自由度系の減衰強制振動の運動方程式は，式 (3.9) より

^{mx t}

( )

^{+cx t}

( )

^{+kx t}

( )

^{= f t}

( ) (

^t≥0

)

^(15.1)

である。初期条件すなわち“時刻 t

=

0 (

≡

t

₀

) ^{における変位と速度”}

x ( ) 0

=

x

0

, x ( ) 0

=

x

0 (15.2)

を与え，任意の時刻 t の変位，速度と加速度を求める問題を考える。このよう

に，初期条件を与えて微分方程式を解く問題を初期値問題という。この問題を 逐次近似法によって解く手順を述べる。

まず，時刻 t

₀

^{における加速度} x

₀

を求める。そのためには，式

(15.2)

を

(15.1)

に代入すればよい。 f

₀ =

f (0) ^とおくと

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

( ) { }

0 0 0 0

0 1

x x f cx kx

= =

m

− − (15.3)

となる。これで，時刻 t

₀

^{における変位} x

₀

^，速度 x

₀

^と加速度 x

₀

^{の値が定まったわ} けである。

微小時間を

∆t

^{とする。時刻}

t_i

(

= ∆i t

) ^{の振動状態}

(

変位

x_i

^，速度

x_i

^，加速度

x_i)

から，

∆t

^時間後の

t_i+1

の振動状態を求めることができれば，

t₀

^{の振動状態がわ} かっているので，

t t₁

, ,

₂

に対する振動状態の近似解を

1

ステップずつ求めるこ とができる。すなわち ( , , )

x x x_{0 0 0} →

( , , )

x x x_{1 1 1} →

と順次に求めていくことがで きる。これが逐次近似法である。

ti

^{の振動状態から}

t_i+1

の振動状態を求めるためには，仮定が必要である。 加速 度法

(acceleration method)

とは，“

t_i

^と

t_i+1

間の加速度の変化の仕方を仮定する 逐次近似法”である。代表的な方法として，線形加速度法

(linear acceleration method)

と 平均加速度法

(average acceleration method)

がある。

0 x

t

‥

x

i+1

x

i

x + x

i _i+1

2

t_i t_i+1

①

②

③

④

‥

‥ ‥

‥

図 15 .1　 加 速 度 法 の 仮 定

‥

xx( t )

（１） 線形加速度法

この方法は，図

15.1

の線分①に示すように，時間区分

t_i < <t t_i+1

^{において，}

加速度 x t ( ) が線形に変化すると仮定する。すなわち

( )

i ^{i 1 i}

(

i

)

x x

x t x t t

t

+ −

= + −

∆ ^(15.4)

である。速度と変位は，式(15.4)を積分することによって求まる。

( ) ( ) ( ) ¹

¹

( )

²

2

i

t i i

i t i i i i

x x

x t x x t x x t t t t

t

+ −

= + = + − + −

∫

∆ ^(15.5)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

( ) ( ) ( ) ¹ ( )

²

¹

¹

( )

³

2 6

i

t i i

i t i i i i i i

x x

x t x x t x x t t x t t t t

t

+ −

= + = + − + − + −

∫

∆ ^(15.6)

式

(15.5)

・

(15.6)

に

t t= _i+1

(

= + ∆t_i t

) ^{を代入すると}

( )

1 1

1

i i i

2

i i

x

₊ = + ∆ +

x x t x

₊ −

x

∆

t

(15.7)

( )

2 2

1 1

1 1

2 6

i i i i i i

x

₊ = + ∆ +

x x t x t

∆ +

x

₊ −

x

∆

t

(15.8)

となる。

t t= _i+1

^で式

(15.1)が成り立つから

{ }

1 1 1 1

1

i i i i

x f cx kx

+ =

m

+ − + − + (15.9)

である。

未知数 (

x_i+1

,

x_i+1

,

x_i+1

) ^が

3

個で，方程式は

(15.7)

・

(15.8)

・（

15.9

）の

3

個であ るから，それらの未知数を求めることができる。しかし，それらを直接求める より，まず

t_i

^に対する

t_i+1

の変位，速度と加速度の増分すなわち

1

,

1

,

1

i i i i i i i i i

x x₊ x x x₊ x x x₊ x

∆ = − ∆ = − ∆ = − (15.10)

