つの方法は，ベクトルを座標系の成分の配列すなわち数ベクトルで表 わす方法である。この方法では，成分の配列番地の意味が暗黙に了解されてい

ることが前提にある。たとえば，力，微小変位，速度，加速度は，通常，成分

を縦に並べた列ベクトルで表わし，番地の

1

行と

2

行は，以下のように，それ

ぞれ xy ^座標系の

x

^軸方向と y 軸方向の成分を意味している。

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

, , ,

x y

xy x

xy y

F x x x

F v a

F y y y

∆ ←

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

=⎨ ⎬⎩ ⎭ ∆ =⎨ ⎬⎩ ⎭∆ =⎨ ⎬⎩ ⎭ =⎨ ⎬⎩ ⎭ ←

座標系の 軸方向の成分

座標系の 軸方向の成分 (6.48)

これらの数ベクトルは，横に並べた行ベクトル で表わしてもいいのだが，ベ クトルにおける積の約束事の都合から，主に列ベクトルで表現する。式

(6.48)

の数ベクトルは，すべて共通の座標系の成分で表されているが，数ベクトルで 注意しなければならないことは，同一のベクトルを同じ空間において異なる座 標系の成分で表す場合があることである。したがって，ベクトルが数ベクトル で表されている場合，それがいかなる座標系の成分で表されているかを意識す ることは重要なことである。

(b)

ベクトルの内積と直交

2

つのベクトル a b , を考える。それらを基本ベクトルで表わすと

x x y y, x x y y

a a e= +a e b b e= +b e

(6.49)

となる。数ベクトルで表すと

{ }

^,

{ }

x x

y y

a b

a a b b

a b

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

=⎨ ⎬= =⎨ ⎬=

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

^(6.50)

である。もし両ベクトルの始点が一致していない場合は，ベクトルは平行移動

しても変わらないから，図

6.6(b)

に示すように，平行移動させて始点を一致さ せる。そのとき，

2

つのベクトルの内積 を

a bi

で表し，以下のように定義する。

a b abi = cos

θ

(6.51)

ここで，

θ

^{は両ベクトルが作る}

2

つの角で小さい方で，

a

^と

b

^{はそれぞれのベ} クトルの大きさ，すなわち

a= a_x²+a²_y, b= b_x²+b²_y (6.52)

である。この定義から，“

2

つのベクトルが直交する場合

(θ π= / 2)

は内積が

0

である”ことがわかる。

内積を式

(6.49)

の基本ベクトルで表わした式で計算すると

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x x y y x x y y

x x x x y y y y x y x y y x x y

a b a e a e b e b e

a b e e a b e e a b e e a b e e

= + +

= + + +

i i

i i i i ^(6.53)

となる。

x

^軸と y 軸が直交していることを考慮すると，相異なる方向の基本ベ

クトルの内積および同じ基本ベクトルの内積は，それぞれ

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

1 1cos 2 0, 1 1cos 0 1

x y x x y y

e ei = ⋅ π = e ei =e ei = ⋅ = (6.54)

である。式

(6.53)

に

(6.54)

を代入すると次式となる。

x x y y

a b a bi = +a b (6.55)

また，内積を数ベクトルで表わす場合，次のような約束になっている。

{ } { } { } { }

^{T x T x}

{

x y

}

^x

y y y

a b b

a b a b a b a a

a b b

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬= ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

i i (6.56)

ここで， { } ^a

^T

^{は列ベクトル} { }

^a

を行ベクトルに転置することを意味している。

したがって，数ベクトルで表わした内積は，式(6.55)から

{ } { }

^{x x x T x}

{

^{x y}

}

^{x x x y y}

y y y y y

a b a b b

a b a a a b a b

a b a b b

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

=⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬= = ⎨ ⎬= +

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

i i (6.57)

である。

数ベクトルで表す方法のすぐれている点は，ベクトルそのものより，それを 構成する成分が強調されていることである。このことは，多次元ベクトルある いは多次元座標系への拡張につながっている。

（２） 基準振動の直交性

x

1

O

x

2

x

1

O

12

22

Φ

Φ→

Φ2

→ Ψ1 Φ21

m

2

x

1

x

2

m

₁Φ₁₁

R x

2

x R

¹²

22

Φ

F¹

→ Δ→₂

-m u

1‥ 2Φ21

-m u

₁Φ_{11 1}

2

Φ

‥

δu

2

δ u

2

x

1

(a )基 準 振 動 の 直 交 性 (b)基 準 モ ー ド の 直 交 性 図 6.7　 基 準 振 動 と モ ー ド ベ ク ト ル の 直 交 性

図

6.5

の問題に戻ろう。図

6.7

に示すように，元の変位

x₁

^と

x₂

^{をそれぞれ横}

軸と縦軸とした

x x_{1 2}

直交座標系を考える(2 種類のベクトルが重ならないよう

に，同じ座標系を同

6.7(a)

