地震応答スペクトル

竹名興英

温留漢共著

亀岡裕行

竹名興英

温留漢共著亀岡裕行

法”について述べる。

応答相対変位は式

(4.13)

を再掲すると

( ) ( )

^{( )}

( )

^{( )}

( )

2 0

1 sin

t h t

g D

t h t

g D

x t x e t d

x e t d

ω τ

τ ω τ τ

− −

= − ⋅ −

−

∫

(5.1)

である。応答相対速度は，式

(5.1)

を微分して

( ) ( )

⁽ ⁾

( )

⁽ ⁾

( )

2 0

cos 1 sin

t h t

g D

t h t

g D

x t x e t d

h x e t d

h

ω τ

τ ω τ τ

− −

= − ⋅ −

+ ⋅ −

−

∫

^(5.2)

である。応答絶対加速度は式

(3.21)

を移項し，

(5.1)

・

(5.2)

を代入すると

( ) ( ) ( )

( )

^{( )}

( )

^{( )}

( )

2 2

2 0

1 2 sin

2 cos

t h t

g D

t h t

g D

X t x t x t h x x

h x e t d

ω τ

ω ω

ω τ ω τ τ

− −

= + = − −

= − ⋅ −

−

+ ⋅ −

∫

(5.3)

となる。

最大応答変位は式

(5.1)

から

( )

₀

( )

⁽ ⁾

( )

max

, 1 ^t ^h ^t sin

d g D

S h T x τ e ^ω ^τ ω t τ τd ω

− −

∫

⋅ − ^(5.4)

となり，減衰定数 h ^{と固有振動数} ω

(

すなわち固有周期

の関数となる。 h ^{をパラメー}

タとして，最大応答変位と固有周期の関係を描いた図が，変位応答スペクトル

(displacement response spectrum)

である。

速度と加速度についても，同様に計算して，応答スペクトルを求めることができる。

しかし，その場合，時間がかかるので，近似的にそれらを求める方法がある。実際の構造物の減衰定数 h ^は，

に比べて十分に小さいので，式

(5.2)

・

(5.3)

の右辺の第

項は無視でき，また

2 2

1−h ≈1, 1 2− h ≈1 (5.5)

とみなせるので，最大応答速度と最大応答加速度は，それぞれ

( )

₀

( )

⁽ ⁾

( )

max

, ^t ^h ^t cos

v g D

S h T ≈

∫

τ

⋅e⁻^ω ⁻^τ

ω

t−

τ τ

d ^(5.6)

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温留漢共著亀岡裕行

( )

₀

( )

⁽ ⁾

( )

max

, ^t ^h ^t sin

a g D

S h T ≈

ω ∫

τ

⋅e⁻^ω ⁻^τ

ω

t−

τ τ

d ^(5.7)

となる。

式

(5.6)

と

(5.4)

を比較し， cos と sin の違いを無視すると

( ^, ) ( ^, ) ¹

( ^, ) ( ^, )

v D d d d

S h T

≈

ω S h T

= −

h ω S h T

≈

ω S h T

(5.8)

となる。式

(5.7)

と

(5.4)

を比較し，同様に

( ^, )

a d

S h T

≈

ω S h T

(5.9)

となる。

これらのスペクトルを，それぞれ擬似速度応答スペクトル

(pseudo-velocity response spectrum)

および擬似加速度応答スペクトル

(pseudo-velocity response spectrum)

という。これらは厳密な応答スペクトルではない。しかし，ほとんどの場合，応答スペクトルは，それほど厳密な用いられ方をしないので，それで十分である。

5.2

設計応答スペクトル

応答スペクトルを用いた代表的な耐震設計法を述べる。

（１）設計加速度応答スペクトルの作成

過去に測定された地震記録を参考として，複数の地盤加速度を作成する。これらに対する加速度応答スペクトルを計算し，ほぼそれらを包絡する“図

5.2

に示すような直線で構成する設計応答加速度スペクトル”を設定する。

実際に動的解析によって構造断面を決定しようとすると，ある構造条件で，異常に大

きな断面になる場合がある。その理由は，動的解析用の地盤加速度は，通常，直線で構

成された設計加速度応答スペクトルに基づいて作成されるために，固有周期のある範囲

で設計加速度応答スペクトルが，安全側に設定されている場合があるからである。これ

は，動的解析そのもの問題ではなく，それに用いる地盤加速度の問題ではあるが，動的

解析の結果を機械的に信じるべきではない。

竹名興英

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固有周期

設計応答加速度 T

スペクトル図 5. 2　設計応答加速度

‥

X

(２) 応答スペクトルを用いた設計

構造物は，一般に多自由度系である。この系が，

自由度系で近似できる場合は，以下のように応答スペクトルを用いて設計することができる。

(a) 応答が弾性範囲の場合

自由度系に置き換え，その固有周期

^{をレーリー法}

(

参考文献

[2.2])

すなわち静的フレーム法によって求める。図

5.2

に示す設計加速度応答スペクトルから，それに対応する設計応答加速度

X_D

を求める。この加速度による慣性力

{−mX_D}

^{が静的に作用すると} して，部材断面を設計する。

(b) 応答が塑性域の場合

x x

x x P

P

O B

A

C

(a)エネルギー一定則

図 5.3　エネルギー一定則と変位一定則

y e r

P

D

x x

P

O

(b) 変位一定則

P

x( =x )

r e

図

5.3(a)に示すように，置き換えた 1

自由度系の荷重・変位関係が弾完全塑性体(折

れ線 OBD

)

