モード解析で“連成しない方程式に変えて解く仕組み”

モード解析において，連立微分方程式

(6.2)

を“変数変換と式の重ね合わせ”

によって“連成しない方程式に変える仕組み”を述べる。式(6.2)は，

x x₁

,

₂

^とそ れらの

2

次導関数について線形

(linear)

であるので，

2

つの式を適当に重ね合わ せることによって，以下のような形に変えることができる。

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

* * *

1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1

* * *

2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2

m a x b x k a x b x f t m a x b x k a x b x f t

⎧ + + + =

⎪⎨

+ + + =

⎪⎩

⁽a b a b¹

, , ,

^{1 2 2}

^は定数

) (6.3)

ここで，

x x₁

,

₂

^から

u u₁

,

₂

^{への変数変換}

^{1 1 1 1 2}

2 2 1 2 2

u a x b x u a x b x

= +

⎧⎨ = +

⎩

^(6.4)

を考えると，２次導関数は

^{1 1 1 1 2}

2 2 1 2 2

u a x b x u a x b x

= +

⎧⎨ = +

⎩ ^(6.5)

となる。式

(6.4)

・

(6.5)

を

(6.3)

に代入すると，連成していない方程式群 ( )

( )

* * *

1 1 1 1 1

* * *

2 2 2 2 2

m u k u f t m u k u f t

⎧ + =

⎪⎨

+ =

⎪⎩ ^(6.6)

を得る。したがって，連成しない微分方程式を得るためには，変数変換式

(6.4)

の係数

a b a b₁

, , ,

_{1 2 2}

を求めればよい。なお，式

(6.2)

が，

1

次導関数

(

減衰力

)

を含ん だ線形な連立微分方程式である場合，一般に連成しない方程式に変えることが できない。

それでは，実際に係数

a b a b₁

, , ,

_{1 2 2}

を求めてみよう。解析条件は，計算が煩雑 にならないように，図

6.2(a)

に示すように，

m₁=2m

^，

m₂ =m

^および

k₁ =k₂ =k

とする。したがって，運動方程式(6.2)は下式となる。

( ) ( )

1 1 2 1

2 1 2 2

2

mx

2

kx kx f t mx kx kx f t

+ − =

⎧⎪⎨

− + =

⎪⎩ ^(6.7)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

変数変 換と式 2

振動系 (b)モード

(c)基準振動 振動の関係

(d)元の系と基準 基準振動の

重ね合わせ

21 1

x

1次基 準振動

準振動

(a)元の系 x1

x2

f (t)₁ f (t)₂

m =m₂

1

k =k2

k =k_１

1

*

f (t)1

*1

m u

*

u2

f (t)^*₂ ²

1次

21 1

1 11

2次 2次

1次

*2

*1

m k

k m =2m

1 0

①

②

22 2

u

u u

u u

Φ

Φ

Φ Φ 22 2

Φ

u2 Φ12

2次基

2

x1 Φ12 2u

11 1u

Φ

図6.2　モード解析の概念図 の重ね

合わせ

まず，係数

a b₁

,

₁

^{を求めてみよう。式}

(6.7)

の

2

つの式の重ね合わせにおいて，

2

次導関数を

u₁ =a x_{1 1}+b x_{1 2}

^の形

(

式

(6.5)

の第

1

式

)

にするために，式

(6.7)

の第

1

式と第

2

式にそれぞれ

a₁

2 ^と

b₁

を乗じて，足し合わせればよい。すなわち (

1 1 1 2

) (

1 1

)

1 ¹ 1 2 ¹ 1

( )

1 2

( )

2 2

a a

m a x +b x +k⎧⎨⎩ a −b x + −⎛⎜⎝ +b x⎞⎟⎠ ⎫⎬⎭= f t +b f t

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1

1 1

1 1 1 2 1 1 2 1 1 2

1 1 1

1

1

1 2

2 2

a a b

b a

m a x b x k a x x f t b f t

a a b

u u

⎧ − + ⎫

⎛ ⎞ ⎪ ⎪

∴ + + ⎜⎝ − ⎟⎠ ⎩⎨⎪ + − ⎬⎪⎭= + ^(6.8)

となる。左辺の第

2

項の { } ^内を

u₁=a x_{1 1}+b x_{1 2}

^の形

(

式

(6.4)

の第

1

式

)

にするた めには，

x₂

^{にかかる係数が}

b₁

に一致すればよいから

( )

( )

1 1 1 2 2

1 1 1 1 1

1 1

2 1 1

2 , 2 2

a a b

b b a b a

a b

− + = ∴ = ∴ = ±

−

である。一見，解が

2

つあるように見えるが，式

(6.4)

の第

1

式と第

2

式の形が 同じであるので，

( , )a b_{1 1}

^と

( , )a b_{2 2}

を同時に求めていたのである。したがって，

係数の解は

1 1 2 2

1 1

2 , 2

b = a b = − a (6.9)

である。式からわかるように，係数

a₁

^と

b₁

^あるいは

a₂

^と

b₂

^{は，比率だけが一定}

な条件で任意に定めることができる。

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

(6.9)