を求める方が，方程式がすっきりしてわかりやすい。式

(15.7)

・

(15.8)

を増分形

式に書き直すと以下のとおりとなる。

1

i i

2

i

x x t x t

∆ = ∆ + ∆ ∆ (15.11)

2 2

1 1

2 6

i i i i

x x t x t x t

∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ (15.12)

また，

t t= _i

^で式

(15.1)

が成り立つから

{ }

1

i i i i

x f cx kx

=

m

− − (15.13)

である。式

(15.9)

から

(15.13)

を引き，増分形式に直すと下式となる。

{ }

1

1 ,

i i i i i i i

x f c x k x f f f

m

⁺

∆ = ∆ − ∆ − ∆ ∆ = − (15.14)

未知の増分 (

∆ ∆ ∆x_i

,

x_i

,

x_i

) に関する方程式は，式(15.11)・(15.12)・(15.14)であ

る。それらの増分を求めるためには，まず，式

(15.11)

・

(15.12)

を

∆x_i

^と

∆x_i

^につ

いて解くと

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

3

3 2

i i i i

x x x t x

t

∆ = ∆ − −∆

∆ ^(15.15)

2

6 6

i i i

3

i

x x x x

t t

∆ = ∆ − −

∆ ∆ ^(15.16)

となる。式

(15.15)

・

(15.16)

を式

(15.14)

に代入し，

∆x_i

^{について解けば}

_i fⁱ

x k

∆ =∆ (15.17)

6

₂

3 6

, 3 3

i i i

2

i

m c m c t

k k f f c x m x

t t t

⎛ ⎞ ⎛ ∆ ⎞

= ∆ +∆ + ∆ = ∆ +⎜⎝ ∆ + ⎟⎠ +⎜⎝ + ⎟⎠ ^(15.18)

となる。速度の増分

∆x_i

^は，式

(15.17)

を

(15.15)

に代入することによって求まる。

時刻

t_i+1

^の変位

x_i+1

^と速度

x_i+1

^{は，増分式}

(15.10)

に，それぞれ

∆x_i

^と

∆x_i

^を代入 することによって得られる。すなわち

1

,

1

i i i i i i

x₊ = + ∆x x x₊ = + ∆x x (15.19)

である。加速度は，式

(15.19)

を

(15.9)

に直接代入することによって求める。

{ }

1 1 1 1

1

i i i i

x f cx kx

+ =

m

+ − + − + (15.20)

（２） 平均加速度法

図

15.1

の線分④に示すように，この方法は，時間区分

t_i < <t t_i+1

^{において，}

加速度 x t ( ) が一定で，両端の加速度の平均値に等しいと仮定する。すなわち ( )

¹

2

i i

x x

x t

⁺ +

= (15.21)

である。この式を積分すると，速度と変位が求まる。

( ) ( )

¹

( )

2

i

t i i

i t i i

x x

x t

= +

x ∫ x t

= +

x

⁺ +

t t

− ^(15.22)

( ) ( ) ( )

¹

( )

²

4

i

t i i

i t i i i i

x x

x t x x t x x t t

⁺ +

t t

= +

∫

= + − + − ^(15.23)

式

(15.22)

・

(15.23)

に

t t= _i+1

を代入すると下式となる。

₁ ¹

2

i i

i i

x x

x

₊ = +

x

⁺ + ∆

t

(15.24)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

₁ ^{1 2}

4

i i

i i i

x x

x

₊

x x t

⁺ +

t

= + ∆ + ∆ (15.25)

式

(15.24)

・

(15.25)

を変形し，増分形式に書き直すと

1

(

1

)

1

2 2

2 2 2

i i i

i i i i

i i

x x x

x x x x

x₊ x ⁺ + t ⁺ − + t ∆ + t

− = ∆ = ∆ = ∆

(

1

)