と

(b)

に示した)。点

R x x( ,_{1 2})

^は，時刻

t

^{において，節}

点

1

と節点

2

の変位がそれぞれ

x₁

^と

x₂

であることを意味している。この座標系

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

の存在する空間は，実在する空間でなく，理論上の空間である。

変位ベクトル

1 2

OR x x

= ⎨ ⎬⎧ ⎫

⎩ ⎭ ^(6.58)

は位置ベクトルである。

時刻

t

^{の微小時間}

∆t

^{後における，}

2

次基準振動の節点

1

と節点

2

の微小変位

12 u2

φ δ

^と

φ δ₂₂ u₂

^は，

x x_{1 2}

^{座標系において，図}

6.7(a)

に示すように，点 R ^を始点と した微小変位ベクトル

∆₂

^の

x₁

^軸方向と

x₂

軸方向の成分とみなすことができる。

すなわち

12 2 2

22 2

u u φ δ φ δ

⎧ ⎫

∆ = ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ^(6.59)

である。同様に，時刻

t

^{において，点} R ^{を始点とした}

1

次基準振動の慣性力ベ クトル

F₁

11 1 1

21 1

F 2m u m u

φ φ

⎧− ⎫

= ⎨⎩− ⎬⎭ ^(6.60)

を考えることができる。

∆t

は微小時間であるので，その間の慣性力

F₁

^は変化し ない。したがって，

F₁

^と

∆₂

^の内積

F₁i∆₂

は，その間の仕事である。式

(6.57)

か ら

11 1 12 2

1 2 11 1 12 2 21 1 22 2

21 1 22 2

2 2

m u

T

u

F m u u m u u

m u u

φ φ δ

φ φ δ φ φ δ

φ φ δ

⎧− ⎫ ⎧ ⎫

∆ =⎨⎩− ⎬ ⎨⎭ ⎩ ⎬⎭= − ⋅ − ⋅

i (6.61)

である。式

(6.36)

より最右辺が

0

である。

1 2 0

Fi∆ = (6.62)

すなわち，この理論上の空間において，ある基準振動の慣性力ベクトルと別の 基準振動の微小変位ベクトルは直交する。これが慣性力に対する基準振動の“直 交性”とよばれるゆえんである。式

(6.61)

の最右辺に着目すると，第

1

項と第

2

項は，それぞれ節点

1

と節点

2

の

1

次基準振動の慣性力が

2

次基準振動の微小 変位に対してなした仕事である。式

(6.62)

は，これらの仕事の合計が常に

0

で あるということである。これが慣性力に対する基準振動の直交性の物理的な意 味である。

変位

x₁

^と

x₂

が座標とよばれるのは，上記のように，それらによって理論上の

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

座標系が構成されるからである。

式

(6.62)

を変形すると

11 12

1 2

21 22

2 0

m

T

m u u

φ φ

φ φ δ

⎧− ⎫ ⎧ ⎫

⎨− ⎬ ⎨ ⎬ =

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

となる。

−u u₁δ ₂

^{を消去すると}

( )

11 12

11 12 21 22

21 22

2 2 0

m

T

m m

m

φ φ

φ φ φ φ

φ φ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= + =

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

すなわち

( ) ( )

1 11 12

1 11 12 2 21 22

2 21 22

0 m

T

m m

m

φ φ

φ φ φ φ

φ φ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= + =

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ^(6.63)

である。これを“質量に対するモードベクトルの直交性”とよぶが，式の誘導 からわかるように，“慣性力に対する基準振動の直交性”と同じ意味を持つ。一 般性のある“モードベクトルの直交性”の証明は，第

10

章で行列を用いて行 う。

図

6.7(b)に示すように，質点の位置R x x( , )_{1 2}

^{を始点として，“}

1

次モードベク トルの成分と質量の積”を成分としたベクトル

Ψ₁

^と

2

次モードベクトル φ

₂

1 11 12

1 2

2 21 22

m , m

φ φ

φ φ φ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

Ψ =⎨ ⎬ =⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ^(6.64)

が考えられ，これらは質点の位置にかかわらず不変であり，直交する。

6.4

要約

多自由度系の振動は，節点間の力の相互作用によって，複雑な振動をする。

しかし，その振動は，連成しない基準振動で構成されている。各基準振動は，

それぞれ常に一定な固有の振動形

(

モードベクトル

)

で振動する。モード解析と

は，この基準振動の性質を利用して“①連立微分方程式を変数変換と式の重ね

合わせによって連成しない方程式に変える，②その方程式を解く，③その解を

逆に変換して元の変位を求める”方法である。

竹名 興英

温留漢 共著

亀岡 裕行

ドキュメント内 土木/建築技術者のための基礎から学ぶ振動学 (ページ 67-72)