c 同次方程式の 2 種類の解とガウスの消去法

①

1

組の解が存在する場合

[

第

2

段階

]

( ) ( ) ( )

1 2 3

2 3 2 0 1

0 5 1 0 2.1

0 0 83 10 0 3.2

x x x

⎡ − ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬=

⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ − ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

解は，

x₃ =x₂ = x₁ =0

である。わかりきっているので，“自明の解”とよばれる。

③ 解が無数存在する場合

[

第

2

段階

]

( ) ( ) ( )

1 2 3

2 3 2 0 1

0 5 1 0 2.1

0 0 0 0 3.2

x x x

⎡ − ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬=

⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

解は次式である。

3 2 1

, , 13

5 5

t t

x t x

−

x

−

= = =

正方行列 [ ] A に対して行列式が定義され，

[ ]A

と表わされる。次数が高くな

ると，そのままでは行列式を求めるには大変時間がかかる。しかし，上記のよ

うに求められた三角行列 [ ] U ^の行列式

[ ]U

^は， “対角成分の積”であるので簡単

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

に求まる。したがって，三角行列の行列式

[ ]U ≠0

^{の場合は自明の解，}

[ ]U =0

の場合は解が無数あることになる。

元の行列 [ ] A ^{と三角行列} [ ] U の関係を調べてみよう。行列式には，“１つの列

(

あるいは行

)

に他の列

(

あるいは行

)

の何倍かを加えても値は変わらない”と“

2

つの列

(

あるいは行

)

を入れ替えると値は－

1

倍される”性質がある。したがって，

当初の係数行列を三角行列に変形していくとき，行の入れ替えのときだけ，行 列式が－

1

倍されていく。入れ替えの回数を

k

^とすると

[ ]

^{A = −}

( )

^{1 k}

[ ]

^U

^(8.30)

となる。

[ ]A

^と

[ ]U

の絶対値は等しいから，結局，同次方程式において，

[ ]A ≠0

および

[ ]A =0

の場合は，それぞれ自明の解および無数の解が存在することにな る。

8.5 1

次変換と座標変換

変数の組

( , )x x_{1 2}

^と

( , )y y_{1 2}

^{すなわちベクトル} { } x ^と { } y ^が

^{1 11 12 1}

2 21 22 2

y t t x

y t t x

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

⎨ ⎬=⎢ ⎥⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

^すなわち { }

^{y =}

[ ]

^{T x}

{ }

^(8.31)

の関係にあるとき， “

( , )x x_{1 2}

^と

( , )y y_{1 2}

^は

1

次変換(線形変換，線形写像)の関係”，

“

( , )y y_{1 2}

^は

( , )x x_{1 2}

^の

1

次変換”あるいは“

( , )x x_{1 2}

^から

( , )y y_{1 2}

^への

1

次変換”

であるという。 [ ] T ^{を 線形変換行列}

(

以降，変換行列

)

という。

1

次変換は f g , などの文字で表わし，ベクトル { } x ^{にベクトル} { } y ^{が対応する} とき

{ }

^{y = f}

( ) { }

^{x (8.32)}

と表現する。

1 次変換 f には，線形性という重要な性質がある。

①

^{f k x}

( { } )

^=kf

( ) { }

^{x , f}

( ) { }

^{0 =}

{ }

^{0 (8.33)}

② f ( { } { } x

1+

x

2

)

=

f ( ) ^{{ }} x

1 +

f ( ) ^{{ }} x

2 (8.34)