2 2 2

1 1

2 2

4 4 4

i i i

i i i i

i i i i i

x x x

x x x x

x₊ − = ∆ +x x t ⁺ + ∆ = ∆ +t x t ⁺ − + ∆ = ∆ +t x t ∆ + ∆t

1

i i

2

i

x x t x t

∴ ∆ = ∆ + ∆ ∆ (15.26)

2 2

1 1

2 4

i i i i

x x t x t x t

∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ (15.27)

となる。

式

(15.26)

・

(15.27)

を

∆x_i

^と

∆x_i

^{について解くと}

2

2 4 4

2 , 2

i i i i i i i

x x x x x x x

t t t

∆ = ∆ − ∆ = ∆ − −

∆ ∆ ∆ ^(15.28)

となる。式

(15.28)

を

(15.14)

に代入して，

∆x_i

^{について解くと}

_i fⁱ

x k

∆ =∆ (15.29)

2

4 2 4

,

_{i i}

2

_i

2

_i

m c m

k k f f c x mx

t t t

⎛ ⎞

= ∆ +∆ + ∆ = ∆ +⎜⎝ ∆ + ⎟⎠ + ^(15.30)

となる。

時刻

t_i+1

^の変位

x_i+1

^，速度

x_i+1

^と加速度

x_i+1

の求め方は，線形加速度法と同じで ある。

15.2

加速度法の数学的意味

（１） テイラー展開

t

^の関数 x t ( ) ^を

t a=

^{でテイラー展開すると}

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

^{( )}

( )

( ) ( )

2 3

1 1

2! 3!

! 1 !

n n

n n

x a x a

x t x a x a t a t a t a

x a x

t a t a

n n

ξ

+ +

= + − + − + −

+ + − + −

+

(15.31)

となる。右辺の最後の項

( )

( )

(

¹

) ( )

¹

1 !

n n

R x t a

n

ξ

+ +

= −

+ ^(15.32)

は，剰余とよばれ，式(15.30)を満足する ξ ^が

a

^と

t

^{の間に少なくとも}

1

つ存在 する。 x t ( ) ^を右辺の

(t a− )ⁿ

までの項で近似すると，剰余は誤差を意味し，その 大きさは ( t a

−

) ^{が十分に小さいと，}

(t a− )ⁿ⁺¹

^{の定数倍程度であり，} ( t a

−

) ^を

0

に近づけていった場合，

(t a− )ⁿ⁺¹

^の速さで

0

に収束することを意味している。

（２） 線形加速度法

変位 x t ( ) ^を

t_i

^{でテイラー展開し，}

n=3

^{の項までで近似すると}

( ) ( ) ( )

²

( )

³

2! 3!

i i

i i i i i

x x

x t

= +

x x t t

− +

t t

− +

t t

− (15.33)

となる。これを続けて

2

回微分すると，それぞれ速度と加速度

( ) ( ) ( )

²

2

i

i i i i

x t

= +

x x t t

− +

x t t

− (15.34)

x t

( )

= +xi x t ti

(

− i

)

(15.35)

となる。

式

(15.35)

に

t t= _i+1

を代入すると

_{i 1 i i}

,

_i

x

^{i 1}

x

ⁱ

x x x t x

t

+ +

= + ∆ ∴ = −

∆

となる。これを式

(15.35)

に代入すると ( )

i ^{i 1 i}

(

i

)

x x

x t x t t

t

+ −

= + −

∆ ^(15.36)

なる。これは式

(15.4

）と一致する。すなわち，線形加速度法とは，変位 x t ( ) ^を

ti

^{でテイラー展開した}

n=3

の項までの近似である。

（３） 平均加速度法

変位 x t ( ) ^を

t_i

^{でテイラー展開し，}

n=2

^{の項までで近似すると}

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

( ) ( ) ( )

²

2!

i

i i i i

x t

= +

x x t t

− +

x t t

− (15.37)

となる。これを

2

回続けて微分すると，それぞれ速度と加速度は

x t

( )

= xi +x t ti

(

− i

) (

ti ≤ <t ti₊1

)

(15.38)

x t

( )

= xi

(

ti ≤ <t ti₊1

)

(15.39)

となる。すなわち，この方法は，図

15.1(a)

の線分②に示すように，時間区分全

域において，加速度が時間区分の最初の加速度に等しいという仮定である。

変位 x t ( ) ^を

t_i+1

^{でテイラー展開し，}

n=2

の項までで近似すると

( )

1 1

(

1

) 2!

