によって，以下の式を得ることができる19．
∂H
∂t =−
1
1−tu0(c1)[w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ] (109) J
× [
σa−e
c1 −(1−δ) w
w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ ]
. ただし，
J ≡u00(c1)[(1−t)δ(1−δ)δ−1δ−δwδ−1] (110)
×[w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]2 +u0(c1)φαω00(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ
+ 1
1 +ρu00(c2)([1−(1 +r)φ](1−t)αω0(H))
×[[1−(1 +r)φ]αω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
+ 1
1 +ρu0(c2)[[1−(1 +r)φ]αω00(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ], と定義する．J は常に負であるが，分子の符号は確定しないので，(109)式の符 号も確定しない．a ≤ e なら（したがって a = 0 の場合も）常に ∂H/∂t < 0 である．たとえ a > e でも σ が非常に小さいか 1−δ が非常に大きいなら，
∂H/∂t <0 になる可能性が高い．a > eでも σ が非常に大きいか1−δ が非常 に小さいなら，∂H/∂t >0 になる可能性がある．したがってこの一般的なケー スにおいても，内生的信用制約モデルの方がより現実的な結論を得ることがで きたと言えよう．
生的に決定されるケースと，借入れの上限が能力や人的資本投資の水準を通じ て将来稼得収入によって内生的に決まるケースの両方を分析した．人的資本投 資のコストが(1)直接的費用のみのケース，(2)放棄所得のみのケース，(3)直接 的費用と放棄所得からなる一般的なケース，をすべて分析し，（そのままでは不 明瞭な）一般的なケースで得られる結果の意味が明らかになるようにした．特 に，人的資本投資のコストが直接的費用のみからなる場合に結果に大きな差が 生じ，外生的信用制約モデルの場合には定率税が人的資本投資を増加させる可 能性が高いという結果が得られるのに対し，内生的信用制約モデルの場合には 定率税が人的資本投資を減少させる可能性が高いという，より現実的な結果が 得られることを示した．要するに，従来の研究においては外生的信用制約モデ ルを用いて分析が行われてきたが，本章のような内生的信用制約モデルの枠組 で分析をする方が，より現実にあった結果を導出できることが示されたことに なる．
本章の部分均衡モデルの枠組では，個人の人的資本・非人的資本への投資の 結果，利子率や賃金率が変化して，その変化が人的資本投資の選択に影響を与 えるという一般均衡の効果が考慮に入れられていない．この点については将来 の課題としたい．
付 録
A
(95)式をt で偏微分すると以下の式を得る．
u00(c1)[w−δ(1−t)δ−1(1−δ)δ−1δ−δwδH]
(A.1)
− 1
1 +ρu00(c2)αω(H)[(1−t)1−δαω0(H)(1−δ)1−δδδw−δ]
− 1
1 +ρu0(c2)[(1−δ)(1−t)−δαω0(H)(1−δ)1−δδδw−δ].
(A.1)式第1項は次のように変形できる．
u00(c1)[w−δ(1−t)δ−1(1−δ)δ−1δ−δwδH]
(A.2)
=u00(c1)w(1−h)
= 1
1−tu0(c1)
[u00(c1) u0(c1)c1
](1−t)w(1−h) c1
=− 1
1−tσu0(c1)(1−t)w(1−h) c1
.
(A.2)式最初の等号には(90)式を用いている．(A.1)式第2項は次のように変形
できる．
− 1
1 +ρu00(c2)αω(H)[(1−t)1−δαω0(H)(1−δ)1−δδδw−δ] (A.3)
= 1
1−t 1
1 +ρu0(c2) [
−u00(c2) u0(c2)c2
]
× (1−t)αω(H)
c2 [(1−t)1−δαω0(H)(1−δ)1−δδδw−δ]
= 1
1−tσu0(c1)(1−t)αω(H) c2 .
