a ニューマークβ法

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

式

(15.43)

・

(15.44)

を

∆x_i

^と

∆x_i

について解くと下式となる。

1 1 1

2 2 1 4

i i i i

x x x x t

β

t

β β

⎛ ⎞

∆ = ∆ ∆ − + −⎜⎝ ⎟⎠ ∆ ^(15.45)

2

1 1 1

i i i 2 i

x x x x

t t

β β β

∆ = ∆ − −

∆ ∆ ^(15.46)

式

(15.45)・(15.46)を(15.14)に代入して，∆x_i

^{について解くと}

_i fⁱ

x k

∆ =∆ (15.47)

2

2

m c

k k

t t

β β

= + +

∆ ∆ ^(15.48)

1 1

2 2 4

i i i i

m c m

f f x c t x

β

t

β β β

⎧ ⎫

⎧ ⎫ ⎛ ⎞

∆ = ∆ +⎨⎩ ∆ + ⎬⎭ +⎨⎩ − ∆ ⎜⎝ − ⎟⎠⎬⎭ ^(15.49)

となる。

時刻

t_i+1

の変位，速度と加速度の求め方は，線形加速度法と同じである。

ニューマークは 1/ 6

≤ ≤

β 1/ 2 ^{を推奨している。} β の小さい方が計算精度は高 い。中規模の地震を想定した線形解析では，通常，積分時間間隔

∆ =t 0.01s

^が 用いられる。しかし，大地震を想定した非線形応答解析では，地震加速度の変 化が大きいために， β が小さいと，安定解が得られず計算が発散してしまうこ とが多い。 β

=

1/ 6 の線形加速度法の場合，積分時間間隔

∆t

^{と最小固有周期}

T_min

との比が

1/1.8

より大きいと発散するといわれており，一般に安定解を得る目安

としてその比を

1/10

より小さくする必要がある。通常， β

=

1/ 4 ^あるいは

1/ 3

^，

積分時間間隔

∆ =t 0.005 0.001s∼ (

橋梁・建築では

0.002s)

が用いられる。

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

( ) { }

0 0 0 0

0 1 0

x x f cx kx

= =

m

− − = (b)

である。

まず，厳密解を求めよう。式

(a)

を積分して，

x(0)=x₀ =10 m s

^より ( )

^{2 10}

2

x t =t + (c)

である。これを積分して，

x(0)=x₀ =0

^より ( )

^{3 10}

6

x t =t + t (d)

である。したがって，

t t= =₁ 0.01s

の変位の厳密解は以下のとおりである。

3 1

0.01 10 0.01 0.100000166m

x = 6 + × = (e)

β

=

1/ 6 すなわち線形加速度法の場合，式

(15.48)

・

(15.49)

より 6

₂ ²

60000 kg s k

=

0.01

=

2 0

0.01 6 10 6000.01kg m s f 0.01

∆ = + × = ⋅

である。これらを式

(15.47)

に代入すると，

₀ ⁰ 6000.01

0.100000166m 60000

x f k

∆ =∆ = =

となる。ゆえに，

t₁ =0.01s

の変位は，式(15.19)より

1 0 0 0.100000166m

x =x + ∆ =x (f)

となる。これが厳密解

(e)

と一致するのは，加速度が式

(a)

からわかるように，線 形に変化しており，線形加速度法の仮定と一致するからである。

β

=

1/ 4 すなわち平均加速度法の場合，式

(15.48)

・

(15.49)

より

²

2

4 40000 kg s k

=

0.01

=

2 0

0.01 4 10 4000.01kg m s f 0.01

∆ = + × = ⋅

である。これらを式

(15.47)

に代入すると，

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

₀ ⁰ 4000.01

0.10000025m 40000

x f k

∆ =∆ = =

となる。ゆえに，

t₁ =0.01s

^{の変位は，式}

(15.19)

