棒要素

棒要素(rod element)は，トラスの部材のように，両端に軸力だけが作用し，

軸方向にだけ変形する要素である。図

12.1(a)

に示すように，要素座標系の

x

^軸 は要素軸で，

a

端を原点とし，それから他の端

(b

^端

)

の方向を正とする。なお，

a

端として，どちらの端を選んでもよい。

（１） 剛性マトリックス

図

12.1(a)

は，要素の変形前の状態を示している。同

(b)

は，変形時の復元力 と変位の関係を示している。 (

u_xa

,

u_xb

) ^および (

Q_xa

,

Q_xb

) ^{は，要素の}

a

^端と

b

^端に おける変位

(

ここでは，

u

は基準座標ではないことに注意

)

および復元力である。

図ではそれらの正方向を示している。これらの復元力は，反作用として節点に 作用する力である。また，添字の

x

^{は“要素座標系の}

x

^{方向”を表す。}

x ①

u u

Q Q

b a

xb xb xa

xa a b

uxa

u_xb

(c)変位の分布

a b

u_xb uxa ‥

‥

(d)加速度の分布

②

(b)変形後

① ②

①

② δuxb

uxa

δ x

a b

(a)変形前

a b

u =1_xa u =1_xb

と0-1分布

0 0

図12.1　棒要素

(e)変位の1-0分布 u

δ

u‥

u

“力のつり合い”と“フックの法則”から

( )

0,

^{xa xa xb}

,

xa xb xa xb xa xb

Q u u AE

Q Q E Q Q u u

A l l

+ = = − ∴ = − = − (12.1)

である。ベクトル・行列表示すると

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

1 1

1 1

xa xa

xb xb

Q AE u

Q l u

⎧ ⎫ ⎡ − ⎤⎧ ⎫

⎨ ⎬= ⎢⎣− ⎥⎦⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

^あるいは { }

Qx =

[ ]

K u

{ }

x (12.2)

である。したがって，要素の剛性マトリックス [ ] K ^は

[ ]

¹_{1 1}¹

xa xb

xa xb

u u

AE Q

K l Q

⎡ − ⎤

= ⎢⎣− ⎥⎦

(12.3)

である。なお，この章では，一つの要素の剛性あるいは質量マトリックスを論 じるので，煩雑にならないように，要素番号は割愛した。

（２） 質量マトリックス

(a)

ランプト・マス

ランプト・マスは，要素の分布質量を

a

^端と

b

端に等分に分配する仮定であ るから，要素の質量マトリックスは

[ ]

^{/ 2 0 ,}

0 / 2

xa xb

xa xb

u u

F

M m m Al

F

m ρ

⎡ ⎤

=⎢ ⎥ =

⎣ ⎦

(12.4)

である。

(u u_xa, _xb)

^および

(F F_xa, _xb)

^は，

a

^端と

b

端の加速度および慣性力である。

(b)

コンシステント・マス

コンシステント・マス

(consistent mass)

とは，要素の各部分が同じ振動数で 調和振動している状態で，変位の要素内分布をある形状に仮定して“その要素 の分布している質量”を“両端の節点の集中質量”に慣性力の仕事において等 価に置き換える方法で，ランプト・マスを用いる場合より計算精度が高い。

位置

x

^の時刻

t

^{における変位}

u

^と加速度

u

^を図

12.1(c)

と

(d)

に，

t

^から

t+ ∆t

^間 の微小時間における微小変位

δu

^を同図

(c)

に，それぞれ実線で示す。

(u u_xa, _xb)

^お よび

(δu_xa,δu_xb)

^は

a

^端と

b

端の加速度および微小変位である。

円振動数

ω

で調和振動している場合，変位

u

^と加速度

u

は

2

2

u ω u u 1 u

= − ∴ = −

ω

(12.5)

の関係がある。当然，両端においても同じ関係が成り立つ。

2 2

1 1

xa xa

,

xb xb

u u u u

ω ω

= − = − (12.6)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

分布質量の慣性力を求めよう。要素の中間における変位を，“要素の中間に 力が作用しない条件で近似する”と，図

12.(c)

