る。

竹名 興英

温留漢 共著

亀岡 裕行

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

い。しかし，地震動以外の外力

f t_i( )

ない場合，慣性力，復元力と減衰力が動的 につり合う系であると考えることができるので， 各基準振動は，

1

自由度系に 等価に置き換えることが可能である。

わかりやすいように，ここでは図

7.3(a)

に示すような

2

自由度系について論 ずる。節点

1

と節点

2

の高さを，それぞれ

H₁

^と

H₂

とする。この図は，地震に よる地盤加速度 x

_g

を受ける“元の系”の振動である。同図

(b)

はモード振動系の 振動である。同図

(c)

は，それらに対応した

1

次と

2

次の基準振動を表わしてい る。図には基準振動の慣性力も示した。同図

(d)

は，ある条件で，基準振動を

1

自由度系の振動に等価に置き換えたモデルである。このモデルでは，①地盤加 速度は x

_g

である，②固有円振動数と基部のせん断力・曲げモーメントが基準振 動と同じである。このような等価

1

自由度系で，質量を 等価質量 M

_s(equivalent mass

， 有効質量

)

，質量の基部からの高さを 等価高さ H

_s(equivalent height)

と いう。

1

次モード振動系の運動方程式は，式

(7.22)

から

2

1 1 1 1 g

u +ω u = −βx (7.25)

である。等価

1

自由度系の運動方程式は，変位を

q₁

とすると，上記の条件から

2

1 1 1 g

q +ω q = −x (7.26)

である。したがって，以下の関係がある。

1 1 1

u =βq (7.27)

1

次基準振動の節点

1

と節点

2

の絶対加速度

X₁₁

^と

X₂₁

^{を求めるために，仮想} 仕事の原理を適用する。仮想変位を

δx₁=φ δ δ₁₁ u₁, x₂ =φ δ₂₁ u₁

^{とすると，慣性力の} 仮想仕事

∆W_F

^は

(

^{1 11}

)

^{11 1}

(

^{2 21}

)

^{21 1 1 11 11 1 2 21 21 1}

W

F

m X φ δ u m X φ δ u m X φ δ u m X φ δ u

∆ = − + − = − ⋅ − ⋅ (7.28)

である。また，

∆W_F

^は式

(7.20)

より

( ) ^{( )}

{ }

( )

2 2

1 11 2 21 1 1 11 2 21 1

2 2 1 11 2 21

1 11 2 21 1 2 2 1

1 11 2 21

F g

g

W m m u m m x u

m m

m m u x u

m m

φ φ φ φ δ

φ φ

φ φ δ

φ φ

∆ = − + + +

⎧ + ⎫

= − + ⎨⎩ + + ⎬⎭

である。式(7.23)の第

1

式を代入すると

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

( )( )

( )

{ } { ( ) }

2 2

1 11 2 21 1 1 1

1 11 1 1 11 1 2 21 1 1 21 1

F g

g g

W m m u x u

m u x u m u x u

φ φ β δ

φ β φ δ φ β φ δ

∆ = − + +

= − + − + ^(7.29)

である。式

(7.28)

と

(7.29)

は等しいから

( ) ( )

11 11 1 1 _g

,

21 21 1 1 _g

X

=

φ u

+

β x X

=

φ u

+

β x

(7.30)

である。同様に，

2

次基準振動の節点

1

と節点

2

の絶対加速度は，それぞれ

( ) ( )

12 12 2 2 _g

,

22 22 2 2 _g

X

=

φ u

+

β x X

=

φ u

+

β x

(7.31)

である。

1

次基準振動の基部のせん断力は，慣性力の合計に等しいから

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 11 2 21 1 11 1 1 2 21 1 1

1 11 2 21 1 1

B g g

g

S m X m X m u x m u x

m m u x

φ β φ β

φ φ β

= − + − = − + − +

= − + + ^(7.32)

である。この式に

(7.27)

を代入すると

( ) ( )

1 1 11 2 21 1 1

B g

S

= −

m φ

+

m φ β q

+

x

(7.33)

となる。等価

1

自由度系の基部のせん断力は

( )

1 1 1

B g

S

′ = −

M q

+

x

(7.34)