より以下のとおりである。

1 0 0 0.10000025m

x =x + ∆ =x (g)

β

=

1/ 2 ^{の場合，式}

(15.48)

・

(15.49)

より

²

2

2 20000 kg s k

=

0.01

=

2 0

0.01 2 10 2000.01kg m s f 0.01

∆ = + × = ⋅

である。これらを式

(15.47)

に代入すると，

₀ ⁰ 2000.01

0.1000005m 20000

x f k

∆ =∆ = =

となる。ゆえに，

t₁ =0.01s

^{の変位は，式}

(15.19)

より以下のとおりである。

1 0 0 0.1000005m

x =x + ∆ =x (h)

以上のことから， β が大きくなるにしたがって，精度が落ちることがわかる。

15.4

要約

加速度法によって，振動状態

(

変位，速度と加速度

)

を求める手順は，①時刻

0

t=

の振動状態を計算する，②微小時間を

∆t

^{とすると，}

0< < ∆t t

^{の加速度の} 変化を仮定し，

t= ∆t

の振動状態を計算する，③それ以降は，同様に，等時間 間隔

∆t

で順次に振動状態を計算する。線形加速度法では加速度が線形に変化す ると仮定し，平均加速度法では加速度が一定で，両端の加速度の平均値に等し いと仮定する。各種の加速度法をパラメータ β で統合したのがニューマーク β

法である。

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

第 16 章 非線形解析

この章では，

1

自由度系の非線形応答解析の手順を説明するともに，それに 用いられる復元力の非線形履歴モデルを解説する。

16.1

非線形解析の手順

復元力 Q が“変位の履歴”に依存する場合，

1

自由度系の運動方程式は

^{mx t}

( )

^{+cx t}

( )

^{+ =Q f t}

( )

^(16.1)

と表せる。したがって，時刻

t_i

^と

t_i+1

に対して，下式が成り立つ。

mx_i+cx_i+Q_i = f_i (16.2)

mx_i+1+cx_i+1+Q_i+1= f_i+1 (16.3)

式

(16.3)

から

(16.2)

を引いて，増分形式にすると

m x∆ + ∆ +i c xi

(

Qi₊1−Qi

)

= ∆fi (16.4)

となる。

速度と加速度の増分は，ニューマーク β ^{法を用いと，式}

(15.45)

・

(15.46)

より

1 1 1

2 2 1 4

i i i i

x x x x t

β

t

β β

⎛ ⎞

∆ = ∆ ∆ − + −⎜⎝ ⎟⎠ ∆ ^(16.5)

2

1 1 1

i i i 2 i

x x x x

t t

β β β

∆ = ∆ − −

∆ ∆ ^(16.6)

である。

時 刻

t_i

^{の 振 動 状 態}

( , , )x x x_{i i i}

が 既 知 で あ る 場 合 ，

t_i+1

の 未 知 の 振 動 状 態

1 1 1

(x_i+ ,x_i+ ,x_i+ )

を求めるためには，未知数

∆ ∆ ∆x_i, x_i, x_i

^{に関する連立}

1

次方程式

(16.4)

・

(16.5)

・

(16.6)

を解けばよい。しかし，

Q_i+1

が未知であるので，それを 仮定する必要がある。

1

i i

t < ≤t t₊

^{における復元力} Q ^{の増加は，図}

16.1

に示すように，

x_i

^{における接} 線剛性

k_i

に比例する仮定すると，

t_i+1

における復元力の仮定値

(Q_i+1)_a

^は

(

Qi₊1

)

a =Qi+ ∆k xi i (16.7)

となる。式(16.7)を

(16.4)に代入すると

m x∆ + ∆ + ∆ = ∆_i c x_i k x_{i i} f_i (16.8)

となる。

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

0

i

x Q

x x_i+1

k Δxi

Δ x

復元力

ドキュメント内 土木/建築技術者のための基礎から学ぶ振動学 (ページ 188-192)