(A.3)式最後の等号には1階の条件(95)式を用いている．(A.1)式第3項は次の ように変形できる．
− 1
1 +ρu0(c2)[(1−δ)(1−t)−δαω0(H)(1−δ)1−δδδw−δ] (A.4)
=− 1 1−t
1
1 +ρu0(c2)[(1−δ)(1−t)1−δαω0(H)(1−δ)1−δδδw−δ]
=− 1
1−tu0(c1)(1−δ).
(A.4)式最後の等号には1階の条件(95)式を用いている．
したがって，(96)式の分子は(A.2)式, (A.3)式, (A.4)式をすべて足したもの に等しいから，
− 1
1−tσu0(c1)(1−t)w(1−h)
c1 + 1
1−tσu0(c1)(1−t)αω(H) c2 (A.5)
− 1
1−tu0(c1)(1−δ)
= 1
1−tu0(c1) [
σ
((1−t)αω(H)
c2 − (1−t)w(1−h) c1
)
−(1−δ) ]
= 1
1−tu0(c1) [
σ
((1 +r)¯b
c2 + a+ ¯b−e c1
)
−(1−δ) ]
.
B
(108)式をt で偏微分すると以下の式を得る．
u00(c1)[φαω(H) +w−δ(1−t)δ−1(1−δ)δ−1δ−δwδH)]
(B.1)
×[w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
−u0(c1)φαω0(H)(1−δ)(1−t)−δ(1−δ)1−δδδw1−δ
− 1
1 +ρu00(c2)[[1−(1 +r)φ]αω(H)]
×[[1−(1 +r)φ]αω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
− 1
1 +ρu0(c2)[[1−(1 +r)φ]αω0(H)(1−δ)(1−t)−δ(1−δ)1−δδδw1−δ].
(B.1)式第1項は次のように変形できる．
u00(c1)[φαω(H) +w−δ(1−t)δ−1(1−δ)δ−1δ−δwδH)]
(B.2)
×[w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
=u00(c1)[φαω(H) +w(1−h)][w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
= 1
1−tu0(c1)
[u00(c1) u0(c1)c1
]φ(1−t)αω(H) + (1−t)w(1−h) c1
×[w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
=− 1
1−tσu0(c1)[w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
× φ(1−t)αω(H) + (1−t)w(1−h)
c1 .
(B.2)式最初の等号には(103)式を用いている．(B.1)式第2項は次のように変
形できる．
−u0(c1)φαω0(H)(1−δ)(1−t)−δ(1−δ)1−δδδw1−δ (B.3)
=− 1
1−tu0(c1)(1−δ)[φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
=− 1
1−tu0(c1)[w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
× [
(1−δ) φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ
] .
(B.1)式第3項は次のように変形できる．
− 1
1 +ρu00(c2)[[1−(1 +r)φ]αω(H)]
(B.4)
×[[1−(1 +r)φ]αω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
= 1
1−t 1
1 +ρu0(c2) [
−u00(c2) u0(c2)c2
]
×[[1−(1 +r)φ]αω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
= 1
1−tσu0(c1)[w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ].
(B.4)式最後の等号には1階の条件(108)式を用いている．(B.1)式第4項は次 のように変形できる．
− 1
1 +ρu0(c2)[[1−(1 +r)φ]αω0(H)(1−δ)(1−t)−δ(1−δ)1−δδδw1−δ] (B.5)
=− 1 1−t
1
1 +ρu0(c2)(1−δ)
×[[1−(1 +r)φ]αω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
=− 1
1−tu0(c1)[w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ](1−δ).
したがって，(109)式の分子は(B.2)式, (B.3)式, (B.4)式, (B.5)式をすべて 足したものに等しいから，
1
1−tu0(c1)[w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ] (B.6)
× [
σ−σφ(1−t)αω(H) + (1−t)w(1−h)
c1 −(1−δ)
−(1−δ) φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ
]
= 1
1−tu0(c1)[w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ]
× [
σ
(a−e c1
)
−(1−δ) w
w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ ]
.
