) , f =g .

証明. f =⟨p1◦f, p2◦f⟩=⟨p1◦g, p2◦g⟩=g.

問 9. fi: Y →Xi (i = 1,2), h: Z →Y を写像 . ⟨f1, f2⟩ ◦h=⟨f1◦h, f2◦h⟩^を示 .

Z

h

f₁h

f₂h

Y

f1

f2

⟨f1,f2⟩

X1 X1×X2p1oo

p2 // X2

問 10. 1. f_i: X_i → Y_i (i = 1,2) を写像, p_i: X₁ ×X₂ → X_i, q_i: Y₁ ×Y₂ → Y_i (i= 1,2)を射影 .

(i) qi◦(f1×f2) =fi◦pi (i=i,2)を示 . (ii) f1×f2 =⟨f1◦p1, f2◦p2⟩^を示 .

X1 f₁

X1×X2 p₁

oo ^p² //

f₁×f₂

X2 f₂

Y1 oo q1 Y1×Y2

q2 // Y2

2. f_i: X_i →Y_i, g_i: Z →X_i (i= 1,2)を写像 . (i) (f1×f2)◦ ⟨g1, g2⟩=⟨f1◦g1, f2◦g2⟩^を示 . (ii) ⟨g1, g2⟩= (g1×g2)◦∆を示 .

(31)

1.4 関係写像 25 Z

⟨g₁,g₂⟩ ##

⟨f1g1,f2g2⟩ //Y₁×Y₂ Z

∆ ""

⟨g1,g2⟩ // X₁×X₂

X1×X2

f1×f2

88

Z×Z

g1×g2

99

. 問 11. 1. X, Y を集合 . 1X ×1Y = 1X×Y を示 .

2. f_i: X_i → Y_i, g_i: Y_i → Z_i （i = 1,2）を写像 . (g₁ ×g₂)◦(f₁ ×f₂) = (g₁◦f₁)×(g₂◦f₂)を示 .

X1×X2

f₁×f₂ &&

g₁f₁×g₂f₂ // Z1×Z2

Y1×Y2

g₁×g₂

99

.

問 12. f_i: X →Y_i, g_i: X_i → Y_i を写像 . 以下主張正証明 , 正反例を挙 .

1. f₁, f₂ 単射 ⟨f₁, f₂⟩: X →Y₁×Y₂ 単射. 2. f1, f2 全射 ⟨f1, f2⟩: X →Y1×Y2 全射.

3. g1, g2 単射 g1 ×g2: X1×X2 →Y1×Y2 単射. 4. g₁, g₂ 単射 g₁×g₂: X₁×X₂ →Y₁×Y₂ 単射. 5. g1, g2 全射 g1×g2: X1×X2 →Y1×Y2 全射.

問 13. X, Y を集合 . 写像τ: X ×Y →Y ×X をτ(x, y) = (y, x) 定

τ 全単射 .

問 14. X, Y を集合, y ∈ Y . 写像iy: X → X ×Y をiy(x) = (x, y) 定 .

1. i_y 単射 .

2. c_y: X →Y をy 値を定値写像 . i_y =⟨1_X, c_y⟩^を示 .

, 写像i_y X 像X× {y} ⊂X×Y を同一視 ,X をX×Y

部分集合 . 同様 , X X× {∗} 同一視 .

問 15. fi: X →Yi, gi: Xi →Yiを写像, qi: Y1×Y2 →Yi を射影, Bi ⊂Yiを部分集合

. ^次を示 .

1. B1×B2 =q₁⁻¹(B1)∩q⁻¹₂ (B2).

2. ⟨f₁, f₂⟩⁻¹(B₁×B₂) =f₁⁻¹(B₁)∩f₂⁻¹(B₂).

3. (g1×g2)⁻¹(B1×B2) =g₁⁻¹(B1)×g₂⁻¹(B2).

(32)

例 1.4.25. 写像p: R→S¹をp(t) = (cos 2πt,sin 2πt) 定 .

p 全射 , p⁻¹({(1,0)}) =Z . , pを[0,1) 制限（ p 書

）全単射 .

,写像p×p: R×R→S¹×S¹ 全射 , (p×p)⁻¹({((1,0),(1,0))}) =Z×Z. , 写像p×p: [0,1)×[0,1)→S¹×S¹ 全単射 .

注意 . S¹ ={z ∈C |z|= 1} ⊂C ^見 , p(t) = exp(2πit) =e^2πit .

1.4.4 Y

^X

定義 1.4.26. X, Y を集合 . X Y 写像全体集合をMap(X, Y)

Y^X 表 . （Hom(X, Y), F(X, Y) 記号を使 .）

Map(X, Y) =Y^X ={

f f X Y ^写像}

. 例 1.4.27. 例 1.4.6参照.

任意集合Y 対 , ∅ Y 写像一存在 Y^∅ ∼= [1].

∅^∅ ∼= [1].

X ̸=∅ , X ∅ ^{写像存在} ∅^X =∅.

, 任意集合X 対 , X [1] 写像一存在 [1]^X ∼= [1].

Y^[1] 例1.4.36を見 .

例 1.4.28. 自然数全体N R ^写像

a: N→R

を実数列 . 普通a(n)をan 書 , 数列を{an}n∈N {an} ^表 .

R^N = Map(N,R) 実数列全体集合 .

定義 1.4.29. f:X →Y を写像, Z を集合 .

1. 写像f_∗: Map(Z, X)→Map(Z, Y)をf_∗(g) =f◦g 定： Map(Z, X) ^f^∗ // Map(Z, Y)

Z −→

g∈ X //

Z −→

g X −→

f Y.

∈

(33)

1.4 関係写像 27 2. 写像f^∗: Map(Y, Z)→Map(X, Z)をf^∗(h) =h◦f 定：

Map(Y, Z) ^f

∗ // Map(X, Z)

Y −→

h∈ Z //

X −→

f Y −→

h Z.

∈

写像 f_∗, f^∗ をf 誘導写像 (induced map) . 写像f_∗, f^∗ 集合Z 依存 . f_∗ をMap(Z, f), Map(id_Z, f), Hom(Z, f)等 , f^∗ をMap(f, Z), Map(f,idZ), Hom(f, Z)等書 .

Y^X 記法を使場合, f_∗ をf^Z , f^∗をZ^f 書： f^Z =f_∗: X^Z →Y^Z

Z^f =f^∗: Z^Y →Z^X 注意! . ^写像 ^向 ^注意.

例 1.4.30. X を集合, A ⊂ X, i: A → X を包含写像 . i^∗: Map(X, Y) →

Map(A, Y) 写像f: X →Y 対 , A 制限f|Aを対応写像 .

例 1.4.31. 1. 写像 f: N → N ^を f(n) = 2n 定 , f^∗: R^N → R^N ^数列 {a_n}n∈Nを{a_2n}n∈N （第n項 a_2n 数列）写像 . 2. 写像 g: R → R ^を g(x) = 2x 定 , g_∗: R^N → R^N ^数列

幾何学序論講義