と表せるから，仮定

S_B1=S_B′₁

より

( m

1 11

φ m

2 21

φ β )

1

( q

1

x

g

) M q

1

(

1

x

g

)

− + + = − +

( )

1 1 1 11 2 21

M β mφ mφ

∴ = + (7.35)

である。ゆえに，せん断

n

^質点系の

s

^{次モードの等価質量は}

1 n

s s i is

i

M β m φ

=

=

∑

^(7.36)

である。正規化した場合，式(7.24)の第

1

式より下式となる。

M

_s =

β

_s² (7.37)

1

次と

2

次の等価質量を合計すると

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

( ) ( )

( ) ( )

1 2 1 1 11 2 21 2 1 12 2 22

1 11 1 12 2 2 21 1 22 2

M M m m m m

m m

β φ φ β φ φ

φ β φ β φ β φ β

+ = + + +

= + + + ^(7.38)

である。

それぞれの節点において，すべての基準振動の慣性力の合計は，元の系の慣 性力と一致するから

( )

( )

1 11 1 12 1 1

2 21 2 22 2 2

g g

m X m X m x x

m X m X m x x

⎧− − = − +

⎪⎨

− − = − +

⎪⎩

である。これに式

(7.30)

・

(7.31)

を代入すると

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 11 1 1 1 12 2 2 1 1

2 21 1 1 2 22 2 2 2 2

g g g

g g g

m u x m u x m x x

m u x m u x m x x

φ β φ β

φ β φ β

⎧− + − + = − +

⎪⎨

− + − + = − +

⎪⎩

{ ( ) ( ) } ( )

( ) ( )

{ } ( )

1 11 1 12 2 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 21 1 22 2 2 1

g g

g g

m u u x m x x

m u u x m x x

φ φ φ β φ β

φ φ φ β φ β

⎧− + + + = − +

∴ ⎨⎪

− + + + = − +

⎪⎩ ^(7.39)

である。式

(7.2)

より

^{1 11 1 12 2}

2 21 1 22 2

x u u

x u u

φ φ

φ φ

= +

⎧⎨ = +

⎩ ^(7.40)

である。式

(7.40)

を

(7.39)

に代入すると下式となる。

( )

{ } ( )

( )

( ) ( )

1 1 11 1 12 2 1 1

2 2 21 1 22 2 2 2

g g

g g

m x x m x x

m x x m x x

φ β φ β φ β φ β

− + + = − + ⎫⎪

− + + = − + ⎬⎪⎭

これらの式が恒等的に成り立つためには

φ β φ β_{11 1}+ _{12 2} =1, φ β φ β_{21 1}+ _{22 2} =1 (7.41)

である。これを式

(7.38)

に代入すると

1 2 1 2

M +M =m +m (7.42)

となる。すなわち，等価質量の合計と元の質量の合計とは一致する。

s

^{次モードの等価質量} M

_s

^を全質量 M で割った値

_s M^s

R = M (7.43)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

は等価質量比

(

有効質量比

)

とよばれ，式

(7.42)

から合計は

1

である。

1

次基準振動の基部における曲げモーメントは，慣性力に高さを乗じたもの の合計である。

1

次モードの等価高さは，その合計を等価

1

自由度系の慣性力 で割ったものであるから

( ) ( )

( )

{ } ^{( ( ) ) ( ( ) )}

( ) ( )

( ) ( )

1 11 1 2 21 2 1 11 1 1 1 2 21 1 1 2

1

1 1 11 2 21 1

1 1

1 11 1 1 1 1 2 21 1 1 1 2 1 11 1 2 21 2

1 11 2 21

1 11 2 21 1 1 1

g g

g g

g g

g

m X H m X H m u x H m u x H

H M q x m m q x

m q x H m q x H m H m H

m m

m m q x

φ β φ β

β φ φ

φ β β φ β β φ φ

φ φ

φ φ β β

− + − + + +

= =

+ +

− +

+ + + +

= =

+ + +

である。したがって，せん断

n

^質点系の

s

次モードの等価高さは，次式である。

1

1 n

i is i i

s n

i is i

m H H

m φ φ

=

=

=

∑

∑

^(7.44)