すなわち，①ベクトルの

k

倍の 1 次変換とベクトルの 1 次変換の

k

^{倍とは一致}

する，②2 つのベクトルの和に対する 1 次変換と各ベクトルの 1 次変換の和は 一致する。

1

次変換には，幾何学的に

2

つの概念が含まれる。それは，①“狭義の

1

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

次変換”すなわち“

1

つの座標系における異なるベクトル { } x ^と { } y ^{の関係”，}

②“座標変換”すなわち“

1

つのベクトルを異なる座標系で表した数ベクトル { } x ^と { } y ^{の関係”，である。}

（１） 狭義の

1

次変換

1

次変換を， “狭義の

1

次変換”の視点から幾何学的にとらえると，図

8.1

に 示すように，

1

つの座標系において，あるベクトル x

=

{ } x ^{とそれに対応するベ} クトル y

=

{ } y との関係を示している。あるいは，ある点

P x x( , )_{1 2}

^{とそれに対応} する点

Q y y( , )_{1 2}

との関係を示している。

x

2

0

→x

x

₁

y

2

y

₁ y

→

P

Q

図 8.1　 一 つ の 座 標 系 に 　 　 お け る 1次 変 換

物理的に具体性のある“狭義の

1

次変換”について考えてみよう。図

6.1

に 示す“

2

層のせん断建物モデル”の節点

1

と節点

2

の変位

x₁

^と

x₂

^{を座標軸とす} る，理論上の

x x_{1 2}

^{直交座標系を考える}

(

図

8.2)

。

ある時刻

t

^{の変位の状態}

( , )x x_{1 2}

は，ベクトル

¹

2

x x x

= ⎨ ⎬⎧ ⎫

⎩ ⎭ ^(8.35)

で表すことができる。この変位に対応して復元力が定まる。節点

1

と節点

2

の 復元力をそれぞれ

Q₁

^と

Q₂

とすると，復元力の状態はベクトル

¹

2

Q Q Q

= ⎨ ⎬⎧ ⎫

⎩ ⎭ ^(8.36)

で表される。変位ベクトルと復元力ベクトルは

^{1 11 12 1}

2 21 22 2

Q k k x

Q k k x

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

⎨ ⎬=⎢ ⎥⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

^あるいは { }

^{Q =}

[ ]

^{K x}

{ }

^(8.37)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

の関係にある

(

この節で述べる

1

次変換式は，後で証明する。ここでは，読者 は，それが既知である前提で読んでほしい

)

。すなわち，変位ベクトルと復元 力ベクトルは

1

次変換の関係にある。

x

₁

x

₂

→x

0 x

₂

→

x

₁

図 8. 2　 x x 座 標 系 に お け る 1次 変 換

1 2

(a)変 位 ベ ク ト ル の 1次 変 換

x

₁

0

x

₂

a^→

→a^x

x

1

‥ 1

‥

2^‥

x

₂ ^→F

F

1

F

2

(b )加 速 度 ベ ク ト ル の 1次 変 換

→ Q

Q

2

Q

1

Q

→

u

₁

u

₂ u

u

‥

u

u

それらを“狭義の

1

次変換”の見地で幾何学的に表したのが，図

8.2(a)

であ る。変位ベクトルは位置ベクトルであり，復元力ベクトルはその終点を始点 としたベクトルであると考えるのが物理的に妥当である。しかし，復元力ベ クトルは平行移動してもかまわないから，その始点を原点に移動する。これ が

1

次変換に対する幾何学上の一般的な表現である。以降，この表現を用い る。

ある時刻

t

^{のモード振動系の変位}

(

基準座標

)

の状態

( , )u u_{1 2}

^{は，ベクトル}

¹

2

u u u

= ⎨ ⎬⎧ ⎫

⎩ ⎭ ^(8.38)

で表すことができる。節点

1

と節点

2

の元の変位ベクトルとモード振動系の 変位ベクトルは

^{1 11 12 1}

2 21 22 2

x a a u

x a a u

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

⎨ ⎬=⎢ ⎥⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

^あるいは { }

^{x =}

[ ]

^{A u}

{ }

^(8.39)

の関係にある。すなわち， { } x ^と { } u ^は

1

次変換の関係にある

(

図

8.2(a))

。 時刻

t

の元の加速度，慣性力とモード振動系の加速度の状態は，それぞれ

^{1 1 1}

2 2 2

, ,

x u

x F u

a F a

x F u

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

=⎨ ⎬ =⎨ ⎬ =⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ^(8.40)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

と表すことができる。これらのベクトルは

^{1 1 1 1 11 12 1}

2 2 2 2 21 22 2

0 ,

0

F m x x a a u

F m x x a a u

⎧ ⎫ ⎡− ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

= =

⎨ ⎬ ⎢ − ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ^(8.41)

の関係がある。すなわち，“慣性力と元の加速度”および“元の加速度とモー ド座標系の加速度”は

1

次変換の関係にある。これらを“狭義の

1

次変換”

の見地で幾何学的に表すと図

8.2(b)

である。ここで注目しなければならないこ

ドキュメント内 土木/建築技術者のための基礎から学ぶ振動学 (ページ 96-100)