の破線で示すように，

u

^と

δu

^の 近似曲線は

1 , 1

xa xb xa xb

x x x x

u u u u u u

l l δ δ l δ l

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ − ⎟⎠+ = ⎜⎝ − ⎟⎠+ ^(12.7)

となる

(

この場合は直線である

)

。式

(12.7)

の第

1

式に式

(12.5)

・

(12.6)

を代入し，

両辺に

−

ω

²

^{を乗じると}

xa

1

xb

x x

u u u

l l

⎛ ⎞

= ⎜ − ⎟+

⎝ ⎠ (12.8)

となる

(

図

12.1(d)

の破線

)

。ここで

10

1 x ,

01

x

x x

l l

= − = (12.9)

と置くと，式

(12.7)

・

(12.8)

は

10 01, 10 01, 10 01

xa xb xa xb xa xb

u u x= +u x δu=δu x +δu x u u x= +u x (12.10)

と表わすことができる。式

(12.10)

の各式の第

1

項と第

2

項は，図

12.1(c)

と

(d)

の破線を点線で分割した，それぞれ①と②の部分である。

x₁₀

^と

x₀₁

^{の物理的な} 意味は，図

12.1(e)

に示すように，それぞれ

a

^端と

b

^{端の変位が}

(u_xa =1,u_xb =0)

^と

(u_xa =0,u_xb =1)

で要素の中間に力が作用しない場合の変位曲線である。それぞ れを

x

^方向の

1-0

変位曲線と

0-1

変位曲線とよぶことにする。したがって，変 位

u

^{，微小変位}

δu

^{および加速度}

u

の近似曲線は，ともに“

a

^{端の大きさに}

1-0

変位曲線を乗じたもの”と“

b

^{端の大きさに}

0-1

変位曲線を乗じたもの”の重 ね合わせである。

さて，位置

x

における単位長さの慣性力 (

−

ρ Au ) は，式

(12.10)

より

10 01

xa xb

Au Au x Au x

ρ ρ ρ

− = − − (12.11)

である。したがって，微小変位に対する分布慣性力の仕事は

( ) (

10 01

)(

10 01

)

0 0

l l

xa xb xa xb

W u Au dx u x u x Au x Au x dx

δ

=

∫ δ

−

ρ

= −

∫ δ

+

δ ρ

+

ρ

( ) ( )

( ) ( )

2

10 10 01

0 0

2

01 10 01

0 0

l l

xa xa xa xb

l l

xb xa xb xb

W A x dx u u A x x dx u u A x x dx u u A x dx u u

δ ρ δ ρ δ

ρ δ ρ δ

∴ = − −

− −

∫ ∫

∫ ∫

(12.12)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

である。

次に，等価集中質量の慣性力の仕事を求めよう。節点

a

^と節点

b

^{の等価慣性} 力

F_xa

^と

F_xb

^{と質量マトリックス} [ ]

^M

^の関係は

{ }

Fx = −

[ ]

M u

{ }

x

あるいは

^{11 12}

21 22

xa xa

xb xb

F m m u

F m m u

⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫

⎨ ⎬= −⎢ ⎥⎨ ⎬

⎣ ⎦

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

^(12.13)

あるいは

11 12

21 22

xa xa xb

xb xa xb

F m u m u

F m u m u

= − −

⎧⎨ = − −

⎩

^(12.14)

である。

微小変位に対する等価慣性力の仕事 δ

W′

は

xa xa xb xb

W u F u F

δ

′ =

δ

+

δ

(12.15)

である。この式に

(12.14)

を代入すると以下のとおりとなる。

11 xa xa 12 xa xb 21 xb xa 22 xb xb

W m u u m u u m u u m u u

δ

′ = −

δ

−

δ

−

δ

−

δ

(12.16)

W W

δ

=

δ

′

^{であるから，式}

(12.12)

から

(12.16)

を引くと

( ) ( )

( ) ( )

