幾何学序論１

幾何学序論１ K.Ichihara

単射 全射

全射・単射と合成 写像

全単射

全単射とは 逆写像 逆写像の性質

幾何学序論１

市原一裕

2014^年6^月2^日（月）2^限

幾何学序論１ K.Ichihara

単射 全射

全射・単射と合成 写像

全単射

全単射とは 逆写像 逆写像の性質

小テスト

1. f(x) =x²

で決まる写像

^に対し て，

，

とし たとき，

^と

^を 求めなさい．

2. A

，

を集合とし，

を写像とす るとき，

^{の部分集合}

，

に対して，

f⁻¹(B1 ∪B2) ⊂ f⁻¹(B1)∪f⁻¹(B2)

^を証 明しなさい．

3. f ◦f⁻¹(B) 6= B

^{となるような集合}

^と

および写像

^{の例を具体的に作}

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単射

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全単射

全単射とは 逆写像 逆写像の性質

単射とは

定義 2.4.1【単射（injection, monomorphism, one-to-one map）】

写像f :X→Y が単射であるとは，∀x₁, x₂∈Xに対し，

「x1 6=x2ならばf(x1)6=f(x2)」が成り立つということ．

言い換え（１）

f が単射 ⇔

∀x1, x2 ∈X^{に対し，「}f(x1) =f(x2)^ならばx1 =x2」 言い換え（２）

f ^が単射 ⇔ ∀y∈Y, ](f⁻¹(y))≤1

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全単射

全単射とは 逆写像 逆写像の性質

単射かどうか調べるには

どのようにして与えられた写像が単射かどうか判断するか？

定義域が有限集合のときはすべての要素の行き先を調べる．

定義域が無限集合のときは，定義の対偶（言い換え(1)^） を調べるとうまくことが多い．

注意 2.4.3

単射性を調べるときは，定義域を把握しておく必要がある．

つまり定義域によって単射になったりならなかったりする．

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全単射とは 逆写像 逆写像の性質

全射とは

定義 2.5.1【全射（surjection, epimorphism, onto map）】

写像f :X→Y ^{が全射であるとは，「}∀y∈Y ^に対し，

∃x∈X s.t. y=f(x)」が成り立つということ．

言い換え

f が全射 ⇔ ∀y∈Y, ](f⁻¹(y))≥1

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全単射

全単射とは 逆写像 逆写像の性質

全射・単射と合成写像

定理 2.6.1

X，Y，Zを集合とし，f :X→Y とg:Y →Zを2つの 写像とする．

1. fとgが単射⇒ g◦fは単射 2. f^とg^が全射⇒ g◦f^は全射 3. g◦f :X →Y ^が単射 ⇒ f^は単射 4. g◦f :X →Y ^が全射 ⇒ g^は全射

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全単射

全単射とは 逆写像 逆写像の性質

全単射とは

定義 2.7.1【全単射（bijection）】

写像f :X→Y が全単射であるとは，f が単射かつ全射と いうこと．

言い換え

f が全単射 ⇔ ∀y∈Y, ](f⁻¹(y)) = 1

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全単射とは 逆写像 逆写像の性質

逆写像とは

定義 2.7.2【逆写像（inverse map）】

写像f :X→Y ^{が全単射であるとき，}∀y∈Y ^{に対して，}

](f⁻¹(y)) = 1より，y =f(x)となるx∈Xが唯一つ存在．

このy7→xという対応により得られるY ^からX^{への写像を} この写像をf^{の逆写像といい，}f⁻¹:Y →X^{であらわす．}

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全単射とは 逆写像 逆写像の性質

逆写像の性質

定理 2.7.1

写像f :X→Y が全単射であるならば，

1. f◦f⁻¹ =idY

2. f⁻¹◦f =id_X

定理 2.7.2

2つの写像f :X→Y とg:Y →Xがあって，

f ◦g=id_Y g◦f =id_X が成り立つならば，

f もgも全単射であり，g=f⁻¹かつf =g⁻¹が成り立つ．