う。
もう 1 つの特殊な 1 次変換として， “狭義の 1 次変換”の視点から見た場合，
竹名 興英
温留漢 共著 亀岡 裕行
と表すことができる。これらのベクトルは
1 1 1 1 11 12 1
2 2 2 2 21 22 2
0 ,
0
F m x x a a u
F m x x a a u
⎧ ⎫ ⎡− ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫
= =
⎨ ⎬ ⎢ − ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ (8.41)
の関係がある。すなわち，“慣性力と元の加速度”および“元の加速度とモー ド座標系の加速度”は
1次変換の関係にある。これらを“狭義の
1次変換”
の見地で幾何学的に表すと図
8.2(b)である。ここで注目しなければならないこ
竹名 興英
温留漢 共著 亀岡 裕行
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
1 2 11 21 1 12 22
2
11 12 21 22 1 2x
+x
=t
+t x
+t
+t
+t t
+t t x x
∴
( t
112 +t
212 −1 ) ( x
12 +t
122 +t
222 −1 ) x
22+2 ( t t
11 12+t t
21 22) x x
1 2 =0
(8.44)となる。この式が任意の
x x1, 2について成り立たねばならないから
2 2 2 2
11 21
1,
12 221,
11 12 21 220
t
+t
=t
+t
=t t
+t t
= (8.45)である。これが，
1次変換がベクトルの回転となるための条件である。
変換行列を，以下のように列ベクトルの集まり [ ]
11 12 11 12{ } { }
1 221 22 21 22
t t t t
T t t
t t t t
⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫
⎡ ⎤
=⎢ ⎥=⎢⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎥=⎣ ⎦
⎣ ⎦ ⎣⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎦ (8.46)
と考えると
(行ベクトルの集まりと考えても同様の結果となる
)，式
(8.45)は
{ } { } { } { } { } { } { } { }
{ } { } { } { }
2 2
11 21 1 1 1 1
2 2
12 22 2 2 2 2
11 12 21 22 1 2 1 2
1 1
0
T
T
T
t t t t t t
t t t t t t
t t t t t t t t
⎧ + = = =
⎪⎪ + = = =
⎨⎪
+ = = =
⎪⎩
i i
i
(8.47)
である。すなわち，各ベクトルの大きさが
1であり，直交性
(異なるベクトル の内積が
0)が成り立つ。したがって，例題
8.aの式
(c)より
[ ] [ ] { }
{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }
1 1 1 1 2
1 2
2 2 1 2 2
1 0 0 1
T T T
T
T T T
t t t t t
T T t t
t t t t t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥
=⎢⎣ ⎥⎦⎣ ⎦=⎢⎣ ⎥ ⎣⎦= ⎢ ⎥⎦
[ ] [ ] [ ] T
TT I
∴ = (8.48)
である。このような行列 [ ] T を直交行列 といい，その場合の
1次変換を直交変 換 という。すなわち，
1次変換が直交変換
(ベクトルの回転
)となるための条件 は，変換行列が直交行列であることである。また，式
(8.48)に右から逆行列 [ ] T
−1を乗じると
[ ] [ ][ ] [ ][ ] T
TT T
−1 =I T
−1,
∴[ ] [ ] T
T =T
−1 (8.49)となる。すなわち，直交行列の転置行列と逆行列は一致する。
（２） 座標変換
竹名 興英
温留漢 共著 亀岡 裕行
1
次変換を“座標変換”としてもとらえることもできる。すなわち，図
8.4(b)に示すように，
1つのベクトル
xについて，
x x1 2直交座標系で表した数ベクト ル { } x を，
y y1 2座標系で表し直した数ベクトルが { } y である。この
y y1 2座標系 は，一般に斜交座標系である
(参考文献
[3-2.3])。ただし， [ ] T が直交行列の場 合だけ，直交座標系となる。振動学では主に直交座標変換だけを用いるので，
以降，それだけを論じる。
[ ] T が直交行列の場合，式
(8.31)は，“狭義の
1次変換”の視点にたつと，
1つの直交座標系におけるベクトル
xの回転である(図
8.4(a))。しかし，“座標変換”の視点にたつと，それは，図
8.4(b)に示すように，ベクトル
xをそのまま にして，座標軸の方を逆方向に同じ角度だけ回転させた“直交座標変換”で ある。
x1
軸 を 時 計 と 逆 方 向 に
θだ け 回 転 さ せ た と き
y1軸 に 一 致 し た と す る 。 図
8.4(b)からわかるように
y1 =x1cos
θ
+x2sin ,θ
y2 = −x1sinθ
+x2cosθ
(8.50)すなわち
1 1
2 2
cos sin sin cos
y x
y x
θ θ
θ θ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫
⎨ ⎬=⎢⎣− ⎥⎦⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (8.51)
の関係がある。
モード振動系の変位
( , )u u1 2が基準座標とよばれる理由を説明しよう。図
6.1に示す“
2層のせん断建物モデル”の運動方程式
(6.2)は，元の変位
( , )x x1 2を次 のように変数変換
X1= m x1 1, X2 = m x1 2 (8.52)
すると
( ) ( )
1 2 2
1 1 1 2 1
1 2
2 2
2 2 1 2 2
1 2
k k k
m X X X f t
m m
k k
m X X X f t
m m
⎧ + + − =
⎪⎪
⎨⎪ − + =
⎪⎩
(8.53)
となる。これに対するモード振動系の変位
( , )u u1 2の変換式を
1 11 12 12 21 22 2
X u
X u
φ φ
φ φ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫
⎨ ⎬=⎢ ⎥⎨ ⎬
⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
あるいは { }
X = Φ[ ] { }
u (8.54)竹名 興英
温留漢 共著 亀岡 裕行
とする。 φ
11と φ
21あるいは φ
12と φ
22は，比率が一定であれば任意に定めることが できるので， [ ]
Φが直交行列になるように定めると，式
(8.54)は直交座標変換と なり，さらに，図
8.5に示すように，原点を共有した
X X1 2座標系と
u u1 2座標系 において，慣性力ベクトル F ・復元力ベクトル Q ・外力ベクトル f なども，そ れぞれ
1つのベクトルとして表わすことができる。これが，
u u1, 2も基準“座標”
とよばれる理由である。この詳細は，第
19章で述べる。
0
12
1 2
2 2
1
1
u u u
u
X X
→X X
X
→ F
Q→
図 8. 5 基 準 座 標
1
次変換の概念をまとめよう。 “狭義の
1次変換”と“座標変換”は本質的に 同じであり，幾何学的な視点が異なるだけである。前者は“
1つの直交座標系 のおけるベクトルの移動であり”，後者は“ベクトルを固定したままの座標系の 移動で一般に斜交座標系となる”。変換行列が直交行列になる
1次変換は，前 者が“ベクトルの回転となり”，後者が“直交座標変換となる”。
1次変換につ いて，一般の本では，このように厳密に用いられていないが，上記の意味をよ く理解すれば混乱しないであろう。
第
3-2部の参考文献
[3-2.1]
矢野健太郎・石原繁，
(1994)，“線形代数”，裳華房。
[3-2.2]
戸田盛和・浅野功義，
(2000)，“行列と
1次変換”，岩波書店。
[3-2.3]