b において，固有振動数と振動数が同じである調和強制力 F 0 sin ω t が 作用する場合，最大変位，柱下端における最大せん断力と最大曲げモーメント

を求めよう。図

3.a

に計算条件を示す。等価せん断バネ定数

k_xe

^は例題

1.b

で求

めた値である。ただし，減衰定数は

h=0.05

^，

F₀

^は重力の

20%

とする。すなわ

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

ち

5 6 2 3

0

0.2 0.2 9.0 10 9.8 1.76 10 kg m s 1.76 10 kN

F

=

mg

= × × × = × ⋅ = ×

である。

F0

^{に対する静的変位は}

δ

_s =

F k

_{0 xe} =

1.76 10 1.33 10

× ³ × ⁴ =

0.132m である。 r

=

1 の場合の動的応答倍率は，式

(3.18)

より

D=1 2h=1 2 0.05 10.0× = (a)

であるから，最大変位は

x_max =D

δ

_s =10.0 0.132 1.32m× = (b)

である。最大変位が，

F₀

^{に対する静的変位} δ

_s

^の D 倍であるということは，ダ

ランベールの原理における質点に作用する荷重が

F₀

^の D ^{倍であるということ} である。それは最大せん断力であるから

3 4

max 0

10.0 1.76 10 1.76 10 kN

S

=

DF

= × × = ×

である。柱下端の最大曲げモーメントは

( )

^{4 5}

max 0 _p 1.76 10 24=4.22 10 kN m

M = DF H = × × × ⋅

である。

3.3

調和地盤振動に対する減衰応答

(a)解 析 モ デ ル

m

k x {-m( x+ x ) }

g

(b ) 自 由 物 体 図

‥

‥

地 盤

① k x m x

_g

絶対座標 の原点

0

1

図 3.5　 調 和 地 盤 振 動 に 対 す る 非 減 衰 振 動

図

3.5

は，地盤と構造物の関係をモデル化した図である。構造物は地盤に固 定された質量とバネで構成されている系である。絶対座標系における地盤の変 位を x

_g

^，節点

1

の地盤に対する相対変位を

x

^{とする。節点}

1

の絶対加速度は，

x x

+ g

であるから，運動方程式は，図

3.5(b)の自由物体図から

(

g

) ^0,

g

m x x

+ +

cx kx

+ = ∴

mx cx kx

+ + = −

mx

(3.20)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

である。式

(3.9)

と比較すると，地盤が振動する場合の運動方程式は，外力 f t ( ) を

−

mx

_g

に置き換えた式と一致する。ただし，

x

は地盤に対する相対変位である。

式

(3.20)

を書き直すと

2 ² , ,

g 2

k c

x h x x x h

m km

ω ω ω

+ + = − = =

(3.21)

となる。

地盤が調和振動しているとする。したがって，地盤の絶対変位を

x

_g =

a

₀

sin pt

(3.22)

と表わすことができる。絶対加速度は，2 回微分して

x_g = −a p₀ ²sin pt (3.23)

である。式

(3.23)

を

(3.21)

に代入すると

x

+

2 h x ω

+

ω

²

x a p

= ₀ ²

sin pt

(3.24)

となる。この微分方程式は，式

(3.11)

で

F m₀

^を a p

₀ ²

に置き換えたものである。

したがって，その一般解は，式

(3.11)

の一般解である式

(3.14)

・

(3.15)

・

(3.16)

で， δ

_s

^を

2 2

0 0 0 2

2 0 s

F ma p a p k k a r

δ

^{= = =}

ω

⁼

に置き換えたものである。ゆえに，式

(3.24)

の一般解は以下のとおりである。

x e= ^{−h tω}

(

a1cos

ω

_Dt a+ 2sin

ω

_Dt

)

+A_psin

(

pt+

θ )

過渡応答 定常応答

(3.25)

( )

2 0

2 2 2 2

1 4

p

A a r

r h r

=

− +

(3.26)

( ) ( )

2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 1

sin , cos

1 4 1 4

hr r

r h r r h r

θ

= ⁻

θ

= ⁻

− + − +

(3.27)

耐震設計で重要である“地盤の最大絶対加速度

₀ ²

max( )

xg =a p

^{”に対する“節} 点

1

の 定 常 応 答 の 最 大 絶 対 加 速 度 x x

+ _g

” の 比 す な わ ち “ 加 速 度 応 答 倍 率

max max

a g g

D = +x x x

”を求めよう。応答絶対加速度 ( x x

+ _g

) ^は，式

(3.21)

を移

項することによって

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

x x+ _g = −2h x

ω

−

ω

²x (3.28)

である。

定常応答の変位は，式

(3.25)

・

(3.26)

より

( ) ^{( )}

2 0

2 2 2 2

sin

1 4

x a r pt

r h r

θ

= +

− +

(3.29)

である。速度は，式

(3.29)

を微分して

( ) ^{( )}

2 0

2 2 2 2

cos

1 4

x a r p pt

r h r

θ

= +

− +

(3.30)

である。式

(3.29)

・

(3.30)

を

(3.28)

に代入すると

( ) { ^{( ) ( )} }

( )

( ) { ^{( ) ( )} }

( ) ^{{ ( ) ( ) }}

( ) ^{( ) ( )}

2 2

0

2 2 2 2

2

0 2

2 2 2 2

2 0

2 2 2 2

2 2 2

0

2 2 2 2 2

2 2 2

sin 2 cos

1 4

sin 2 cos

1 4

sin 2 cos

1 4

1 4 1 2

sin cos

1 4 1 4

1 4

g

x x a r pt h p pt

r h r

a p pt h p pt

r h r

a p pt hr pt

r h r

a p h r hr

pt pt

h r h r

r h r

ω θ ω θ

ω ω θ ω θ

θ θ

θ θ

+ = − + + +

− +

= − + + +

− +

= − + + +

− +

⎧ ⎫

= − + ⎨ + + + ⎬

+ +

⎩ ⎭

− +

( ) ^{( )}

2 2 2

0 2 2 2 2

1 4 sin

1 4

g

x x a p h r pt

r⁺ h r

θ α

∴ + = − ⋅ + +

− + ^(3.31)

2 2 2 2

1 2

cos , sin

1 4 1 4

hr

h r h r

α

=

α

=

+ + ^(3.32)

となる。式

(3.23)

より

²

g max

x =ap

であるから，加速度応答倍率は，

( )

2 2 max

2 2 2 2

max

1 4

1 4

g a

g

x x h r

D x r h r

+ +

= =

− +

^(3.33)

である。これを図示したのが図

3.6

である。加速度応答倍率

D_a

^{は，共振点付近}

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

で非常に大きい。定常振動の最大応答絶対加速度

g max

x x+

^は

(

^{0 2}

)

g max a

x x+ =D a p (3.34)

と書けるから，

h

が小さい場合，共振点付近では，地盤加速度の振幅

a₀

^より，

加速度応答倍率

D_a

^{すなわち振動数比} r の影響の方がはるかに大きい。共振 点

(

r

=

1

)

では加速度応答倍率

D_a

^は

2

2 2

1 4 1

4 4 1

a

D h

h h

= + = + (3.35)

である。実際の構造物のように減衰定数

h

が小さい場合，動的応答倍率 D ^と同 じ

1 2h

^である。

図3.6　加速度応答倍率

0

10 20 30

0 0.5 1 1.5

振動数比　p/ω

加速 度応答倍 率　D a

h=0.02

h=0.05

h=0.10

ドキュメント内 土木/建築技術者のための基礎から学ぶ振動学 (ページ 33-37)