等価質量は，刺激係数と同様な意味をもっている。すなわち，地震動に対し て，等価質量の大きな基準振動は，応答が大きく，逆に小さい場合には小さい 傾向がある。等価質量比は，基準振動の地震動に対する応答の程度をあらわし ているので，その指標として有効である。モード解析の有効性は，“いくつかの 低次の基準振動を重ね合わせた近似解で実用上十分である”という経済性にあ る。

1

次基準振動から数えて等価質量比

(

有効質量比

)

の合計が

0.8 0.9∼

^になる基 準振動までの重ね合わせで，通常，地震動に対して十分な精度が得られる。な お，全基準振動の重ね合わせは厳密解である。

例題

7.d

等価質量，等価質量比と等価高さ

例題

7.a

と同様に，第

6

章で用いた

2

自由度のせん断建物モデル

(

図

(6.2)

につ いて，正規化の条件で等価質量，等価質量比と等価高さを求めよう。

1

次と

2

次のモードの等価質量は，式

(7.37)

にそれぞれ例題

7.c

の式

(c)

と

(d)

代入すると

2 2

1 1

2 2 3 2

2.207

2 2

M =β =^⎛⎜⎜⎝ ⁺ m^⎞⎟⎟⎠ = ⁺ m= m ^(a)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

2 2

2 2

2 2 3 2

0.793

2 2

M =β = −^⎛⎜⎜ ⁻ m^⎞⎟⎟ = ⁻ m= m

⎝ ⎠ ^(b)

である。それらの有効質量比は，式

(7.43)

よりそれぞれ

₁ ¹ 2.207 ₂ ¹ 0.793

0.736, 0.264

2 2

M m M m

R R

M m m M m m

= = = = = =

+ + ^(c)

1

次と

2

次のモードの等価高さは，

H₁=H/ 2,H₂ =H

^{とすると，式}

(7.44)

に 例題

7.b

の式

(a)

・

(b)

・

(c)

・

(d)

を代入すると

( ) ^{( )} ( )

( ) ( )

1 11 1 2 21 2

1

1 11 2 21

2 1 2 2 1 2

2 1 2 1 2

m m H m m H

m H m H

H m m m m m m

φ φ

φ φ

+ +

= =

+ +

1

1 2

0.707

2 2

H + H H

∴ = =

+ ^(d)

( ) ^{( )} ( )

( ) ( )

1 12 1 2 22 2

2

1 12 2 22

2 1 2 2 1 2

2 1 2 1 2

m m H m m H

m H m H

H m m m m m m

φ φ

φ φ

− +

= + =

+ − +

1

2 1 0.707

H 2 2− H H

∴ = = −

− ^(e)

である。等価高さがマイナスなのは，この等価モデルの地盤加速度が，

−

x

_g

^で ることを意味している。

第

3-1

部の参考文献

[3-1.1]

有山正孝，

(1996)

，“振動・波動”，裳華房。

[3-1.2] Mario Paz

，

(1997)

，“

Structural Dynamics

”，

Chapman & Hall

。

[3-1.3]

柴田明徳，

(2000)

，“最新耐震構造解析”，森北出版株式会社。

[3-1.4]

寺沢徳雄，

(2000)

，“振動と波動”，岩波書店。

[3-1.5]

薩摩順吉・四ツ谷晶二，

(2000)

，“キーポイント線形代数”，岩波書店。

[3-1.6]

戸田盛和・浅野功義，

(2000)

，“行列と

1

次変換”，岩波書店。

[3-1.7]

戸田盛和，

(1998)

，“力学”，岩波書店。

[3-1.8]

河島佑男，

(1972)

，“動的応答解析”，培風館。

[3-1.9]

川井忠彦，

(1971)

，“マトリックス法振動および応答”，培風館。

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

第 3-2 部 振動学と“行列”

この部では，多自由度系の振動を解析

(

あるいは理解

)

するために必要な“行

列”について説明する。わかりやすいように，

3

次程度の行列を用いる場合が

多いが，そのまま高次に拡張できる。公式は原則として証明する。ただし，簡

単なものや類似のものは割愛する。

ドキュメント内 土木/建築技術者のための基礎から学ぶ振動学 (ページ 80-86)