¹

(

1

)

²

i

i i i i

x t

=

x

₊ +

x

₊

t t

− ₊ +

x

⁺

t t

− ₊ (15.40)

となる。これを微分すると，速度と加速度は，それぞれ

x t

( )

= xi₊1 +xi₊1

(

t t− i₊1

) (

ti < ≤t ti₊1

)

(15.41)

x t

( )

= xi₊1

(

ti < ≤t ti₊1

)

(15.42)

となる。この方法は，図

15.1(a)

の線分③に示すように，時間区分全域において，

加速度が時間区分の最後の加速度に等しいという仮定である。

平均加速度法は，図

15.1

からもわかるように，変位 x t ( ) ^を“

t_i

^{でテイラー展} 開した

n=2

^{の項までの近似”と“}

t_i+1

^{でテイラー展開した}

n=2

^{の項までの近似”}

の平均である。この方法は，線形加速度法より計算精度が劣る。

15.3

ニューマークβ法

各 種 の 加 速 度 法 を パ ラ ー メ ー タ β で 統 合 し た の が ニ ュ ー マ ー ク β 法

(Newmark)である。すなわち“線形加速度法の増分式(15.11)・(15.12)”と“平

均化速度法の増分式

(15.26)

・

(15.27)

”を比較して，パラメータ β ^{によって，そ}

れらは

1

i i

2

i

x x t x t

∆ = ∆ + ∆ ∆ (15.43)

1

^{2 2}

i i

2

i i

x x t x t β x t

∆ = ∆ + ∆ + ∆ ∆ (15.44)

表わすことができる。ただし， β

=

1/ 6 ^と β

=

1/ 4 の場合が，それぞれ線形加速

度法と平均化速度法である。これがニューマーク β ^{法である。}

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

式

(15.43)

・

(15.44)

を

∆x_i

^と

∆x_i

について解くと下式となる。

1 1 1

2 2 1 4

i i i i

x x x x t

β

t

β β

⎛ ⎞

∆ = ∆ ∆ − + −⎜⎝ ⎟⎠ ∆ ^(15.45)

2

1 1 1

i i i 2 i

x x x x

t t

β β β

∆ = ∆ − −

∆ ∆ ^(15.46)

式

(15.45)・(15.46)を(15.14)に代入して，∆x_i

^{について解くと}

_i fⁱ

x k

∆ =∆ (15.47)

2

2

m c

k k

t t

β β

= + +

∆ ∆ ^(15.48)

1 1

2 2 4

i i i i

m c m

f f x c t x

β

t

β β β

⎧ ⎫

⎧ ⎫ ⎛ ⎞

∆ = ∆ +⎨⎩ ∆ + ⎬⎭ +⎨⎩ − ∆ ⎜⎝ − ⎟⎠⎬⎭ ^(15.49)

となる。

時刻

t_i+1

の変位，速度と加速度の求め方は，線形加速度法と同じである。

ニューマークは 1/ 6

≤ ≤

β 1/ 2 ^{を推奨している。} β の小さい方が計算精度は高 い。中規模の地震を想定した線形解析では，通常，積分時間間隔

∆ =t 0.01s

^が 用いられる。しかし，大地震を想定した非線形応答解析では，地震加速度の変 化が大きいために， β が小さいと，安定解が得られず計算が発散してしまうこ とが多い。 β

=

1/ 6 の線形加速度法の場合，積分時間間隔

∆t

^{と最小固有周期}

T_min

との比が

1/1.8

より大きいと発散するといわれており，一般に安定解を得る目安

としてその比を

1/10

より小さくする必要がある。通常， β

=

1/ 4 ^あるいは

1/ 3

^，

積分時間間隔

∆ =t 0.005 0.001s∼ (

橋梁・建築では

0.002s)

が用いられる。

ドキュメント内 土木/建築技術者のための基礎から学ぶ振動学 (ページ 181-188)