幾何学序論１

(1)

幾何学序論１ K.Ichihara

小テスト集合の対等と濃度

有限集合とは無限集合とは

可算集合と非可算集合

濃度の比較

冪集合の濃度

練習問題

幾何学序論１

市原一裕

2015

年

6

月

8

日（月）

2

限

(2)

濃度の比較

冪集合の濃度

練習問題

小テスト

1. 次の空欄にあてはまる語句を答えなさい．

▶ f は【】 ⇔ ∀y∈Y, ♯(f⁻¹(y))≥1

▶ f は【】 ⇔ ∀y∈Y, ♯(f⁻¹(y)) = 1

▶ f は【】 ⇔ ∀y∈Y, ♯(f⁻¹(y))≤1

2. f (x) = − x

²

+ 4x で定義される写像 f : R → R が全射でないことを示しなさい．

3. f (x) = √

x で定義される写像

f : { x ∈ R | x > 0 } → R ^{が単射であるこ}

とを示しなさい．

(3)

濃度の比較

冪集合の濃度

練習問題

有限集合とは

直感的な定義：含まれる元の個数が有限個の集合のこと．

つまり・・・

全ての元に（有限個の）番号が付けられる集合

⇒

その「番号」に対して，元たちと全単射がつくれる！

定義

2.8.1【有限集合（finite set）】

集合

X

が有限集合であるとは，ある

n ∈

N^{に対して，}

全単射

f : { 1, 2, 3, · · · , n } → X

が存在すること．

この

n

を

X

に含まれる元の個数といい，

♯X

であらわす．

注意

2.8.1

本当は先にNの定義をしないといけない．．．が，ここでは，

まず直感的にわかってもらうために，それは後回し．

(4)

濃度の比較

冪集合の濃度

練習問題

要素の個数と全単射

定理

2.8.1

２つの有限集合

X

と

Y

に対して，

1. 単射

f : X → Y

が存在する

⇔ ♯X ≤ ♯Y

2. 全射

f : X → Y

が存在する

⇔ ♯X ≥ ♯Y

3. 全単射

f : X → Y

が存在する

⇔ ♯X = ♯Y

注意

2.8.2 (1)

の

⇒

^の対偶

「

♯X > ♯Y ⇒

^単射

f : X → Y

が存在しない」

は鳩の巣原理とよばれ有名（

1834

年，ディリクレ）．

(5)

濃度の比較

冪集合の濃度

練習問題

集合の対等

定義

2.8.2【集合の対等（濃度が等しい）】

２つの集合

X

と

Y

が対等である（濃度が等しい）とは，

全単射

f : X → Y

が存在すること．（

X ∼ Y

とかく）

注意

2.8.3

ここでは「集合の濃度」とはなにか，という定義はしない．あくまで「濃度が等しい」ことの定義だけ．

定理

2.8.2

２つの有限集合

X

と

Y

が対等である

⇔ ♯X = ♯Y

(6)

濃度の比較

冪集合の濃度

練習問題

全射・単射と合成写像

無限集合についても，集合が対等である（濃度が等しい）

ことの定義は，有限集合のときと同じ，

つまり全単射が存在することと定義しよう．

定義

2.7.1【無限集合（infinite set）】

集合

X

が無限集合であるとは，

X

とは異なる

X

の部分集合（つまり，

X

の真部分集合）で，

X

と対等な集合が存在すること．

例

2.8.1

N^{は無限集合．}

注意

2.8.5

鳩の巣原理より，有限集合は無限集合ではない．

(7)

濃度の比較

冪集合の濃度

練習問題

定義

2.9.1【可算集合（countable set）】

集合

X

が可算集合であるとは，

X

とN^{が対等である}

（つまり，全単射

X →

N^{が存在する）こと．}

可算集合でない集合を非可算集合（

uncontable set

）という．

例

2.9.1

Rは非可算集合（証明は対角線論法による）

(8)

濃度の比較

冪集合の濃度

練習問題

濃度の大小

定義

2.10.1【濃度の大小】

集合

X

と

Y

に対して，単射

f : X → Y

が存在するとき，

Y

の濃度は

X

の濃度以上であるといい，

♯X ≤ ♯Y

とかく．

定理

2.10.2

集合

X

と

Y

に対して，

♯X ≤ ♯Y

かつ

♯Y ≤ ♯X

のとき，

X

と

Y

は対等である，つまり，濃度は等しい

（つまり，全単射

f : X → Y

が存在する）

この定理は次の定理からわかる．

定理

2.10.2，ベルンシュタインの定理（1897）

２つの集合

X

と

Y

に対して，

２つの単射

f : X → Y

と

g : Y → X

が存在するとき，

実は，全単射

h : X → Y

が存在する．

(9)

濃度の比較

冪集合の濃度

練習問題

冪集合の濃度

次の定理によって，いくらでも濃度の大きな無限集合が存在することがわかる．

定理

2.7.1

任意の集合

X

に対して，

♯X ≤ ♯2

^X である．

(10)

濃度の比較

冪集合の濃度

練習問題

2.10.1

整数の集合Zが無限集合であることを示しなさい．

練習問題

2.10.2

整数の集合Zが可算集合であることを示しなさい．

練習問題

2.10.3 X := { n | n = 3k − √

2 , k ∈

Z}^{としたとき，}

♯X ≤ ♯

Z^を示しなさい．

幾何学序論１

幾何学序論１

2015

6

8

2

1. 次の空欄にあてはまる語句を答えなさい．

2. f (x) = − x

+ 4x で定義される写像 f : R → R が全射でないことを示しな さい．

3. f (x) = √

x で定義される写像

f : { x ∈ R | x > 0 } → R が単射であるこ

とを示しなさい．

⇒

2.8.1【有限集合（finite set）】

X

n ∈

f : { 1, 2, 3, · · · , n } → X

n

X

♯X

2.8.1

2.8.1

X

Y

f : X → Y

⇔ ♯X ≤ ♯Y

f : X → Y

⇔ ♯X ≥ ♯Y

f : X → Y

⇔ ♯X = ♯Y

2.8.2 (1)

⇒

♯X > ♯Y ⇒

f : X → Y

1834

2.8.2【集合の対等（濃度が等しい）】

X

Y

f : X → Y

X ∼ Y

2.8.3

2.8.2

X

Y

⇔ ♯X = ♯Y

2.7.1【無限集合（infinite set）】

X

X

X

X

X

2.8.1

2.8.5

2.9.1【可算集合（countable set）】

X

X

X →

uncontable set

2.9.1

2.10.1【濃度の大小】

X

Y

f : X → Y

Y

X

♯X ≤ ♯Y

2.10.2

X

Y

♯X ≤ ♯Y

♯Y ≤ ♯X

X

Y

f : X → Y

2.10.2，ベルンシュタインの定理（1897）

X

Y

f : X → Y

g : Y → X

+ 4x で定義される写像 f : R → R が全射でないことを示しなさい．

f : { x ∈ R | x > 0 } → R ^{が単射であるこ}