幾何学序論２

(1)

幾何学序論２ K.Ichihara

位相空間

開集合の性質開集合系と位相空間例題

被覆コンパクト

開被覆被覆コンパクト例コンパクト性

幾何学序論２

第 7 章距離空間と位相空間

7.2

位相空間

, 7.3

市原一裕

2014

年

12

月

22

日（月）

2

限，

4

限

(2)

位相空間

小テスト

1.

弧状連結成分の数が

3

であるような

R

²の部分集合（図形）の例を挙げなさい（図示でも良い）．

2.

集合

X

上の距離関数の定義を書きなさい．

3. R

²上の

2

点

P = (x

₁

, y

₁

)

と

Q = (x

₂

, y

₂

)

に対して

d(P, Q) = max {| x

₁

− x

₂

| , | y

₁

− y

₂

|}

によって決まる関数

d

_M

: R

²

× R

²

→ R

について，

d(P, Q) ≥ 0

かつ

d(P, Q) = 0

ならば

P = Q

が成り立つことを示しなさい．

2 / 10

(3)

位相空間

ユークリッド空間の開集合の性質

定理

7.2.1【開集合の性質】

R

ⁿの開集合に対して，次が成立．

1. ∅

^と

R

ⁿ^{自身は開集合．}

2. { O

_λ

}

λ∈Λを開集合の族とすると，

∪

λ∈Λ

O

_λも開集合．

3. O

₁

, · · · , O

_nを開集合とすると，

O

₁

∩ · · · ∩ O

_nも開集合．

注意

和集合に関しては無限個でも良いが，共通部分に関しては有限個でないとダメ．無限個の共通部分を考えると成り立たない場合があるから．例えば

{ (

−

_n¹

,

_n¹

) }

n∈Nとか．

(4)

位相空間

開集合系と位相空間

定義【開集合系（open sets）】

X

を任意の集合とする．

定理

7.2.1

の３つの性質を満たすような

X

の部分集合の族

{O

λ

}

λ∈Λを，集合

X

の開集合系という．

定義【位相空間（topological space）】

集合

X

に，

X

の開集合系

{O

λ

}

λ∈Λが与えられたとき，組

(X, {O

λ

}

λ∈Λ

)

を位相空間という．

4 / 10

(5)

位相空間

開集合系と位相空間

定義【開集合系（open sets）】

X

を任意の集合とする．

定理

7.2.1

の３つの性質を満たすような

X

の部分集合の族

{O

λ

}

λ∈Λを，集合

X

の開集合系という．

定義【位相空間（topological space）】

集合

X

に，

X

の開集合系

{O

λ

}

λ∈Λが与えられたとき，

組

(X, {O

λ

}

λ∈Λ

)

を位相空間という．

(6)

位相空間

例題

練習問題

7.2.1 X := {1, 2, 3, 4}

とし，

O = {∅ , { 1 } , { 2 } , { 1, 2 } , { 2, 3 } , { 1, 2, 3 } , X }

^{とすると，}

(X, O )

は位相空間になることを示しなさい．

（

Hint: O

が開集合系になること，つまり，

O

が定理

7.2.1

の条件

(1)

，

(2)

，

(3)

をみたすことを示せば良い）

練習問題

7.2.2 X

を任意の集合とし，

O

1

= {∅ , X }

^{とすると，}

(X, O

1

)

（このような位相空間を密着位相空間という）

練習問題

7.2.3 X

を任意の集合とし，

O

2

= 2

^X とすると，

(X, O

2

)

（このような位相空間を離散位相空間という）

5 / 10

(7)

位相空間

開被覆

定義

7.3.1【開被覆（open coverings）】

集合

X ⊂ R

ⁿ^{の開集合族}

{ U

_λ

}

λ∈Λ

（つまり各

U

_λ は

X

の開集合）

が，

X = ∪

λ∈Λ

U

_λ

をみたすとき，

{ U

_λ

}

λ∈Λ を

X

の開被覆という．

(8)

位相空間

定義

7.3.2【被覆コンパクト（covering compact）】

集合

X ⊂ R

ⁿ^が^{被覆コンパクト}

⇔ X

の任意の開被覆が有限部分開被覆をもつ．

つまり，

X

の任意の開被覆

{ U

_λ

}

λ∈Λ が与えられたとき，

ラベル集合

Λ

の中から有限個の要素

λ

1

, · · · , λ

m をうまく選べば

X = U

_λ₁

∪ U

_λ₂

∪ · · · ∪ U

_λ_m とできるということ．

7 / 10

(9)

位相空間

注意

7.3.1

普通は「被覆コンパクト」の方を，単に「コンパクト」という．実際は，あとでみるように

「被覆コンパクト

⇔

^{点列コンパクト」}

が成り立つ．

注意

7.3.2

有限個の開集合で覆われるからといって被覆コンパクトとは限らない．例えば，

(0, 1)

．

(10)

位相空間

被覆コンパクトの例

定理【閉区間は被覆コンパクト】

[0, 1] ⊂ R

^{は被覆コンパクト．}

例

有限個の点の集合は被覆コンパクト．

(0, 1)

は被覆コンパクトでない．

R

も被覆コンパクトでない．

9 / 10

(11)

位相空間

被覆コンパクトと点列コンパクト

定理

7.3.2【被覆コンパクトと点列コンパクト】

R

ⁿ^{の部分集合}

X

が被覆コンパクト

⇔ X

は点列コンパクト

幾何学序論２