C
まず，本文 (92) 式最右辺において (1−t)δ(1−δ)δ−1δ−δwδ は H の価格 PH として定義できる．すなわち，
PH ≡(1−t)δ(1−δ)δ−1δ−δwδ, (C.1)
と定義する．この PH を用いて，本文 (97) 式の I を次のように表すことがで きる．
I =PH [
u00(c1) + 1
1 +ρu00(c2)[(1−t)αω0(H)]2 1 PH2 (C.2)
+ 1
1 +ρu0(c2)(1−t)αω00(H) 1 PH2
] . 一方，H =hδe1−δ の自然対数を取ると，
lnH =δlnh+ (1−δ) lne, (C.3)
となる．(C.3)式の両辺をtで微分して整理すると以下の式を得ることができる．
1 H
∂H
∂t =δ1 h
∂h
∂t + (1−δ)1 e
∂e
∂t. (C.4)
(C.4) 式は，∂H∂t を ∂h∂t に関する部分と ∂e∂t に関する部分に分解することができ ることを示している．以下では，この分解を行う．
本文(96) 式より 1
H
∂H
∂t =−
1
1−tu0(c1) [
σ
((1+r)¯b
c2 + a+¯cb−e
1
)−(1−δ) ]
(C.5) HI
=−
1
1−tu0(c1) [
σ
((1−t)αω(H)−c2
c2 + c1−(1−ct)w(1−h)
1
)−(1−δ) ]
HI
=−
1
1−tu0(c1) [
σ
((1−t)αω(H)
c2 − (1−t)w(1c1 −h))
−(1−δ) ]
HI
=−
1
1−tu0(c1) [
σ
((1−t)αω(H)
c2 − (1−t)w(1c1 −h))
−(1−δ) ] PHH
[
u00(c1) + 1+ρ1 u00(c2)[(1−t)αω0(H)]2 1P2 H
+1+ρ1 u0(c2)(1−t)αω00(H)P12 H
],
と表すことができる．ところで，本文 (89), (92) 式より PHH = (1−t)wh+e= (1−t)wh
δ = e
1−δ, (C.6)
が成立するから，(C.5) 式を次のように変形することができる．
1 H
∂H (C.7) ∂t
=−
1 1−tu0(c1)
[ δσ
((1−t)αω(H)
c2 −(1−t)w(1c1 −h))
+ (1−δ) {
σ
((1−t)αω(H)
c2 −(1−t)w(1c1 −h))
−1 }]
PHH [
u00(c1) +1+ρ1 u00(c2)[(1−t)αω0(H)]2 1P2 H
+1+ρ1 u0(c2)(1−t)αω00(H)P12 H
]
=− δ1−1tu0(c1)σ
((1−t)αω(H)
c2 −(1−t)w(1c1 −h)) PHH
[
u00(c1) +1+ρ1 u00(c2)[(1−t)αω0(H)]2 1P2 H
+1+ρ1 u0(c2)(1−t)αω00(H)P12 H
]
− (1−δ)1−1tu0(c1) {
σ
((1−t)αω(H)
c2 −(1−t)w(1c1 −h))
−1 } PHH
[
u00(c1) +1+ρ1 u00(c2)[(1−t)αω0(H)]2 1P2 H
+1+ρ1 u0(c2)(1−t)αω00(H)P12 H
]
=− δ1−1tu0(c1)σ
((1−t)αω(H)
c2 −(1−t)w(1c1 −h))
(1−t)wh δ
[
u00(c1) +1+ρ1 u00(c2)[(1−t)αω0(H)]2 1P2 H
+1+ρ1 u0(c2)(1−t)αω00(H)P12 H
]
− (1−δ)1−1tu0(c1) {
σ
((1−t)αω(H)
c2 −(1−t)w(1c1 −h))
−1 }
e 1−δ
[
u00(c1) +1+ρ1 u00(c2)[(1−t)αω0(H)]2 1P2 H
+1+ρ1 u0(c2)(1−t)αω00(H)P12 H
]
=δ1 h
−
1
1−tu0(c1)σ
((1−t)αω(H)
c2 −(1−t)w(1c1 −h))
(1−t)w δ
[
u00(c1) +1+ρ1 u00(c2)[(1−t)αω0(H)]2 1P2 H
+1+ρ1 u0(c2)(1−t)αω00(H)P12 H
]
+ (1−δ)1 e
−
1 1−tu0(c1)
{ σ
((1−t)αω(H)
c2 −(1−t)w(1c1 −h))
−1 }
1 1−δ
[
u00(c1) +1+ρ1 u00(c2)[(1−t)αω0(H)]2 1P2 H
+1+ρ1 u0(c2)(1−t)αω00(H)P12 H
]
=δ1 h
∂h
∂t + (1−δ)1 e
∂e
∂t.
