はり要素

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

となる。したがって，要素の質量マトリックスは

[ ]

^{/ 3 / 6}

/ 6 / 3

xa xb

xa xb

u u

m m F

M m m F

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

(12.20)

である。

質量マトリックスの成分の意味を考察してみよう。式

(12.17)

の左辺の第

1

式は，

(12.18)

より

0

であるから，移項すると

( )

11 0 10 10

l

xa xa xa xa

m u u

δ

=

∫ δ

u x ⋅

ρ

A u x dx

微小変位 振動学の慣性力

(12.21)

である。この式の右辺は，“

a

^{端の微小変位} δ

_xa

^に

1-0

変位曲線

x₁₀

^{を乗じた変} 位”に対する“

a

^{端の加速度}

u_xa

に

1-0

変位曲線

x₁₀

を乗じた加速度の振動学の 慣性力

(

符号のマイナスを無視，

9.5

（１）を参照

)

”の仕事である。

a

^端の微小 変位と加速度がともに単位長さ，すなわち δ

_xa =1,u_xa =1

の場合，式

(12.21)

は

N

( )

11 0 10 10

m =

∫

l x ⋅

ρ

A x dx

微小変位 振動学の慣性力

(12.22)

となる。すなわち，

m₁₁

^は，図

12.2(a)

に示すように，

1-0

変位曲線

x₁₀

^の

(

微小

)

変位に対する“加速度が

1-0

変位曲線

x₁₀

の振動学の慣性力”の仕事である。

同様に，

m₁₂

^および

m₂₁

^{は，それぞれ}

1-0

変位曲線

x₁₀

の変位に対する“加速度

が

0-1

変位曲線

x₁₀

の振動学の慣性力”の仕事および

0-1

変位曲線

x₁₀

^の変位に

対する“加速度が

1-0

変位曲線

x₁₀

の振動学の慣性力”の仕事である

(

それぞれ

図

12.2(b)

と

(c))

。式

(12.18)

より

m₁₂

^と

m₂₁

は等しいから，質量マトリックスは

対称行列である。また，

m₂₂

^は，

0-1

変位曲線

x₁₀

の変位に対する“加速度が

0-1

変位曲線

x₁₀

の振動学の慣性力の仕事”である

(

図

12.2 (d))

。

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

x y

u ,Q

ya ya

u , Q

yb yb

M( x)

M

b

θ

b

M θ

a

a

図 12 .2 　 は り 要 素

（１） 剛性マトリックス

図

12.2

の Q

_y

^と M ^{はそれぞれ“} y 方向の力”と“曲げモーメント”， u

_y

^と θ ^は

それぞれ“ y 方向の変位”と“角変位

(

回転

)

”を表している。図にそれらの正 方向を示した。

復元力と変位の関係を求めよう。力のつり合いから

Q

_ya +

Q

_yb =

0

(12.23)

M

_a +

M

_b −

Q l

_ya =

0

(12.24)

である。たわみ u

_y

に関する微分方程式は，位置

x

^{の曲げモーメントを}

^{M x}

( ) ^と

すると

^{EI d u2} ₂^{y M x}

( )

dx = − (12.25)

である。

^{M x}

( ) ^は

M x

( )

= −Q x Mya + a (12.26)

であるから，これを式

(12.25)

に代入すると

2 2

y

ya a

EI d u Q x M

dx = − (12.27)

となる。

2

回連続して積分すると

1 ² ₁

2

y

ya a

EI du Q x M x C

dx = − + (12.28)

1

³

1

² _{1 2}

6 2

y ya a

EIu

=

Q x

−

M x

+

C x C

+ (12.29)

となる。式

(12.28)

・

(12.29)

に，

x=0

^{の境界条件}

(

du dx

_y

/

=

θ

_a

, u

_y =

u

_ya)

を代入

すると

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

EI θ

_a =

C

₁

, EIy

_ya =

C

₂

である。これらを式

(12.28)

・

(12.29)

に代入すると

1 ²

2

y

ya a a

EI du Q x M x EI

dx = − +

θ

(12.30)

1

³

1

²

6 2

y ya a a ya

EIu

=

Q x

−

M x

+

EI x EIu θ

+ (12.31)

となる。

式(12.30)・

(12.31)にx l=

の境界条件( du dx

_y

/

=

θ

_b

, u

_y =

u

_yb)を代入すると

1

²

b

2

ya a a

EI θ

=

Q l

−

M l EI

+

θ

(12.32)