を

(6.4)

に代入すると，変数の変換式

1 1 1 1 2

2 2 1 2 2

1 2 1 2 u a x a x u a x a x

⎧ = +

⎪⎪⎨

⎪ = −

⎪⎩

(6.10)

が求まる。式

(6.9)

を

(6.8)

に代入すると，

2

つの連成しない方程式

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1 1 2

2 2

2 2 1 2

1 1

2 2 2

1 1

2 2 2

a a

mu k u f t f t

a a

mu k u f t f t

⎧ + ⎛ − ⎞ = +

⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎛ ⎞

⎪ + ⎜ + ⎟ = −

⎪ ⎝ ⎠

⎩

(6.11)

を得る。さらに変形すると

( ) ( )

* 1 2

1 1 1

* 2 2

2 2 2

u u f t

m u u f t

m ω

ω

⎧ + =

⎪⎪⎨

⎪ + =

⎪⎩

(6.12)

₁ 1 ₂ 1

1 , 1

2 2

k k

m m

ω

= ^⎛⎜⎝ − ^⎞⎟⎠

ω

= ^⎛⎜⎝ + ^⎞⎟⎠ ^(6.13)

1^*

( )

¹ 1

( )

¹ 2

( )

, 2^*

( )

² 1

( )

² 2

( )

2 2 2 2

a a a a

f t = f t + f t f t = f t − f t (6.14)

となる。式

(6.11)

あるいは

(6.12)

は，連成していないので容易に

u u₁, ₂

^の解を求 めることができる。

元の変数

x x₁, ₂

^{の解を求めるには，}

u u₁, ₂

^から

x x₁, ₂

へ逆に変数変換してやれば よい。その変換式は，式

(6.10)

を，

x₁

^と

x₂

について解くことによって，求める ことができる。すなわち

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

x u u

x u u

φ φ

φ φ

= +

⎧⎨ = +

⎩ ^(6.15)

_{11 12 21 22}

1 2 1 2

1 1 1 1

, , ,

2a 2a 2a 2a

φ

=

φ

=

φ

=

φ

= − (6.16)

である。同様に，係数 φ

₁₁

^と φ

₂₁

^あるいは φ

₁₂

^と φ

₂₂

は，比率だけ一定な条件で任意

に定めることができる。

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

ここで，『係数“ φ

₁₁

^と φ

₂₁

^あるいは φ

₁₂

^と φ

₂₂

^{”すなわち“}

a₁

^と

b₁

^あるいは

a₂

^と

b₂

^” は，比率だけ一定な条件で任意に定めることができる』すなわち『式

(6.10)

・

(6.11)

の

a a₁, ₂

は任意に定めることができる』という意味について考察してみよ う。式

(6.10)

・

(6.11)

の

a a₁, ₂

がある値に設定し，任意の定数 λ

₁

^と λ

₂

^{を，それぞ}

れを式

(6.10)

・

(6.11)

の第

1

式と第

2

式の両辺に乗じると

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1 1 1 1 1 1 2

2 2 2 2 1 2 2 2

1 2

1 2

u a x a x

u a x a x

λ λ λ

λ λ λ

⎧ = +

⎪⎪⎨

⎪ = −

⎪⎩

(6.17)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

1 1 1 1 1 2

2 2 2 2

2 2 2 2 1 2

1 1

2 2 2

1 1

2 2 2

a a

m u k u f t f t

a a

m u k u f t f t

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

⎧ + ⎛ − ⎞ = +

⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎛ ⎞

⎪ + ⎜ + ⎟ = −

⎪ ⎝ ⎠

⎩

(6.18)

と な る 。 新 し い 係 数 を

A₁≡

λ

_{1 1}a A, ₂ ≡

λ

_{2 2}a

と し ， そ れ に 対 応 し た 新 し い 変 数 を

1 1 1, 2 2 2

U ≡

λ

u U ≡

λ

u

^{とすると，変換式}

(6.17)

と微分方程式

(6.18)

は，それぞれ

1 1 1 1 2

2 2 1 2 2

1 2 1

2

U A x A x

U A x A x

⎧ = +

⎪⎪⎨

⎪ = −

⎪⎩

(6.19)

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1 1 2

2 2

2 2 1 2

1 1

2 2 2

1 1

2 2 2

A A

mU k U f t f t

A A

mU k U f t f t

⎧ + ⎛ − ⎞ = +

⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎛ ⎞

⎪ + ⎜ + ⎟ = −

⎪ ⎝ ⎠

⎩

(6.20)

となる。式の誘導からわかるように，係数の値を変えると，新しい変数がそれ に比例して変化するので，元の変数は変動しない。

以上の解析について，図

6.2

の“モード解析の概念図”を参考にしながら，

考察してみよう。

① 一般化座標 自由度 r ^の系で， r 個の互いに独立な変数によって，その系

ドキュメント内 土木/建築技術者のための基礎から学ぶ振動学 (ページ 54-57)