上の式において，最後から2番目の式に δ= 1，PH = (1−t)w を代入した式 と本文(68), (69)式，δ= 0，PH = 1 を代入した式と本文(28) 式，がそれぞれ 対応していることを容易に確かめることができる．
次に，PH を用いて，本文 (110) 式のJ を次のように表すことができる．
J =wPH [
u00(c1) (
1−φ(1−t)αω0(H) 1 PH
)2
+u0(c1)φ(1−t)αω00(H) 1 PH2 (C.8)
+ 1
1 +ρu00(c2) ([1−(1 +r)φ](1−t)αω0(H))2 1 PH2
+ 1
1 +ρu0(c2)[1−(1 +r)φ](1−t)αω00(H) 1 PH2
] .
一方，本文 (109) 式において，
1
1−tu0(c1)[w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ] (C.9)
= 1
1−tu0(c1) [
w−φαω0(H)(1−t)w PH
]
=w 1
1−tu0(c1) [
1−φ(1−t)αω0(H) 1 PH
] ,
σa−e
c1 −(1−δ) w
w−φαω0(H)(1−t)1−δ(1−δ)1−δδδw1−δ (C.10)
=σa−e
c1 −(1−δ) w
w−wφ(1−t)αω0(H)P1
H
=σa−e
c1 −(1−δ) 1
1−φ(1−t)αω0(H)P1
H
,
が成立するから，(C.8), (C.9), (C.10) 式を用いて本文(109) 式から次の式を求 めることができる．
1 H
∂H (C.11) ∂t
=−
1
1−tu0(c1) [
1−φ(1−t)αω0(H)P1
H
] [ σac−e
1 −(1−δ) 1
1−φ(1−t)αω0(H)PH1
]
PHHJˆ .
ただし，
Jˆ≡u00(c1) (
1−φ(1−t)αω0(H) 1 PH
)2
+u0(c1)φ(1−t)αω00(H) 1 PH2 (C.12)
+ 1
1 +ρu00(c2) ([1−(1 +r)φ](1−t)αω0(H))2 1 PH2
+ 1
1 +ρu0(c2)[1−(1 +r)φ](1−t)αω00(H) 1 PH2, と定義する．
(C.6) 式を用いて，(C.11) 式を次のように変形することができる．
1 H
∂H
∂t =−
1
1−tu0(c1) [
1−φ(1−t)αω0(H)P1
H
] PHHJˆ
(C.13)
× {
δ [
σa−e c1
]
+ (1−δ) [
σa−e
c1 − 1
1−φ(1−t)αω0(H)P1
H
]}
=−
1
1−tu0(c1) [
1−φ(1−t)αω0(H)P1
H
]
(1−t)wh
δ Jˆ δ
[
σa−e c1
]
−
1
1−tu0(c1) [
1−φ(1−t)αω0(H)P1
H
]
e
1−δJˆ (1−δ)
× [
σa−e
c1 − 1
1−φ(1−t)αω0(H)P1
H
]
=δ1 h
−
1
1−tu0(c1) [
1−φ(1−t)αω0(H)P1
H
]
(1−t)w δ Jˆ
[
σa−e c1
]
+ (1−δ)1
e
−
1
1−tu0(c1) [
1−φ(1−t)αω0(H)P1
H
]
1 1−δJˆ
× [
σa−e
c1 − 1
1−φ(1−t)αω0(H)P1
H
]}
=δ1 h
∂h
∂t + (1−δ)1 e
∂e
∂t.