1

³

1

²

6 2

yb ya a a ya

EIu

=

Q l

−

M l

+

EI l EIu θ

+ (12.33)

となる。

復元力 ( Q

_ya

, Q

_yb

, M M

_a

,

_b

) ^{に関する連立}

1

次方程式

(12.23)

・

(12.24)

・

(12.32)

・

(12.33)

を復元力について解けば，復元力を変位

( ,y y_{a b},

θ θ

_a, _b)

^{で記述すること} ができる。式

(12.32)

から

(12.33)

を

2

倍したもの引くと，

M_a

^{が消去され}

3 2 3 2

12 6 12 6

ya ya a yb b

Q EI u u

l l θ l l θ

⎛ ⎞

= ⎜ + − + ⎟

⎝ ⎠ ^(12.34)

となる。式

(12.32)

から

(12.33)

を

3

倍したもの引くと， Q

_ya

^{が消去され}

2 2

6 4 6 2

a ya a yb b

M EI u u

l l θ l l θ

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + − + ⎟⎠ ^(12.35)

となる。式

(12.34)

を

(12.23)

に代入すると

3 2 3 2

12 6 12 6

yb ya a yb b

Q EI u u

l l θ l l θ

⎛ ⎞

= ⎜− − + − ⎟

⎝ ⎠ ^(12.36)

となる。式

(12.34)

・

(12.35)

を

(12.24)

に代入すると

M_b

^{が求まる。}

2 2

6 2 6 4

b ya a yb b

M EI u u

l l θ l l θ

⎛ ⎞

= ⎜⎝ + − + ⎟⎠ ^(12.37)

式(12.34)・

(12.35)・(12.36)・(12.37)をベクトル行列表示すると

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

2 2

3

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

ya ya

a a

yb yb

b b

Q l l u

M EI l l l l

Q l l l u

M l l l l

θ θ

⎧ ⎫ ⎡ − ⎤⎧ ⎫

⎪ ⎪ ⎢ − ⎥⎪ ⎪

⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎪ ⎪

⎨ ⎬ ⎢− − − ⎥⎨ ⎬

⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎣ − ⎦⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(12.38)

となる。ゆえに，要素の剛性マトリックスは，以下のとおりである。

[ ]

₃ ^{2 2}

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

ya a yb b

ya a yb b

u u

Q

l l

M

l l l l

K EI

Q

l l

l

M

l l l l

θ θ

⎡ − ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

= ⎢− − − ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

(12.39)

（２） 質量マトリックス

(a)

ランプト・マス

ランプト・マスの場合は，慣性モーメントが無視し，質量を等分に節点に分 配するから，要素の質量マトリックスは

[ ]

/ 2 0 0 0

0 0 0 0

0 0 / 2 0

0 0 0 0

ya a yb b

ya a yb b

u u

F m

M M

F m

M

θ θ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(12.40)

である。ここで ( , ) θ θ

_{a b}

^と ( M

_a

(

= −

J θ

_a

), M

_b

(

= −

J θ

_b

)) は，“角加速度”と“広義の 慣性力”である。

(b)

コンシステント・マス

質量マトリックスは，一般に以下のように表現できる。

[ ]

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

ya a yb b

ya a yb yb

u u

m m m m F

m m m m M

M m m m m F

m m m m M

θ θ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(12.41)

図

12.3(a)

に示す， “要素端の変位の内，

a

^端の y ^{方向が単位長さ}

1

で他が

0

”

すなわち“境界条件 u

_ya =

1, θ

_a =

u

_yb =

θ

_b =

0 ”で要素の中間に力が作用しない場

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

合の変位曲線

(

y ^方向

1-0

変位曲線

y₁₀)

を求めよう。式

(12.35)

で u

_y =

y

₁₀

^とおき，

式

(12.31)

・

(12.32)

・

(12.33)

に境界条件を代入すると

₁₀

1

³

1

²

6

^ya

2

^a

EIy

=

Q x

−

M x

+

EI

(12.42)

1

²

0

=

2 Q l

^ya −

M l

^a (12.43)

1

³

1

²

0

=

6 Q l

^ya −

2 M l

^a +

EI

(12.44)