2

11 0 10 12 0 10 01

2

21 0 01 10 22 0 01 0

l l

xa xa xa xb

l l

xb xa xb xb

m A x dx u u m A x x dx u u m A x x dx u u m A x dx u u

ρ δ ρ δ

ρ δ ρ δ

− + −

+ − + − =

∫ ∫

∫ ∫

(12.17)

となる。任意の δ

u_a,

δ

u u u_b, ,_{a b}

^{すなわち任意の}

(

δ

u u_{a a}), (

δ

u u_{a b}),(

δ

u u_{b a} ),(

δ

u u_{b b})

に 対して，式

(12.17)

が常に成り立つためには

2

11 0 10 12 0 10 01

2

21 0 01 10 22 0 01

0, 0

0, 0

l l

l l

m A x dx m A x x dx

m A x x dx m A x dx

ρ ρ

ρ ρ

⎧ − = − =

⎪⎨

⎪ − = − =

⎩

∫ ∫

∫ ∫

2

11 0 10 12 0 10 01

2

21 0 01 10 22 0 01

, ,

l l

l l

m A x dx m A x x dx

m A x x dx m A x dx

ρ ρ

ρ ρ

⎧ = =

∴ ⎪⎨

⎪ = =

⎩

∫ ∫

∫ ∫

^(12.18)

でなければならない。この式に

(12.9)

を代入すると

2

11 0

2

12 21 0 22 0

1 3 3

1 ,

6 3

l

l l

x Al m

m A dx

l

x x m x m

m m A dx m A dx

l l l

ρ ρ

ρ ρ

⎧ = ⎛ − ⎞ = =

⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎪ = = ⎜ − ⎟ = = ⎜ ⎟ =

⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎩

∫

∫ ∫

(12.19)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

となる。したがって，要素の質量マトリックスは

[ ]

^{/ 3 / 6}

/ 6 / 3

xa xb

xa xb

u u

m m F

M m m F

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

(12.20)

である。

質量マトリックスの成分の意味を考察してみよう。式

(12.17)

の左辺の第

1

式は，

(12.18)

より

0

であるから，移項すると

( )

11 0 10 10

l

xa xa xa xa

m u u

δ

=

∫ δ

u x ⋅

ρ

A u x dx

微小変位 振動学の慣性力

(12.21)

である。この式の右辺は，“

a

^{端の微小変位} δ

_xa

^に

1-0

変位曲線

x₁₀

^{を乗じた変} 位”に対する“

a

^{端の加速度}

u_xa

に

1-0

変位曲線

x₁₀

を乗じた加速度の振動学の 慣性力

(

符号のマイナスを無視，

9.5

（１）を参照

)

”の仕事である。

a

^端の微小 変位と加速度がともに単位長さ，すなわち δ

_xa =1,u_xa =1

の場合，式

(12.21)

は

N

( )

11 0 10 10

m =

∫

l x ⋅

ρ

A x dx

微小変位 振動学の慣性力

(12.22)

となる。すなわち，

m₁₁

^は，図

12.2(a)

に示すように，

1-0

変位曲線

x₁₀

^の

(

微小

)

変位に対する“加速度が

1-0

変位曲線

x₁₀

の振動学の慣性力”の仕事である。

同様に，

m₁₂

^および

m₂₁

^{は，それぞれ}

1-0

変位曲線

x₁₀

の変位に対する“加速度

が

0-1

変位曲線

x₁₀

の振動学の慣性力”の仕事および

0-1

変位曲線

x₁₀

^の変位に

対する“加速度が

1-0

変位曲線

x₁₀

の振動学の慣性力”の仕事である

(

それぞれ

図

12.2(b)

と

(c))

。式

(12.18)

より

m₁₂

^と

m₂₁

は等しいから，質量マトリックスは

対称行列である。また，

m₂₂

^は，

0-1

変位曲線

x₁₀

の変位に対する“加速度が

0-1

変位曲線

x₁₀

の振動学の慣性力の仕事”である

(

図

12.2 (d))

。

ドキュメント内 土木/建築技術者のための基礎から学ぶ振動学 (ページ 145-149)