幾何学序論２ K.Ichihara
距離空間
ユークリッド距離の性質 距離関数 マンハッタン距離 距離空間
練習問題
幾何学序論２
第 7 章 距離空間と位相空間
7.1
距離空間市原一裕
2015
年12
月14
日（月）2
限，4
限幾何学序論２ K.Ichihara
距離空間
ユークリッド距離の性質 距離関数 マンハッタン距離 距離空間
練習問題
小テスト
1. R
n内の集合の弧状連結成分の定義を書き なさい。
2. 弧状連結成分が３個であるような R
3内の 集合の例をあげなさい。（図示もする こと）
3. R
2− { (x, y) | y = 0 } の弧状連結成分は２
個であることを証明するには，何を示せ
幾何学序論２ K.Ichihara
距離空間
ユークリッド距離の性質 距離関数 マンハッタン距離 距離空間
練習問題
ユークリッド距離の性質
定理
7.1.1【距離の性質】
∀ P, Q, R ∈
Rnに対して，次が成立．1.
d
(n)(P, Q) ≥ 0
かつd
(n)(P, Q) = 0
ならばP = Q
2.d
(n)(P, Q) = d
(n)(Q, P )
3.
d
(n)(P, Q) + d
(n)(Q, R) ≥ d
(n)(P, R)
（三角不等式）幾何学序論２ K.Ichihara
距離空間
ユークリッド距離の性質 距離関数 マンハッタン距離 距離空間
練習問題
距離関数
定義
7.1.1【距離関数（distance function）】
X
を任意の集合とする．定理7.1.1
の３つの性質を満たす 関数X × X →
R を，集合X上の距離関数 という．幾何学序論２ K.Ichihara
距離空間
ユークリッド距離の性質 距離関数 マンハッタン距離 距離空間
練習問題
マンハッタン距離
例
7.1.1
例えばR2上で，
2
点P = (x
1, y
1)
とQ = (x
2, y
2)
に対してd
M(P, Q) = | x
1− x
2| + | y
1− y
2|
によって決まる関数
d
M:
R2×
R2→
Rは距離関数になる．この距離関数を マンハッタン距離関数 という．
（ニューヨークのマンハッタン島はいわゆる碁盤の目状に 道路が走っているから．日本だったら京都距離関数？）．
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距離空間
ユークリッド距離の性質 距離関数 マンハッタン距離 距離空間
練習問題
距離空間
定義
7.1.2【距離空間（metric space）】
集合
X
に，X
上の距離関数d : X × X →
Rが与えられたとき，組
(X, d)
を距離空間という．例
7.1.2
R2とマンハッタン距離関数
d
Mの組(
R2, d
M)
で距離空間が 一つ決まる．この距離空間で考える幾何学を「タクシー幾何学（
Taxicab Geometry
）」といったりする．幾何学序論２ K.Ichihara
距離空間
ユークリッド距離の性質 距離関数 マンハッタン距離 距離空間
練習問題
練習問題
練習問題
7.1.1
d
(3)がR3上の距離関数になることを示しなさい．練習問題