となる。これらの式から Q

_ya

^と

M_b

を消去すると，以下のように

y₁₀

^{が求まる。}

3 2

10 3 2

2 3

x x 1

y = l − l + (12.45)

a bx u =0 u =1_ya

a bx

yb

u =0ya

a b x u =1_yb

u =0ya

u =0 θ =0_b θ =1_a

θ =0_b θ =0a

yb

a bx u =0ya

θ =0a u =0_yb

θ =1b

θ =0_b

θ =0a

図12.3　はり要素の変位曲線

(a)y1-0 (b)θ1-0 (c)y0-1 (b)θ0-1

図

12.3(b)

に示す，“境界条件 u

_ya =

0, θ

_a =

1, u

_yb =

θ

_b =

0 ^{”で要素の中間に力が} 作用しない場合の変位曲線

(

θ ^方向

1-0

変位曲線 θ

₁₀)

を求めよう。式

(12.31)

で

10

u

y =

θ とおき，式(12.31)・(12.32)・

(12.33)に境界条件を代入すると

₁₀

1

³

1

²

6

^ya

2

^a

EI θ

=

Q x

−

M x

+

EIx

(12.46)

1

²

0

=

2 Q l

^ya −

M l EI

^a + (12.47)

1

³

1

²

0

=

6 Q l

^ya −

2 M l

^a +

EIl

(12.48)

となる。これらの式から Q

_ya

^と

M_b

を消去すると，以下のように θ

₁₀

が求まる。

2

10

x 1

x l

θ

= ^⎛⎜⎝ − ^⎞⎟⎠ ^(12.49)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

図

12.3(c)

に示す，“境界条件 u

_ya =

θ

_a =

0, u

_yb =

1, θ

_b =

0 ^{”で要素の中間に力が} 作用しない場合の変位曲線

(

y ^方向

0-1

変位曲線

y₀₁)

を求めよう。

y₀₁

^は

x l= / 2

に対して

y₁₀

^{と線対称である。}

( ,x y₁₀)

^{と線対称の点を}

( ,X y₀₁)

^とすると

,

2 2

x X l

x l X

+ = ∴ = −

^，また ψ

₀₁=

ψ

₁₀

である。これらを式

(12.45)

に代入し， X ^を

x

^{に変更すると，}

y₀₁

^{が求まる。}

3 2

01 3 2

2x 3x

y = − l + l (12.50)

図

12.3(d)

に示す，“境界条件 u

_ya =

θ

_a =

u

_yb =

0, θ

_b =

1 ”で要素の中間に力が作 用 し な い 場 合 の 変 位 曲 線

(

θ ^{方 向}

01

変 位 曲 線 θ

₀₁)

を 求 め よ う 。 θ

₀₁

^{は ， 点} ( x l

=

/ 2, ψ

=

0) ^に対して θ

₁₀

^{と点対称である。}

( ,x

θ

₁₀)

^{と点対称の点を}

( ,X

θ

₀₁)

^と すると

, ,

_{10 01}

2 2

x X l

x l X θ θ

+ = ∴ = − = −

である。これらを式

(12.49)

に代入し， X ^を

x

^{に変更すると，} θ

₀₁

^{が求まる。}

2

01 x x 1

l l

θ

= ^⎛⎜⎝ − ^⎞⎟⎠ ^(12.51) 12.1

節からわかるように，

m₁₁

^{は“微小変位が} y ^方向

1-0

変位曲線

y₁₀

^”で“加

速度が y ^方向

1-0

変位曲線

y₁₀

の振動学の慣性力”の仕事である。その場合，微 小変位 δ

u

^と

x

の位置の単位長さ当たりの振動学の慣性力 f ^は

δ

u=

ψ

₁, f =

ρ ψ

A ₁ (12.52)

である。したがって，

m₁₁

は以下のとおりである。

11 0

( )

0 10² 0 10²

l l

m

l

m u fdx A y dx y dx

δ ρ l

=

∫

=

∫

=

∫

^(12.53)

3 2 2

11 0 3 2

2 3 13

1 35

m

l

x x

m dx m

l l l

⎛ ⎞

∴ = ⎜ − + ⎟ =

⎝ ⎠

∫

^(12.54)

m12

^{は“微小変位が} y ^方向

1-0

変位曲線

y₁₀

^{”で“加速度が} θ ^方向

1-0

変位曲 線 θ

₁₀

の振動学の慣性力”の仕事である。その場合，微小変位 δ

u

^と

x

^の位置の 単位長さ当たりの振動学の慣性力 f ^は

δ

u=

ψ

₁, f =

ρ ψ

A ₂ (12.55)