上の式において，最後から2番目の式に δ = 1，PH = (1−t)w を代入した式 と本文(73), (74), (75)式，δ= 0，PH = 1 を代入した式と本文 (54), (55), (59) 式，がそれぞれ対応していることを容易に確かめることができる．
参考文献
[1] Boskin, Michael J. (1977), “Notes on the Tax Treatment of Human Capi-tal,” in U.S. Department of Treasury Office of Tax Analysis,Conference on Tax Research 1975, Washington, D.C.: U.S. Government Printing Office, 185–95.
[2] Cameron, Stephan V., and Christopher Tabor (2004), “Estimation of Ed-ucational Borrowing Constraints Using Returns to Schooling,” Journal of Political Economy, 112(1), 132–182.
[3] Card, David (2001), “Estimating the Return to Schooling: Progress on Some Persistent Econometric Problems,” Econometrica, 69(5), 1127–60.
[4] Carneiro, Pedro, and James J. Heckman (2002), “The Evidence on Credit Constraints in Post-Secondary Schooling,”Economic Journal, 112, 705–34.
[5] Keane Michael P., and Kenneth I. Wolpin (2001), “The Effect of Parental Transfers and Borrowing Constraints on Educational Attainment,” Inter-national Economic Review, 42(4), 1051–103.
[6] Kehoe, T. and D. Levine (1993), “Debt-Constrained Asset Markets,” Re-view of Economic Studies, 60(4), 865–88.
[7] Kocherlakota, N. (1996), “Implications of Efficient Risk Sharing without Commitment,”Review of Economic Studies, 63(4), 595–609.
[8] Lochner, Lance, and Alexander Monge-Naranjo (2002), “Human Capital Formation with Endogenous Credit Constraints,” Working Paper.
第 3 章
不確実性下の人的資本投資と逆オイラー方程式
1. 序論
本章においては，西岡 (2005) で分析した Eaton and Rosen (1980) -
Hamil-ton (1987) 流の2期間モデルを用いて，近年発展している新動学財政学（New
Dynamic Public Finance）の観点から制約下の効率的資源配分（Constrained Ef-ficient Allocation）について分析する．新動学財政学の特徴は，Mirrlees (1971) 的なアプローチによって分析を行うことにある．すなわち，各個人の才能（tal-ent）が各々の個人自身に明らかになっても，それは私的情報であるがために政 府には観察できず，政府にとって観察可能な変数を用いて効率的資源配分を求 めるのだが，そのとき，政府にとって各個人の才能が観察可能ではないので，（各 個人が自分の真実のタイプを表明することが自分自身にとって望ましいという）
誘因両立性の制約を満たすという条件の下で効率的資源配分を求めることにな る．「制約下」とは，その制約のことを意味している．
本章の分析の枠組はda Costa and Maestri (2007)と同様であるが，本章では 以下の点がda Costa and Maestri (2007) と異なっている．
1. 人的資本投資を組み込んだモデルにおいても，逆オイラー方程式が成立す ることを示した．
2. 人的資本投資・非人的資本投資の間のくさび（wedge）を分析した．
3. 人的資本投資の最適条件をリスク・プレミアムの観点から分析することに よって，（政府の介入が無い場合には正のリスク・プレミアムが要求される
のに対して）制約下の効率的資源配分においてはリスク・プレミアムが0 になるという条件を導出して，その経済的解釈を与えた．
以上の点はda Costa and Maestri (2007)では分析されていない．本章では，上 述のアプローチによって，政府の介入が無いケースに比べて制約下の効率的資 源配分の下では，貯蓄を抑制し，人的資本投資を促進させるべきであることが 導出される1．