と仮定する。すなわち，変位が

x x< _y

の範囲において荷重・変位関係が線形

であり，

x=x_y

^{で降伏し，}

x>x_y

では荷重が増加しないとする

(P P= _y)

。この

自由度

系について，荷重・変位関係が線形と仮定して

(a)

の方法で求めた変位を

x_e

^{，弾完全塑}

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性体と仮定して非線形動的解析で求めた最大応答変位を x

すると，①固有周期が比較的小さい場合

(

約 2s 以下

)

，図

5.3(a)

に示すように，ひずみエネルギーである三角形

Ox A_e

と台形 Ox CB

が等しい傾向がある，②固有周期が比較的大きい場合は，図

5.3(b)

に示すように，

x_r =x_e

となる傾向がある。前者はエネルギー一定則

(property of energy conservation)

，後者は変位一定則

(property of displacement conservation)

という。応答が塑性範囲の場合は，これらの一定則によって最大応答変位

x_r

^{を求め，それが許容} 変位

x_a

以下であるとその断面が合格であると判定する。

例題

5.a

エネルギー一定則

‥

(b ) 直列バネマスモデル

m kxe

‥

モデル ( c ) 等価

1. 6 4 s T

スペクトル h= 0. 0 5

(d )設計応答加速度 H =24mP

‥

kBx

kRx

k_θx

m= 9. 0× 1 0 k g, h= 0. 0 5

4 4

k = 1. 33 × 1 0 kN / m4

k = 2. 00 × 1 0 kN / m

xe Bx

k = 3. 97 × 1 0 kN / m

T= 1. 64 s, M = 8. 0× 1 0 kN ･ m_Py ⁴

X‥

5 . 6 5

A C D Pe

xy xexr

3 . 3 3

P(×10 kN)3

x ( m )

0.250 0.425 0.486

kBx

kRx

k_θx m

x_θ xB

x_R P

(f )系の荷重･変位関係 (e ) 直列バネの剛性

と変位 (a ) 橋脚の

モデル

k = 2. 06 × 10 kN / mθx ⁸

図 5. a　エネルギー一定則による耐震設計 ( 橋脚モデル，図 1. b参照 ) 6. 2 8m / s²

例題

1.b

において，地震による地盤振動を受けていたとする(図

5.a(a)，(b)と(c))。地

震加速度応答スペクトル

(

道路橋示方書に示されている地震タイプⅡのⅠ種地盤に対するスペクトル

)

を同図

(d)

に示す。これに対する橋脚の柱の最大応答変位

x_Bx

^{を求めよう。}

固有周期 T

1.64s 2s

であるので，比較的に周期が小さいとしてエネルギー一定則を

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適用する。図

5.a

に計算条件を示す。等価せん断バネ定数

k_xe

^は例題

1.b

，固有周期

^は例題

2.a

で求めた値である。ただし，減衰定数は h

0.05 とする。

まず，この

自由度系の荷重･変位曲線を定めよう。柱は弾完全塑性体，ゴム支承と地盤バネは弾性体とする。柱下端の降伏モーメント M

_Py =

8.0 10 kN m

× ⁴ ⋅

^{とすると，降} 伏荷重は

4 3

8.0 10 24 3.33 10 kN

y Py P

P

M H

= × = ×

である。柱曲げおよび系の降伏変位は，それぞれ

3 4

3.33 10 3.97 10 0.0839m

By y Bx

x

P k

= × × =

3 4

3.33 10 1.33 10 0.250 m

y y xe

x

P k

= × × =

である。したがって，荷重変位曲線は図

5.a(f)

のとおりとなる。

固有周期 T

1.64s に対する最大応答加速度は，図

5.a(d)

より

6.28 m s2

XD =

である。最大慣性力の大きさは

5 6 2 3

9.0 10 6.28 5.65 10 kg m s 5.65 10 kN

e D

P = −mX = × × = × ⋅ = ×

である。この荷重に対する系の変位は

3 4

5.65 10 1.33 10 =0.425m

e e xe

x =P k = × ×

である。

エネルギー一定則に基づいて三角形

Ox A_e

^と台形 Ox CB

が等しいことは，三角形

ABD

^と長方形

x x CD_{e r}

^{が等しいことである。}

w x≡ _r −x_e

^とおくと

( ) ( )

3 3

3.33 10

w

5.65 3.33 10

− × ×

0.425 0.250 2

− 0.0610 , _r _e 0.425 0.0610 0.486m

w m x x w

∴ = = + = + =

である。地盤の回転バネの剛体回転の変位は小さいので無視する。ゴム支承の変位は

3 4

3.33 10 2.00 10 0.167 m

Rx y Rx

x

P k

= × × =

であるから，柱曲げによる変位は

0.486 0.167 0.319m

Br r Rx

x =x −x = − =

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である。降伏変位に対する比率は

0.319 0.0839 3.80

Br Py

x x = =

である。すなわち，柱は降伏変位の

3.8

倍変位する。柱の許容変位を降伏変位の

倍とすると，この断面は合格である。

5.3

要約