竹名 興英

温留漢 共著 亀岡 裕行

である。したがって，

m₁₂

は以下のとおりである。

12 0

( )

0 10 10 0 10 10

l l

m

l

m u fdx A y dx y dx

δ ρ θ l θ

=

∫

=

∫

=

∫

^(12.56)

3 2 2

12 0 3 2

2 3 11

1 1

210

m

l

x x x

m x dx ml

l l l l

⎧ ⎫

⎛ ⎞ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪

∴ =

∫

⎜⎝ − + ⎟⎠ ⎪⎨⎩ ⎜⎝ − ⎟⎠ ⎬⎪⎭ = ^(12.57)

同様に，残りの成分は

3 2 3 2

13 0 10 01 0 3 2 3 2

2 3 2 3 9

1 70

l l

m m x x x x

m y y dx dx ml

l l l l l l

⎛ ⎞⎛ ⎞

= = ⎜ − + ⎟⎜− + ⎟ =

⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫

^(12.58)

3 2 2

14 0 10 01 0 3 2

2 3 13

1 1

420

l l

m m x x x x

m y dx dx ml

l

θ

l ^⎛ l l ^{⎞ ⎧} l ^⎛l ^⎞⎫

= = ⎜ − + ⎟⎨ ⎜ − ⎟⎬ = −

⎝ ⎠

⎝ ⎠ ⎩ ⎭

∫ ∫

^(12.59)

2

2 2

22 0 10 0

1 1

105

l l

m m x

m dx x dx ml

l

θ

l ^{⎧ ⎛}l ^⎞⎫

=

∫

=

∫

⎨⎩ ⎜⎝ − ⎟⎠⎬⎭ = ^(12.60)

2 3 2

23 0 10 01 0 3 2

2 3 13

1 420

l l

m m x x x

m y dx x dx ml

l θ l

^{⎧⎪ ⎛}

l

^{⎞ ⎫⎛⎪}

l l

^⎞

=

∫

=

∫

⎨⎪⎩ ⎜⎝ − ⎟⎠ ⎝⎬⎜⎪⎭ − + ⎟⎠ = ^(12.61)

2 2

2

24 0 10 01 0

1 1 1

140

l l

m m x x x

m dx x dx ml

l θ θ l

^{⎧⎪ ⎛}

l

^{⎞ ⎫⎧⎪}

l

^⎛

l

^⎞⎫

= = ⎨ ⎜ − ⎟ ⎬⎨ ⎜ − ⎟⎬ = −

⎝ ⎠ ⎩ ⎝ ⎠⎭

⎪ ⎪

⎩ ⎭

∫ ∫

^(12.62)

3 2 2

2

33 0 01 0 3 2

2 3 13

35

l l

m m x x

m y dx dx m

l l l l

⎛ ⎞

= = ⎜− + ⎟ =

⎝ ⎠

∫ ∫

^(12.63)

3 2 2

34 0 01 01 0 3 2

2 3 11

1 210

l l

m m x x x x

m y dx dx ml

l

θ

l ^⎛ l l ^{⎞ ⎧} l ^⎛l ^⎞⎫

=

∫

=

∫

⎜⎝− + ⎟⎠ ⎩⎨ ⎜⎝ − ⎟⎠⎬⎭ = ^(12.64)

2 2

2 2

44 0 01 0

1 1

105

l l

m m x x

m dx dx ml

l θ l

^⎧

l

^⎛

l

^⎞⎫

=

∫

=

∫

⎨⎩ ⎜⎝ − ⎟⎠⎬⎭ = ^(12.65)

である。ゆえに，要素の質量マトリックスは，対称行列であることを考慮する

と，以下のとおりとなる。

[ ]

^{2 2}

2 2

156 22 54 13

22 4 13 3

54 13 156 22

420

13 3 22 4

ya a yb b

ya a yb b

u u

F

l l

M

l l l l

M m

l l F

l l l l M

θ θ

⎡ − ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

= ⎢ − ⎥

⎢− − − ⎥

⎣ ⎦

(12.66)

竹名 興英

温留漢 共著

亀岡 裕行

ドキュメント内 土木/建築技術者のための基礎から学ぶ振動学 (ページ 149-156)